1、2020-2021学年湖南省常德一中高三（上）第四次月考数学试卷一、单项选择题（每小题5分）.1已知集合Mx|1x4，Nx|x2x60，则MN（）Ax|1x4Bx|1x3Cx|2x3Dx|2x42已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），则（）A1+iB1+iC1iD1i3设函数f（x）log2|x|，若af（log2），bf（log52），cf（e0.2），则a，b，c的大小为（）AbacBcabCbcaDabc4在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），N（1，0）若动点M满足，则的取值范围是（）A0，2B0，2C2，2D2，25直线ykx+3与圆（x3）2+（
2、y2）24相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取值范围是（）A，0B（，0，+）C，D，06已知ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）ABCD75G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比从1999提升至，使得C：大约增加了20%，则的值约为（）（参考数据：lg20.3，103.969120）A7596B9119C11584D144698已知直线l1：kx+y
3、0（kR）与直线l2：xky+2k20相交于点A，点B是圆（x+2）2+（y+3）22上的动点，则|AB|的最大值为（）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9下列不等式成立的是（）A若ab0，则a2b2B若ab4，则a+b4C若ab，则ac2bc2D若ab0，m0，则10在正三棱锥ABCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（）AEF与AD所成角的正切值为BEF与AD所成角的正切值为CAB与面ACD所成角的余弦值为DAB与面ACD所成角
4、的余弦值为11已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）ex（x1）则下列结论正确的是（）A当x0时，f（x）ex（x+1）B函数f（x）有五个零点C若关于x的方程f（x）m有解，则实数m的取值范围是f（2）mf（2）D对x1，x2R，|f（x2）f（x1）|2恒成立12设an是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意nN+，均有an+kan，则称an是间隔递增数列，k是an的间隔数，下列说法正确的是（）A公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B已知，则an是间隔递增数列C已知，则an是间隔递增数列且最小间隔数是2D已知，若an是间隔递增数列且最小间隔数是3，则4t5三、填空题：本题
5、共4小题，每小题5分，共20分13平面向量与的夹角为90，则 14点（2，1）关于直线xy+10对称点的坐标为 15函数ya1x（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny10（mn0）上，则的最小值为 16如图，矩形ABCD中，AD2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MNAD，沿MN将DMN折起，得到三棱锥DMNQ，则三棱锥DMNQ体积的最大值为 ；当三棱锥DMNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（1）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），
6、A（2，4），B（6，2），求OAB的外接圆的方程；（2）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A（1，3）到直线l的距离为，求直线l的方程18已知（）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（）求函数f（x）在区间的取值范围19在a2，a3，a44成等差数列S1，S2+2，S3成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答在公比为2的等比数列an中，_（1）求数列an的通项公式；（2）若bn（n+1）log2an，求数列的前n项和Tn20如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，ABC与B1BC是全等的等边三角形，（1）求证：BCAB1；（2）若，求二面角CB1BA的余弦值21已知椭圆C：1
7、（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，ABF2的周长为8（1）求椭圆C的标准方程；（2）问：ABF2的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由22已知函数f（x）xsinx+cosx（1）求f（x）的单调递增区间；（2）记xi为函数yf（x）（x0）的从小到大的第i（iN*）个极值点，证明：（n2，nN）参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Mx|1x4，Nx|x2x60，则MN（）Ax|1x4Bx|1x3Cx|2x3Dx|2x4解：Mx|1x4
8、，Nx|2x3，MNx|1x3故选：B2已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），则（）A1+iB1+iC1iD1i解：复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），z11+i，z2i故选：D3设函数f（x）log2|x|，若af（log2），bf（log52），cf（e0.2），则a，b，c的大小为（）AbacBcabCbcaDabc解：因为f（x）f（x）即f（x）为偶函数，且x0时，函数单调递增，af（log2）f（log32），bf（log52），cf（e0.2），因为e0.21log32log52，所以cab故选：A4在平面直角坐标系xOy中，
9、已知点A（0，2），N（1，0）若动点M满足，则的取值范围是（）A0，2B0，2C2，2D2，2解：设M（x，y），由动点M满足，得，化简得：x2+（y2）28，由圆的参数方程得：M（2cos，2sin），则2cos2，2，故选：D5直线ykx+3与圆（x3）2+（y2）24相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取值范围是（）A，0B（，0，+）C，D，0解：设圆心（3，2）到直线ykx+3的距离为d，由弦长公式得，MN22，故d1，即1，化简得 8k（k+）0，k0，故k的取值范围是，0故选：A6已知ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）ABC
10、D解：设三边依次是x1，x，x+1，其中x是自然数，且x2，令三角形的最小角为A，则最大角为2A，由正弦定理，有：，cosA，由余弦定理，有：cosA，即，整理得：（x+1）2（x1）（x+4），解得：x5，三边长为4，5，6，则cosA故选：A75G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比从1999提升至，使得C：大约增加了20%，则的值约为（）（参考数据：lg20.3，103.969120）A7596B9
11、119C11584D14469解：由题意得：20%，则1.2，1+20001.2，lg20001.21.2lg20001.2（lg2+3）1.2（0.3+3）3.96，故20001.2103.969120，9119，故选：B8已知直线l1：kx+y0（kR）与直线l2：xky+2k20相交于点A，点B是圆（x+2）2+（y+3）22上的动点，则|AB|的最大值为（）ABCD解：因为线l1：kx+y0恒过定点O（0，0），直线l2：xky+2k20恒过定点C（2，2）且l1l2，故两直线的交点A在以OC为直径的圆上，且圆的方程D：（x1）2+（y1）22，要求|AB|的最大值，转化为在D：（x1
12、）2+（y1）22上找一点A，在E：（x+2）2+（y+3）22上找一点B，使AB最大，根据题意可得两圆的圆心距5，则|AB|max5+2故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9下列不等式成立的是（）A若ab0，则a2b2B若ab4，则a+b4C若ab，则ac2bc2D若ab0，m0，则解：Aab0，则a2b2，正确；B若ab4，则a+b可能小于0，例如，ab2，因此不正确；C若ab，则ac2bc2，c0时取等号，因此不正确；D若ab0，m0，则a（b+m）b（a+m）m（ab）0
13、，正确故选：AD10在正三棱锥ABCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（）AEF与AD所成角的正切值为BEF与AD所成角的正切值为CAB与面ACD所成角的余弦值为DAB与面ACD所成角的余弦值为解：取BD中点M，BC中点N，连结EM，FM，AN，DN，在正三棱锥ABCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，ANBC，DNBC，又ANDNN，BC平面ADN，AD平面ADN，ADBC，EMAD，且EM，MFBC，MF1，EMMF，EF与AD所成角为FEM，EF与AD所成角的正切值为tanFEM，故A错误，B正确；连结BF，AF
14、，则AFCD，BFCD，又AFBFF，CD平面ABF，过点B作BPAF，交AF于P，则BPCD，CDAFF，BP平面ACD，BAF是AB与面ACD所成角，AB3，AF2，BF，cosBAFAB与面ACD所成角的余弦值为，故C正确，D错误故选：BC11已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）ex（x1）则下列结论正确的是（）A当x0时，f（x）ex（x+1）B函数f（x）有五个零点C若关于x的方程f（x）m有解，则实数m的取值范围是f（2）mf（2）D对x1，x2R，|f（x2）f（x1）|2恒成立解：根据题意，函数f（x）定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）ex（x1），依次
15、分析选项：对于A，当x0时，则x0，所以f（x）ex（x1），整理得f（x）f（x）ex（x+1），A正确；对于B，当x0时，f（x）ex（x1），此时有1个零点x1，f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）0，f（1）f（1）0，f（x）有3个零点，B错误；对于C，当x0时，f（x）ex（x1），其导数f（x）ex（2x），在区间（0，2）上，f（x）0，函数f（x）为增函数，在区间（2，+）上，f（x）0，函数f（x）为减函数，则在区间（0，+）上有极大值f（2）e2，而x0，f（x）1，则在区间（0，+）上，有1f（x）e2，又由f（x）为奇函数，则在区间（，0）上，由e2f（x）1，综
16、合可得：f（x）的值域为（1，1），若关于x的方程f（x）m有解，则实数m的取值范围是1m1，C错误；对于D，当x0时，f（x）ex（x+2），得到x2时，f（x）0，2x0，时，f（x）0，所以函数f（x）在（，0）上单调递减，在（2，0）上单调递增，所以x2时f（x）取得最小值，e2，且x2时，f（x）0，所以f（x）f（0）1，即e2f（x）1，当x0时，f（x）ex（2x），所以f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+）上单调递减，x2时，f（x）取最大值e2，且x2时，f（x）0，所以f（x）f（0）1，所以1f（x）e2，所以f（x）的值域为（1，e2e2，1）故x1，x2R，都
17、有|f（x1）f（x2）|2，D正确；故选：AD12设an是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意nN+，均有an+kan，则称an是间隔递增数列，k是an的间隔数，下列说法正确的是（）A公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B已知，则an是间隔递增数列C已知，则an是间隔递增数列且最小间隔数是2D已知，若an是间隔递增数列且最小间隔数是3，则4t5解：，因为q1，所以当 a10 时，an+kan，故错误；B.，令 tn2+kn4，t 在 nN*单调递增，则t（1）1+k40，解得 k3，故正确；C.，当 n 为奇数时，2k（1）k+10，存在 k1 成立，当 n 为偶数时，2 k+（1）k10
18、，存在 k2 成立，综上：an 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；D若 an 是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则，nN*成立，则 k2+（2t）k0，对于 k3 成立，且 k2+（2t）k0对于 k2 成立，即 k+（2t）0，对于 k3 成立，且 k+（2t）0，对于k2 成立，所以 t23，且 t22，解得 4t5，故正确故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13平面向量与的夹角为90，则2解：平面向量与的夹角为90，0，又，24+48，2，故答案为：214点（2，1）关于直线xy+10对称点的坐标为（0，3）解：设所求对称点的坐标为（m，n），则由对称关系可得
19、，解方程组可得，即所求点的坐标为（0，3）故答案为：（0，3）15函数ya1x（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny10（mn0）上，则的最小值为4解：函数ya1x（a0，a1）的图象恒过定点A，A（1，1），点A在直线mx+ny10上（mn0），m+n1（mn0），（m+n）（）2+2+24，当且仅当mn时取等号，mn时，的最小值为4故答案为：416如图，矩形ABCD中，AD2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MNAD，沿MN将DMN折起，得到三棱锥DMNQ，则三棱锥DMNQ体积的最大值为1；当三棱锥DMNQ体积
20、最大时，其外接球的表面积的值为解：设MBt，则AMDN2t，沿MN将DMN折起，当DN平面MNQ时，三棱锥DMNQ的体积最大，此时VDMNQ，当t时，VDMNQ取最大值，最大值为1，此时MB，DN，MQNQ2，MNQ为等边三角形，当三棱锥DMNQ体积最大时，三棱锥DMNQ是正三棱柱的一部分，如图所示：则三棱柱MNQEDF的外接球即是三棱锥DMNQ的外接球，设点G，H分别是上下底面正三角形的中心，线段GH的中点即是三棱柱MNQEDF的外接球的球心O，OH又，MNQ是边长为2的等边三角形，HQ，三棱柱MNQEDF的外接球的半径ROQ，三棱锥DMNQ的外接球的表面积为4R2，故答案为：1；四、解答题
21、：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（1）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（2，4），B（6，2），求OAB的外接圆的方程；（2）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A（1，3）到直线l的距离为，求直线l的方程解：（1）O（0，0），A（2，4），B（6，2），kOA2，OA的中点坐标为（1，2），则OA的垂直平分线方程为，即x+2y50；，OB的中点坐标为（3，1），则OB的垂直平分线方程为y13（x3），即3x+y100联立，解得，故圆心坐标为（3，1），半径rOAB的外接圆的方程为（x3）2+（y1）210；（2）当直线过原点时，设直线方程为ykx
22、，即kxy0由，解得k7或k1直线方程为7x+y0或xy0；当直线不过原点时，设直线方程为x+ya0，由已知可得，解得a2或a6直线方程为x+y20或x+y60综上可得，直线方程为：7x+y0或xy0或x+y20或x+y6018已知（）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（）求函数f（x）在区间的取值范围解：（） 由题意，化简得，所以函数f（x）的最小正周期ysinx的减区间为，由，得，所以函数f（x）的单调递减区间为（）因为，所以所以所以函数f（x）在区间上的取值范围是19在a2，a3，a44成等差数列S1，S2+2，S3成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答在公比为2的等比
23、数列an中，_（1）求数列an的通项公式；（2）若bn（n+1）log2an，求数列的前n项和Tn【解答】方案一：选条件解：（1）由题意，a22a1，a34a1，a448a14，a2，a3，a44成等差数列，2a3a2+a44，即8a12a1+8a14，解得a12，an22n12n，nN*（2）由（1）知，bn（n+1）log2an（n+1）log22nn（n+1），记cn，则cn2，Tnc1+c2+cn2（）+2（）+22+22方案二：选条件解：（1）由题意，S1，a1，S2+23a1+2，S37a1，S1，S2+2，S3成等差数列，2（S2+2）S1+S3，即2（3a1+2）a1+7a1，
24、解得a12，an22n12n，nN*（2）同方案一第（2）题解答过程20如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，ABC与B1BC是全等的等边三角形，（1）求证：BCAB1；（2）若，求二面角CB1BA的余弦值解：（1）证明：取BC中点O，连接AO，B1O，由于ABC与B1BC是全等的等边三角形，AOBC，B1OBC，且AOB1OO，BC平面B1AO，又AB1在平面B1AO内，BCAB1；（2）设ABa，ABC与B1BC是全等的等边三角形，则BB1ABBCACB1Ca，又，由余弦定理可得，在AB1C中，有，所以以OA，OB，OB1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面ABB
25、1的一个法向量为，则，可取，又平面BCB1的一个法向量为，二面角CB1BA的余弦值为21已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，ABF2的周长为8（1）求椭圆C的标准方程；（2）问：ABF2的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由解：（1）离心率为，a2c，ABF2的周长为8，4a8，得a2，c1，b2a2c23，因此，椭圆C的标准方程为（2）设ABF2的内切圆半径为r，又|AF2|+|AB|+|BF2|8，要使ABF2的内切圆面积最大，只需的值最大设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：xmy1，联立消
26、去x得：（3m2+4）y26my90，易得0，且，所以，设，则，设，所以在1，+）上单调递增，所以当t1，即m0时，的最大值为3，此时，所以ABF2的内切圆面积最大为22已知函数f（x）xsinx+cosx（1）求f（x）的单调递增区间；（2）记xi为函数yf（x）（x0）的从小到大的第i（iN*）个极值点，证明：（n2，nN）解：（1）f（x）sinx+xcosxsinxxcosx，由f（x）0可知，当x0时，x（0，）（2k+，2k+）（kN），当x0时，x（2k，2k）（kN），f（x）的递增区间是（2k，2k）（kN），（0，），（2k+，2k+）（kN）；（2）证明：由f（x）0，x0，得xi（nN*），（）（n2，nN*），+（）+（）+（）（）
