1、9.2圆的方程考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度圆的方程掌握确定圆的几何要素;掌握圆的标准方程与一般方程掌握2017课标全国,20;2017江苏,13;2016江苏,18;2015课标,14;2014陕西,12填空题解答题分析解读1.了解参数方程的概念,理解圆的参数方程.2.能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,结合圆的几何性质解决与圆有关的问题.3.高考对本节内容的考查以圆的方程为主,分值约为5分,中等难度,备考时应掌握“几何法”和“代数法”,求圆的方程的方法及与圆有关的最值问题.五年高考考点圆的方程 1.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xO
2、y中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若20,则点P的横坐标的取值范围是.答案-5,12.(2015课标,14,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案+y2=3.(2014陕西,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.答案x2+(y-1)2=14.(2017课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解析(1
3、)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2=4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为=-1,所以OAOB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此 =0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当
4、m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M的方程为+=.5.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值
5、范围.解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0y07,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线lOA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=.因为BC=OA=2,而MC2=d2+,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2)
6、.因为A(2,4),T(t,0),+=,所以因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.将代入,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆x-(t+4)2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆x-(t+4)2+(y-3)2=25有公共点,所以5-55+5,解得2-2t2+2.因此,实数t的取值范围是2-2,2+2.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点圆的方程1.(2018湖南益阳模拟,4)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是() A.-1a1B.0a1C.a1D.a
7、=1答案A2.(2018浙江宁波调研,6)已知圆C的圆心坐标为(2,-1),半径长是方程(x+1)(x-4)=0的解,则圆C的标准方程为()A.(x+1)2+(y-2)2=4B.(x-2)2+(y-1)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=16D.(x+2)2+(y-1)2=16答案C3.(2017豫北名校4月联考,4)圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是() A.(x-)2+(y-1)2=4B.(x-)2+(y-)2=4C.x2+(y-2)2=4D.(x-1)2+(y-)2=4答案D4.(人教A必2,四,4-1A,3,变式)已知圆C过坐标原点,面积为2,且与直线l:x-y+
8、2=0相切,则圆C的方程是()A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y-1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案C5.(2017河南部分重点中学联考,14)圆心在直线x=2上的圆与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则该圆的标准方程为.答案(x-2)2+(y+3)2=56.(2017安徽合肥质检,14)圆C与直线x+y=0及x+y-4=0都相切,圆心在直线x-y=0上,则圆C的方程为.答案(x-1)2+(y-1)2=2B组20162018年模拟提升题组(满分:30分
9、时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018甘肃兰州模拟,7)已知点A是直角三角形ABC的直角顶点,且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2),则ABC的外接圆的方程是() A.x2+(y-3)2=5B.x2+(y+3)2=5C.(x-3)2+y2=5D.(x+3)2+y2=5答案D2.(2017福建厦门4月联考,5)若a,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为() A.0B.1C.2D.3答案B二、填空题(共5分)3.(2017湖南常德一模,14)已知圆C的方程为x2+y2+8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点
10、为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的取值范围为.答案-k0三、解答题(共15分)4.(2016河南中原名校第三次联考,17)已知圆C的方程为x2+(y-4)2=1,直线l的方程为2x-y=0,点P在直线l上,过点P作圆C的切线PA,PB,切点为A,B.(1)若APB=60,求点P的坐标;(2)求证:经过A,P,C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点,并求出所有定点的坐标.解析(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4),PC=2,设P(a,2a),则=2,解得a=2或a=,所以点P的坐标为(2,4)或.(2)设P(a,2a),过点A,P,C的圆即是以PC为直径的圆,其方程为x(x-a
11、)+(y-4)(y-2a)=0,整理得x2+y2-ax-4y-2ay+8a=0,即(x2+y2-4y)-a(x+2y-8)=0.由得或该圆必经过定点(0,4)和.C组20162018年模拟方法题组方法1求圆的方程的方法1.(2018海南海口模拟,7)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为() A.(x+3)2+(y-1)2=1B.(x-3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1答案C2.(2017山西运城二模,15)已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l:x-2y=0的距离为,且
12、圆C被x轴分成的两段弧长之比为31,则圆C的方程为.答案(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=23.(2017河北衡水中学调研,18)已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解析(1)解法一:设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y0.因为ACBC,所以kACkBC=-1,又kAC=,kBC=,所以=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y0).解法二:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质
13、知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y0).(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=,y=,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y0).方法2解决与圆有关的最值问题的方法4.(2018福建长汀
14、模拟,10)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书中,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A、B的距离之比为(0,1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M与两定点A、B(5,0)的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为x2+y2=9.下面,我们来研究与此相关的一个问题:已知圆O:x2+y2=1上的动点M和定点A,已知点B(1,1),则2|MA|+|MB|的最小值为()A.B.C.D.答案C5.(2017湖南长沙二模,5)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2距离的最大值是() A.1+B.2C.1+D.2+2答案A
