1、河北辛集中学2017级高三上学期第三次阶段考试高三文科数学试卷第I卷选择题部分一、单选题1.集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先求集合，然后再求.【详解】 解得： ，.故选D【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.2.已知复数，则的虚部是（ ）A. B. C. -4D. 4【答案】A【解析】【分析】利用复数运算法则及虚部定义求解即可【详解】由，得，所以虚部为.故选A【点睛】本题考查复数的四则运算，复数的虚部，考查运算求解能力.3.已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分
2、析】解不等式，然后利用集合的包含关系来判断出两条件的必要不充分条件关系.【详解】解不等式，得且，因此，“”是“”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为集合的包含关系进行判断，考查推理能力，属于中等题.4.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图知，该几何体是一个直四棱锥，计算出该锥体的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可得出该四棱锥的体积.【详解】由三视图知，该几何体是一个直四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积为，高为，因此，这个四棱锥的体积为，故选A.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的
3、体积，要结合三视图将几何体还原，再结合简单几何体的体积公式进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.5.若，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式以及二倍角公式，化简求得的值.【详解】解：，则,故选C.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式和二倍角公式进行恒等变换，求表达式的值，属于基础题.6.已知向量满足，且，则与的夹角为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据向量模的公式求出，再利用向量夹角公式即可求出【详解】因为，所以解得，设与的夹角为，所以，故，故选B【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式以及向量夹角公式的应用7.直线被圆截得的弦长为
4、，则直线的斜率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得圆心坐标、圆的半径，已知弦长，可利用勾股定理得圆心到直线的距离，然后利用点到线的距离公式得到关于的方程，解方程即可【详解】因为直线被圆截得弦长为，所以圆心到直线的距离，所以，解得，故选D.【点睛】本题考查直线的斜率的求法，已知弦长，通常利用勾股定理求得圆心到直线的距离，然后利用点到线的距离公式得到方程，解出方程即可，属于基础题8.设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析
5、】根据线段中垂线的性质可得，又 ，故有，根据椭圆的定义断判轨迹为椭圆，求出值，即得椭圆的标准方程.【详解】由圆的方程可知，圆心，半径等于5，设点的坐标为，的垂直平分线交于，又 ， ，依据椭圆的定义可得，点的轨迹是以为焦点，且，故椭圆方程为，即，故选D.【点睛】本题主要考查定义法求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；逆代法，将代入.9.如图所示，在长方体中，则与平面所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】如
6、图，作出在平面上的射影，求出和，然后直接求正弦值即可【详解】如图所示，在平面内过点作的垂线，垂足为，连接.平面，的正弦值即为所求.，.【点睛】本题考查线面角的计算问题，属于基础题，解题核心在于找到平面外直线在平面的射影10.数列各项均为正数，且满足，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，则为以1为首项1为公差的等差数列，写出的通项公式，反解出的通项公式，带入1024计算即可得出答案【详解】因为，所以数列为以1为首项1为公差的等差数列，所以所以故选D【点睛】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题11.已知，则的最小值是（ ）.A 3B. C. D. 9【答案】B【解析】【分
7、析】由已知结合指数与对数的运算性质可得，从而，展开后利用基本不等式可得解【详解】，所以，即，所以，则，当且仅当且即，时取等号，则的最小值是故选【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值，要注意应用条件的配凑12.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若函数为偶函数，则函数在的值域为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先进行图像变换得到的表达式，根据为偶函数求得的值，然后根据三角函数值域的求法，求得函数在的值域.【详解】图像向左平移个单位，得到函数，由于函数为偶函数，故，由于，故令求得.所以.由于，所以，故，故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变
8、换，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数值域的求法，属于中档题.13.已知数列满足，则的最小值是（ ）A. 0B. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】将已知的数列递推式变形，可得，然后用累加法求出数列通项公式，【详解】解：由，得，即， ，当时，上式成立，要取最小值，则要最大，当时，取最小值，最小值为1.故选C.【点睛】本题考查累加法求数列通项公式，以及有关最值的求解，考查学生的计算能力，是中档题.14.若存在唯一的正整数 ，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由可得，令，利用导数判断出在上有唯一极大值点，根据存在唯一的正整数使不等式成
9、立，即可求出的范围.【详解】由可得，令,则，令, 得，所以函数在上有唯一极大值点，在上是减函数，因为所以要使不等式存在唯一的正整数，需故选D.【点睛】本题主要考查了与不等式成立有关特称命题，利用导数研究函数的单调性与极值，考查了计算能力，属于中档题.第II卷 非选择题部分二、填空题15.已知向量且则实数_.【答案】【解析】【分析】直接利用向量平行公式得到答案.【详解】则 故答案为【点睛】本题考查了向量的平行，属于基础题型.16.己知两点，直线：与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围_【答案】或【解析】【分析】直线恒经过定点，利用斜率公式求解即可【详解】由题意，直线恒经过定点，由直线的斜率公式，
10、可得，要使直线与线段有公共点，或故答案为：或【点睛】本题考查直线的斜率，考查直线过定点问题，是基础题17.已知椭圆，点是椭圆上在第一象限上的点，分别为椭圆的左、右焦点，是坐标原点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为,若,则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据图像，又，得，利用即可求出离心率【详解】由题意画出图像由题意可知由椭圆定义可知，固有，连接OA，知OA是三角形的中位线，又，得则，即，故答案为【点睛】本题考查椭圆定义的灵活运用，利用垂直平分产生相等线段，对线段相等进行等量代换，是中档题18.己知函数，有以下结论：的图象关于直线轴对称 在区间上单调递减的一个对称中心是 的最大值为则
11、上述说法正确的序号为_（请填上所有正确序号）.【答案】【解析】【分析】根据三角函数性质，逐一判断选项得到答案.【详解】，根据图像知：的图象关于直线轴对称，错误在区间上单调递减，正确的一个对称中心是 ，错误的最大值为，正确故答案为【点睛】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用.三、解答题19.设（1）求的单调递增区间；（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值.【答案】（1）（）；（2）.【解析】【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式化简，再由正弦函数的单调递增区间得，
12、即可求解；（2）由三角函数图像的平移、伸缩变换得到的解析式，把代入即可求解.【详解】解（1）由（），得（）.所以的单调递增区间是（）. （2）由（1）知.把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，即.所以.【点睛】本题考查三角函数化简、三角函数的单调区间以及三角函数图像的变换，解题的关键熟记正弦函数的单调区间以及图像的伸缩变化规律，属于基础题20.已知等差数列中，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的通项公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先设等差数列的公差为，根据已知条件求出首项与公差，即可得到的通项
13、公式，再由，即可求出的通项公式；（2）令数列的前项和为，由，结合等比数列前项和公式，即可求出结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知可得，解得，又，.（2）令数列的前项和为.，.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.21.在三棱锥中，平面，是的中点，是线段上的一点，且.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知易得是的中点，由平行平面内直线，证得平面；（2）设点到平面的距离为，利用，求得【详解】（1）证明：因为，所以.因为，所以是的斜边上的中线，所以是的中点
14、.又因为是的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）解法一：由（1）得，.因为，所以.因为平面，所以.又，所以平面.因为平面，所以.由（1）知，所以.在中，所以.设点到平面的距离为，则由，得，即.解得.即点到平面的距离为.解法二：因为是的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.因为平面，所以.又，所以平面.由（1）知，所以平面.又平面，所以平面平面.过作，垂足为，则平面，所以的长即为点到平面的距离.在中，由得.所以点到平面的距离为.【点睛】本题考查线面平行判定定理、等积法求点到面距离，考查空间想象能力和运算求解能力，注意在求三棱锥体积时，记得对线面垂直关系的证明22.已知圆C：，直线l
15、过定点（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）若直线l与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程【答案】（1）或【解析】【分析】（1）通过直线的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解直线的方程；（2）设直线方程为，求出圆心到直线的距离、求得弦长，得到的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到直线的方程.【详解】（1）若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x1，符合题意. 若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即： ，解之得
16、. 所求直线l1的方程是或.(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不0, 设直线方程为，则圆心到直线l1的距离 又CPQ的面积 当d时，S取得最大值2. k1 或k7所求直线l1方程为 xy10或7xy70 .【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦长公式，以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查，其中熟记直线与圆的位置关系的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.23.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案不唯一，见解析；(2) 【
17、解析】【分析】（1）先由题意得到定义域，对函数求导，分别讨论和两种情况，即可得出结果；（2）因为，由（1）得到函数在上单调递增，不妨设，则可化为，令，则为上的减函数，对求导，根据函数单调性，即可得出结果.【详解】（1）依题意可知：函数的定义域为，当时，在恒成立，所以在上单调递增.当时，由得；由得；综上可得当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增.（2）因为，由（1）知，函数在上单调递增，不妨设，则，可化为，设，则，所以为上的减函数，即在上恒成立，等价于在上恒成立，设，所以，因，所以，所以函数在上是增函数，所以（当且仅当时等号成立）所以【点睛】本题主要考查导数的方法判断函数的单调性，以及由不等式恒成立求参数的问题，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.
