1、31导数的概念31.1平均变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：x(min)0102030405060y()3938.738.53837.637.336.8问题1：试比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温变化情况，哪段时间体温变化较快？提示：从20 min到30 min变化快问题2：如何刻画体温变化的快慢？提示：用平均变化率问题3：平均变化率一定为正值吗？提示：不一定可正、可负、可为零1平均变化率一般地，函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为.2平均变化率与曲线变化关系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”对
2、平均变化率的理解(1)由平均变化率的定义知，平均变化率可正、可负、可为零(2)平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢求平均变化率例1已知函数f(x)2x21.(1)求函数f(x)在区间1,1.1上的平均变化率；(2)求函数f(x)在区间2,2.01上的平均变化率思路点拨直接利用平均变化率的定义求解即可精解详析(1)4.2.(2)8.02.一点通求函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率的步骤：第一步：求x2x1；第二步：求f(x2)f(x1)；第三步：由定义得出.1.如图是函数yf(x)的图象，则：(1)函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为_；(2)函数f(x)在区间0,2上的
3、平均变化率为_解析：(1)函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为.(2)由函数f(x)的图象知，f(x)所以函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为.答案：(1)(2)2求函数yf(x)x2在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为，哪一点附近的平均变化率最大？解：在x1附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x.当x时，k12，k24，k36.由于k1k2k3，所以在x3附近的平均变化率最大.平均变化率的应用例2已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)r3.(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；(2)比
4、较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L时半径r的平均变化率，哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？思路点拨首先由球的体积公式变形得到函数r(V)的解析式，再根据求平均变化率的步骤运算精解详析(1)Vr3，r3，r ，r(V) .(2)函数r(V)在区间0,1上的平均变化率约为0.62(dm/L)函数r(V)在区间1,2上的平均变化率约为 0.16(dm/L)显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化快，这说明随着体积的增加，气球的半径增加的越来越慢一点通平均变化率在实际问题中有很大作用，要把实际问题中的量与函数中的量对应起来，从而能利用平均变化率的定义来解决实际
5、问题3已知某一细菌分裂的个数随时间t s的变化满足函数关系式f(t)3t1，分别计算该细菌在1,2，3,4，5,6时间段内分裂个数的变化率，由此你能得出什么结论？解：细菌分裂的个数在1,2内的平均变化率为3236，细菌分裂的个数在3,4内的平均变化率为343354.细菌分裂的个数在5,6内的平均变化率为3635486.由此得出随时间的增加，细菌分裂的个数增加速度越来越快4.某商户2017年上半年的销售收入如图所示：试说明该商户1月到2月和2月到6月的经营情况解：1月到2月，销售收入的平均变化率为4(万元/月)，2月到6月，销售收入的平均变化率为1.5(万元/月)因为41.5，故可说明该商户1月
6、到2月的销售情况较好，2月到6月销售迟缓平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，平均变化率的绝对值反映了曲线在给定的区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，曲线在该区间上的变化越快；反之则慢对应课时跟踪训练(十五) 1函数f(x)在x1到x2之间的平均变化率为_解析：.答案：2某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为cc(t)，下表给出了c(t)的一些函数值：t/min0102030405060708090c(t)/(mg/mL)0.840.890.940.981.001.000.970.900.790
7、.63服药后3070 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为_解析：0.002.答案：0.0023在曲线yx21的图象上取一点(1,2)及附近一点(1x,2y)，则_.解析：x2.答案：x24在曲线yx21的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1.1,2.21)，则该曲线在1,1.1上的平均变化率为_解析：2.1.答案：2.15函数yf(x)ln x1从e到e2的平均变化率为_解析：因为yf(e2)f(e)(ln e21)(ln e1)1，xe2e，所以.答案：6已知自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为sf(t)gt2，计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.000 1秒各段时间
8、内的平均速度(g9.8 m/s2)解：设t(td)t指时间改变量，sf(td)f(t)指位移改变量则sf(td)f(t)g(td)2gt2gtdgd2，gtgd，所以t从3秒到3.1秒的平均速度29.89(m/s)；t从3秒到3.001秒的平均速度29.404 9(m/s)；t从3秒到3.000 1秒的平均速度29.400 49(m/s)7路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上射影点C沿某直线离开路灯(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯的第一个10 s内身影的平均变化率解：(1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CDBE，则，即，所以yf(x)x.(2)在0,10上身影的平均变化率为：.即人离开路灯的第一个10 s内身影的平均变化率为.8若函数yf(x)x2x在2,2x(x0)上的平均变化率不大于1，求x的范围解：因为函数f(x)在2,2x上的平均变化率为：3x，所以由3x1，得x2.又因为x0，即x的取值范围是(0，)
