1、 考点39 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1. （2013重庆高考文科4）设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为 ( )A. 6 B.4 C. 3 D. 2【解题指南】的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.【解析】 选B. 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心到直线的距离为,半径为,所以的最小值为.2.(2013天津高考文科T5)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=()A. B. 1 C. 2 D. 【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率,再由两直线垂直求a的值.【解析】选C.因为点P(2,2)为圆
2、(x-1)2+y2=5上的点,由圆的切线性质可知,圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直.因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k=2,故过点P(2,2)的切线斜率为-,所以直线ax-y+1=0的斜率为2,因此a=2.3.（2013安徽高考文科6）直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为（ ）A.1 B.2 C.4 D. 【解题指南】 由圆的半径、圆心距、半弦长组成直角三角形，利用勾股定理即可求得半弦长。【解析】选C.由得圆心（1,2），半径，圆心到直线x+2y-5+=0的距离，在半径、圆心距、半弦长组成的直角三角形中，弦长。4. （2
3、013重庆高考理科7）已知圆：，圆：，、分别是圆、上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ( )A. B. C. D. 【解题指南】根据圆的定义可知,然后利用对称性求解.【解析】选A.由题意知,圆：，圆：的圆心分别为,且,点关于轴的对称点为,所以,即.5.（2013广东高考文科7）垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是（ ） A BC D【解析】选A. 由题意知直线方程可设为（），则圆心到直线的距离等于半径1，即，所求方程为.6. （2013陕西高考文科8）已知点M(a,b)在圆外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是 ( )A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定【解题指南】
4、 利用点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系中的半径与距离，列出关系式，解之即可判断直线ax + by = 1与圆O的位置关系.【解析】选B.点M(a, b)在圆=圆的半径，故直线与圆相交.7. （2013江西高考理科9）过点（，0）引直线l与曲线 相交于A、B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（ ）A.B. C. D.【解题指南】圆心到直线的距离与直线的斜率有关,AOB为等腰三角形,所以AB的长度也可用圆心到直线的距离表示,进而AOB的面积可表示为圆心到直线的距离d的函数,借助二次函数思想可以求解出当AOB的面积取最大值时的d值,进而可以求出直线的斜率.【解析】选B
5、. 曲线 表示以为圆心，以为半径的上半圆.设直线的方程为，即，若直线与半圆相交，则，圆心到直线的距离为（），弦长为，AOB的面积为，易知当时最大，解得，故.8. （2013山东高考理科9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ） A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0【解题指南】本题考查了直线与圆的位置关系，利用圆的几何性质解题即可.【解析】选A. 由图象可知，是一个切点，根据切线的特点可知过点A.B的直线与过点（3,1）、（1、0）的直线互相垂直，所以直线AB的方程为，即2x+y-3=0.二
6、、填空题9. （2013山东高考文科13）过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为_【解题指南】过圆内一点的弦，最长的为直径，最短的为垂直于直径的弦.这样圆心到点的距离，与弦长的一半，半径长构成一个直角三角形.【解析】 半径为，圆心为，圆心到点的距离,所求最短弦长为【答案】 .10.(2013浙江高考文科T13)直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于.【解题指南】由直线方程与圆的方程联立方程组,求两个交点的坐标,再求弦长.【解析】由，解得或，所以两交点坐标为和，所以弦长.【答案】.11. （2013江西高考文科14）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，
7、则圆C的方程是 .【解题指南】设出圆的标准方程，得出圆心坐标和半径的关系，再代入已知点.【解析】设圆的方程为，因为圆C经过点（0,0）和点（4，0），所以a=2，又圆与直线y=1相切，可得，故圆的方程为，将（0,0）代入解得，所以圆的方程为.【答案】.12. （2013湖北高考文科14）已知圆：，直线：（）.设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 .【解题指南】根据直线与圆的位置关系,求圆心到直线的距离,同半径的一半相比较.【解析】半径为R=圆心到直线 的距离d=故数形结合k=4.【答案】4.三、解答题13.(2013江苏高考数学科T17) 如图，在平面直角坐标系中，点，直线。设圆的半径为，
8、圆心在上。（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。【解题指南】(1)先利用题设中的条件确定圆心坐标,再利用直线与圆相切的几何条件找出等量关系,求出直线的斜率.(2)利用MA=2MO确定点M的轨迹方程,再利用题设中条件分析出两圆的位置关系,求出a的取值范围.【解析】(1)由题设知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意,= 1, 解得 k=0或-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以
9、圆C的方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以,化简得,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意知,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则2-1CD2+1,即13.由5a2-12a+80,得aR;由5a2-12a0,得0a.所以圆心C的横坐标a的取值范围为0, .14.（2013新课标全国高考文科20）在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。（1）求圆心的轨迹方程；（2）若点到直线的距离为，求圆的方程。【解题指南】(1)设出点P的坐标与圆P半径，利用弦长、圆心距、半径之间的关系求得点P的轨迹方程；
10、（2）利用已知条件求得点P的坐标，从而求出半径，写出圆的方程.【解析】（1）设，圆P的半径为r.由题设从而.故P点的轨迹方程为.(2)设 又P点在双曲线上，从而得此时圆的半径r= .此时，圆的半径r= .故圆P的方程为，15.（2013四川高考文科20）已知圆的方程为，点是坐标原点。直线与圆交于两点。（1）求的取值范围；（2）设是线段上的点，且。请将表示为的函数。【解题指南】本题求解时要抓住直线与圆有两个交点，所以在求解的取值范围时可以利用判别式进行求解，在第二问的处理上要注意的使用，从而寻找到的关系.【解析】（1）将代入中，得由，得所以的取值范围是.（2）因为M、N在直线上，可设点M、N的坐标分别为则，又.由，得，即，由式可知，所以因为点Q在直线上，所以，代入中并化简，得.由及，可知，即.根据题意，点Q在圆C内，则，所以.于是与的函数关系为.
