1、四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先用复数的除法法则进行运算，然后根据复数模的运算公式，进行求模运算.【详解】，故本题选C.【点睛】本题考查了复数的除法运算、求模运算.关键是掌握除法的运算法则和求模的公式.2.已知命题p：xR，2x0，那么命题p为（）A. xR，2x0B. xR，2x0C. xR，2x0D. xR，2x0【答案】C【解析】由全称命题的否定与存在性命题之间的关系
2、可得：，应选答案C3.下列求导运算正确的是（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式、导数的运算法则以及复合函数的导数求法，即可得出结果.【详解】对于A，故A不正确；对于B，故B正确；对于C，故C不正确；对于D，故D不正确；故选：B【点睛】本题主要考查了基本初等函数的导数公式、导数的运算法则以及复合函数的导数，需熟记公式，属于基础题.4.若向量满足条件与共线，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】向量，所以，所以与共线，所以，截得，故选B.5.若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中真命题是( )A. 若则B. 若 则C.
3、 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】对于A，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；对于B，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；对于C，考虑面面垂直的判定定理；对于D，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理.【详解】选项A中，除平行外，还有异面的位置关系，则A不正确；选项B中，与的位置关系有相交、平行、在内三种，则B不正确；选项C中，由，设经过的平面与相交，交线为，则，又，故，又，所以，则C正确；选项D中,与的位置关系还有相交和异面，则D不正确；故选C.【点睛】该题考查的是有关立体几何问题，涉及到的知识点有空间直线与平面的位置关系，面面平行的性质，线面垂直的判定，面面垂直
4、的判定和性质，属于简单题目.6.设p在0,5上随机地取值，则关于x的方程x2px10有实数根的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】方程有实数根，即，解出p范围即可得出概率.【详解】方程有实根，则p240，p在0,5上随机地取值，解得p2或p2（舍去），所以所求概率为.故选：C【点睛】此题考查几何概率模型，关键在于准确解出方程有实根得出p的范围.7.执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】第一次循环，继续循环；第二次循环，继续循环；第三次循环，继续循环；第四次循环，继续循环；第五次循环，结束循环；输出故答案选8.设双曲线的离心率
5、为，且它的一个焦点在抛物线的准线上，则此双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：抛物线的准线为，焦点为双曲线方程为考点：双曲线方程及性质9.函数 的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由于，故函数为奇函数，排除选项，故排除选项，排除选项，故选.10.设偶函数满足，则满足的实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论【详解】解：偶函数满足，函数在上为增函数，不等式等价为，即，即或，解得或，故选：D【点睛】本题主要考查不等式的求解，以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函
6、数的性质，属于中档题11.在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，则该球体积V的最大值是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.考点：球及其性质.12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据得到的单调性，再变形不等式根据单调性求解集.【详解】设，则，所以在上单调递增，又，所以，则有，即.故选B.【点睛】常见的可根据导函数不等式推导抽象函数的情况：（1）已知，则可设；（2）已知，则可设；（3）已知，则可设；（4）已知，则可设.二、填空题：本题共4小题，每
7、小题5分，共20分.13.某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数_【答案】20【解析】【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论【详解】解：初级教师80人，抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为，解得，即初级教师人数应为20人，故答案为：【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题14.函数的极值点是_【答案】或1或0【解析】【分析】先求出函数的导数，再利用导数的符号可求函数的极值点.【详解】，列表讨论如下：减极小值增极大值减极小值增综上，的极值点为或或，填或或
8、.【点睛】若在及其附近可导，则：（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极大值点；（2）在左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极小值点；15.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y-3x的最大值是_【答案】4【解析】【分析】由约束条件得到可行域，将问题转化为在轴截距最大值的求解，通过平移可确定过时截距最大，代入求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：目标函数可化为，则的最大值即为在轴截距最大值由平移可知，当过时，截距最大又 故答案为【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题，属于常考题型.16.若函数在
9、定义域上是增函数，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】定义域，在上恒成立，即在上恒成立，当且仅当时成立，则点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知函数.（1）求在上的最值；（2）对任意，恒有成立，求实数的取位范围.【答案】（1）当时，的最大值为4；当时，的最小值为；（2）.【解析】【分
10、析】（1）对求导，令，得到在上的单调性，从而求得最值；（2）由，数形结合分析可得取值范围.【详解】（1）因为，所以，令，解得或，因为在上，所以在上单调递减；在上单调递增，又因为，所以，当时，的最大值为4；当时，的最小值为.（2）因为，结合的图象：令，解得，所以m的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查根据函数的图像和性质求参数法人方法，要熟练掌握数形结合思想方法的运用，属中档题.18.通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下列联表：男生女生合计挑同桌304070不挑同桌201030总计5050100（1）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽
11、取一个容量为5的样本，现从这5名学生中随机选取3名做深度采访，求这3名学生中恰有2名挑同桌的概率；（2）根据以上列联表，是否有以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？下面的临界值表供参考：0.0500.0100.0013.8416.63510.828（参考公式：，其中.）【答案】（1） （2）有以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关【解析】【分析】（1）计算出抽样比例，从而解得5名学生挑同桌的分布情况，再计算从5人中抽2人的所有可能，找出满足题意的可能，用古典概型计算公式求解；（2）根据公式，计算，对照参考表即可判断.【详解】（1）根据分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑
12、同桌有3人，记为、；不挑同桌有2人，记为、；从这5人中随机选取3人，基本事件为，共10种，这3名学生中恰有2名要挑同桌的事件为，共6种，故所求的概率为；（2）根据以上列联表，计算观测值，对照临界值表知，有以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关【点睛】本题考查了分层抽样、古典概型、的计算，属概率统计综合题，同时也考查了计算能力.19.如图，四棱锥中，平面，为线段上一点，为的中点（I）证明平面；（II）求四面体的体积.【答案】()证明见解析；().【解析】试题分析：（）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（）由条件可知四面体N
13、-BCM的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果试题解析：（）由已知得，取中点，连接，由为中点知，.又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故.所以四面体的体积.【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解20.已
14、知抛物线：的焦点为，点为上异于顶点的任意一点，过的直线交于另一点，交轴正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形.（1）求的方程；（2）若直线，且和相切于点，试问直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.【答案】(1) (2) 直线过定点.【解析】【分析】（1）设，抛物线的焦点为，由，可得，从而，再由点横坐标与中点横坐标相同可求得（2）设，可得，由，可设直线的方程为，由它与抛物线相切可求得，也即得出点坐标，求出直线方程，观察得其过定点注意分类，即按直线斜率是否存在分类讨论【详解】（1）抛物线的焦点，设，则的中点坐标为，解得，或（舍），解得，抛物线方程为.（2）由（1）
15、知，设，则，由得，即，直线斜率，故设直线的方程为，联立方程组，得，直线与抛物线相切，设，则，当时，直线的方程为，直线的方程为，直线过定点，当时，直线方程为，经过定点，综上，直线过定点.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线中定点问题圆锥曲线中定点问题的两种解法：(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关21.已知函数，其中（）讨论的单调性；（）当时，证明：；（）求证：对任意正整数n，都有（其中e2.7183为自然对数的底数）【答案】（）见解析（）见解
16、析（）见解析【解析】【分析】（1）分别在和两段范围内讨论导函数的正负，从而得到单调区间；（2）将问题转化为证明，通过导数求得，从而证得所证不等式；（3）根据（2）可知，令，则可得，累加可得到所证结论.【详解】（1）函数的定义域为，当时，所以在上单调递增,当时，令，解得：当时， 所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增,综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增;（2）当时，要证明，即证，即,设则，令得，,当时，当时，所以为极大值点，也为最大值点 所以，即故当时，; （3）由（2）（当且仅当时等号成立）,令， 则 ,所以,即所以.【点睛】本题考查讨论含参数函数的单调性、利
17、用导数最值证明不等式问题、与自然数相关的不等式的证明问题.对于导数中含自然数的问题的证明，关键是对已知函数关系中的自变量进行赋值，进而得到与相关的不等关系，利用放缩的思想进行证明，属于难度题.22.已知曲线C的参数方程是（为参数，a0），直线l的参数方程是（t为参数），曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系.（1）求曲线C的普通方程；（2）若点A（1，），B（2，），C（3，）在曲线C上，求的值.【答案】（1）1.（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，求出公共点，代入曲线C即可；（2）用极坐标进行处理，利用点在曲线上，点的坐标满足方程，化为三角函数
18、式求解.【详解】（1）直线l的普通方程为xy2，与x轴的交点为（2，0）.又曲线C的普通方程为1，所以a2，故所求曲线C的普通方程是1.（2）因为点A（1，），B，C在曲线C上，即点A（1cos，1sin），B(2cos，2sin（）)，C(3cos，3sin)在曲线C上.故(cos2cos2cos2)(sin2sin2sin2)=【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化，涉及三角函数的化简，极坐标中的距离问题，属基础题.23.已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）当 时，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得出关于的方程的两根分别为和，可得出，从而求出实数的值；（2）利用绝对值三角不等式得出函数的最小值为，可得出，再令，可得出，解出，即，从而可解出实数的取值范围.【详解】（1）由题意得出关于方程的两根分别为和，则，即，解得；（2）当时，由绝对值三角不等式得，又对一切实数恒成立，所以，令，化简得，解得，所以，实数的取值范围为.【点睛】本题考查不等式的解集与不等式之间的关系，同时也考查了绝对值不等式恒成立，解题时根据不等式恒成立转化为函数的最值，并借助三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.
