1、第43讲不等式恒成立问题考试要求1.不等式包含两个元的情况(C级要求)；2.不等式恒成立问题涉及一元二次不等式、线性规划、基本不等式恒成立问题.解决问题的本质是转化成求最值问题.诊 断 自 测1.设y(log2x)2(t2)log2xt1，若t在2，2上变化时y恒取正值，则实数x的取值范围为_.解析设f(t)y(log2x1)t(log2x)22log2x1， t2，2，问题转化为：f(t)0对t2，2恒成立 0x或x8.故实数x的取值范围是(8，).答案(8，)2.不等式1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为_.解析由4x26x30，对一切实数x恒成立，从而原不等式等价于2x22mxm4
2、x26x3(xR)，即2x2(62m)x(3m)0对一切实数x恒成立.则(62m)28(3m)0， 解得1m3，故实数m的取值范围是(1，3).答案(1，3)3.(一题多解)已知f(x)0在x上恒成立，则实数a的取值范围为_.解析法一 f(x)0对 x恒成立 x22xa0对 x恒成立.设g(x) x22xa，x，问题转化为：g(x)min0g(x) x22xa(x1)2a1, x，g(x)在上是增函数.g(x)ming(1)3a， 3a0 a3.即所求实数a的取值范围为(3，).法二 f(x)0对 x恒成立 x22xa0 对x恒成立 a(x22x)对x恒成立设(x) (x22x)，x.问题转化
3、为：a(x)max.(x) (x22x)(x1)21，x.(x)在上是减函数. (x)max (1)3， a3，即所求实数a的取值范围为(3，).答案(3，)4.若定义在(0，)的函数f(x)满足f(x)f(y)f(xy)，且x1时不等式f(x)0成立，若不等式f()f()f(a)对于任意x，y(0，)恒成立，则实数a的取值范围是_.解析设0x11，有f 0.这样f(x2)f(x1)f f(x1)f f(x1)f(x1)f 0，则f(x2)0，所以a的取值范围是(0，.答案(0，知 识 梳 理1.恒成立问题转化成最值处理af(x)对xD恒成立af(x)max，af(x)对xD恒成立 af(x)
4、min.2.恒成立问题处理方法：图象法、最值法、参变分离法、变换主元法等.3.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立f(x)minA(xD)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)B在区间D上恒成立f(x)maxA成立f(x)maxA(xD)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立f(x)minA恰在区间D上成立f(x)A的解集为D；不等式f(x)B恰在区间D上成立f(x)B的解集为D.考点一 一元一次不等式恒成立问题【例1】 对于 1a1，求使不等式2xa1在a1，
5、1上恒成立.设f(a)(x1)ax22x1，则f(a)是a的一次函数或常数函数，要使f(a)0在a1，1上恒成立，则须满足x2或x0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值等于_.解析原不等式恒成立等价于m(2ab)的最小值，而(2ab)5529，当且仅当ab时取等号，所以m9，即m的最大值为9.答案92.设变量x，y满足约束条件且不等式x2y14恒成立，则实数a的取值范围是_.解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a8，否则可行域无意义.由图可知x2y在点(6，a6)处取得最大值2a6，由2a614得a10.故a的取值范围是8，10.答案8，103.已知x0，y0，且1，若x2ym2
6、2m恒成立，则实数m的取值范围是_.解析由x0，y0，且1，得x2y(x2y)4428.当且仅当时，即x2y时取等号.又1，此时x4，y2，所以(x2y)min8.要使x2ym22m恒成立，只需(x2y)minm22m恒成立，即8m22m，解得4m0，y0，若不等式x3y3kxy(xy)恒成立，则实数k的最大值为_.解析由题设知k，k1恒成立.1211，当且仅当xy时“”成立，从而k1，即k的最大值为1.答案15.设k0，若关于x的不等式kx5在(1，)上恒成立，则k的最小值为_.解析原不等式变为k(x1)5k.k(x1)4，45k，()2450，(5)(1)0，k1，kmin1.答案16.已
7、知xln x(a1)x10对任意的x恒成立，则实数a的取值范围为_.解析xln x(a1)x10对x恒成立，即aln x1在x上恒成立，令F(x)ln x1，F(x)，在x上F(x)0，F(x)在x1处取极小值，也是最小值，即Fmin(x)F(1)0，a0.答案(，07.设存在实数x，使不等式te|ln x|成立，则实数t的取值范围是_.解析由te|ln x|，得te|ln x|，设h(x)e|ln x|则h(x).当t时，存在实数x使原不等式成立.答案8.若不等式x22y2cx(yx)对任意满足xy0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为_.解析由题意可得c，令t，则0t1，故c；令u1t，
8、则0u0，4a(14a)0，解得a，b，c，f(x)x2x.10.已知函数f(x)ln xx1，g(x)x22bx4.若对任意的x1(0，2)，x21，2，不等式f(x1)g(x2)恒成立，求实数b的取值范围.解问题等价于f(x)在(0，2)上的最小值恒大于或等于g(x)在1，2上的最大值.因为f(x)ln xx1，所以f(x)的定义域为(0，)，所以f(x).若f(x)0，则x24x30，解得1x3，故函数f(x)的单调递增区间是(1，3)，同理得f(x)的单调递减区间是(0，1)和(3，)，故在区间(0，2)上，x1是函数f(x)的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f(x
9、)minf(1).由于函数g(x)x22bx4，x1，2.当b2时，g(x)maxg(2)4b8.故问题等价于或或解第一个不等式组得b1，解第二个不等式组得1b，第三个不等式组无解.综上所述，b的取值范围是.二、选做题11.已知不等式(ax3)(x2b)0对任意x(0，)恒成立，其中a，b是整数，则ab的取值的集合为_.解析当b0时，由(ax3)(x2b)0得到ax30在x(0，)上恒成立，则a0. 当b0时，由(ax3)(x2b)0可设f(x)ax3，g(x)x2b，又g(x)的大致图象如下.由题意可知再由a，b是整数得或因此ab8或2，即取值集合为8，2.答案8，212.已知函数f(x)x3x2x，yf(x)为f(x)的导函数，设h(x)ln f(x)，若对于任意的x0，1，不等式h(x1t)h(2x2)恒成立，求实数t的取值范围.解由已知有f(x)(x1)2，则h(x)2ln|x1|，所以h(x1t)2ln|xt|，h(2x2)2ln|2x1|.当x0，1时，|2x1|2x1，所以不等式等价于0|xt|2x1恒成立，解得x1t3x1，且xt.当x0，1，得x12，1，3x11，4，所以1t1.又xt，所以t0，1，所以t的取值范围是(1，0).
