1、福建省福州民族中学2020-2021学年高二数学10月月考试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1若,则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件2已知椭圆的一个焦点为，则的值为( )。A、 B、 C、 D、3已知命题P：，则为（ ）ABCD4已知A为抛物线C：y22px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p（）A2B3C6D95设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则（ ）ABCD6直线yk（x2）+1与椭圆的位置关系是（ ）A相离B
2、相交C相切D无法判断7.在椭圆1内，通过点M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为（）A9x16y+70B16x+9y250C9x+16y250D16x9y708已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。A、 B、 C、 D、二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9已知双曲线：(，)的一个焦点坐标为，且两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程为( )。A、 B、 C、 D、10下列命题中
3、正确的是（ ）A，B，C，D，11椭圆的左右焦点分别为，为坐标原点，以下说法正确的是（ ）A过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为.B椭圆上存在点，使得 C椭圆的离心率为D为椭圆一点，为圆上一点，则点，的最大距离为.12已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（ ）AB为等腰直角三角形C直线AB的斜率为D的面积为4三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是_14.已知双曲线的左、右顶点分别为，点在双曲线上，若直线的斜率为，则直线的斜率为_15设F1，F
4、2是双曲线C：x21的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|2，则PF1F2的面积为_16已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_四、 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知p：实数x满足不等式（xa）（x3a）0（a0），q：实数x满足不等式|x5|3（1）当a1时，pq为真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18（本小题满分12分）已知抛物线与双曲线在第一象限的交点为，斜率为的直线过点（1）求双曲线的渐近线方程及离心率；（2）求直线被抛物线所截得的弦长19已知命题：方程
5、表示焦点在轴上的椭圆，命题：,不等式恒成立.（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.20.已知椭圆C：（ab0）过点（，1），且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由21（本小题满分12分）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从、上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求、的标准方程；(2)若直线：()与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围。22（本小题满分12分）已知圆： ，点，
6、以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为。(1)求曲线的方程；(2)若、为曲线上的两点，记、，且，试问的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。福州民族中学2020-2021学年高二上10月月考数学答案1.【答案】A2.【解析】方程变形为，焦点在轴上，解得，又，解得则，故选D。3.【答案】C4.【解答】解：A为抛物线C：y22px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有：9+12p6；故选：C5.【解析】由题意，得又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，选C6.【解析】由题知，直
7、线恒过定点，将点代入可得，故在椭圆内，直线与椭圆相交故选：B点睛：点，椭圆标准方程为，若点在椭圆内，则；若点在椭圆上，则；若点在椭圆外，则.7.【解答】解：设以点M（1，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x22，y1+y22又，得：0又据对称性知x1x2，则，以点M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率k，中点弦所在直线方程为y1（x1），即9x+16y250故选：C8.【解析】由题意，得、，设过的抛物线的切线方程为：，联立得：，令，得，即，不妨设，由双曲线的定义得，则该双曲线的离心率为，故选C。9.【解析】两条渐近线的夹角为，或，又，解得或，双曲线的标准方程为
8、或，故选BC。10. 11.12.【详解】过点向准线作垂线，垂足为，设，如下图所示：A因为，所以，又因为，所以，所以平分，同理可知平分，所以，故结论正确；B假设为等腰直角三角形，所以，所以四点共圆且圆的半径为，又因为，所以，所以，所以，所以，显然不成立，故结论错误；C设直线的方程为，所以，所以，所以， 又因为，所以，所以，所以，所以，所以直线的斜率为，故结论正确；D取，由上可知，所以，所以，故结论错误.故选：AC.13.14.【解析】由题可知，设，则设直线的斜率为，直线的斜率为，则，因为，所以15.【解答】解：由题意可得a1，b，c2，|F1F2|2c4，|OP|2，|OP|F1F2|，PF1
9、F2为直角三角形，PF1PF2，|PF1|2+|PF2|24c216，|PF1|PF2|2a2，|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|6，PF1F2的面积为S|PF1|PF2|3，16.【解析】，点在以为直径的圆上，又点在椭圆内部，即，即，又，17.【解答】解：p：实数x满足不等式（xa）（x3a）0（a0），解得：ax3aa0q：实数x满足不等式|x5|3，解得2x8（1）当a1时，p：1x3pq为真命题，解得2x3实数x的取值范围是2x3（2）若p是q的充分不必要条件，则，等号不能同时成立，解得：2a 实数a的取值范围是2a18.【解析】（1）令，可得双曲线的
10、渐近线方程为，（2分）双曲线的离心率（4分）（2）将与联立，消去可得，解得（负值舍去），因为点位于第一象限，所以，（6分）因为斜率为的直线过点，所以直线的方程为，即，（7分）将代入，消去可得，设直线与抛物线交于，两点，则，（10分）所以直线被抛物线所截得的弦长（12分）19.20.【解答】解：（1）由已知点代入椭圆方程得，由e得可转化为a22b2，由以上两式解得a24，b22，所以椭圆C的方程为：（2）存在这样的直线当l的斜率不存在时，显然不满足，所以设所求直线方程l：ykx+3代入椭圆方程化简得：（1+2k2）x2+12kx+140，（12k）2414（1+2k2）0，设所求直线与椭圆相交两
11、点A（x1，y1），B（x2，y2），由已知条件可得x22x1，综合上述式子可解得 符合题意，所以所求直线方程为：y21.【解析】(1)设抛物线：()，则有()， 1分据此验证个点知，在抛物线上，易求：， 2分设椭圆：()，把点，代入得：， 3分解得，的方程为：； 4分(2)设，将代入椭圆方程，消去得：， 5分，即， 6分由根与系数关系得，则， 7分线段的中点的坐标为， 8分又线段的垂直平分线的方程为， 9分由点在直线上，得， 10分即， 11分由得，即或，实数的取值范围是。 12分22.【解析】(1)取，连接，设动圆的圆心为，两圆相内切，又， 2分点的轨是以、为焦点的椭圆，其中， 3分、，的轨迹方程为； 4分 (2)当轴时，有、，由得，又，、， 6分当与轴不垂直时，设直线的方程为，联立得：， 8分则，由得，即， 10分整理得：，综上所述，的面积为定值。 12分
