1、33.3最大值与最小值假设函数yf(x)、yg(x)、yh(x)在闭区间a，b内的图象都是一条连续不断的曲线(如下图所示)问题1：这三个函数在a，b上一定能取得最大值与最小值吗？提示：能问题2：若yh(x)在开区间(a，b)上是一条连续不断的曲线，那么它在(a，b)上一定有最值和极值吗？提示：没有最值，也没有极值问题3：函数的极值是否一定是函数的最值？提示：不一定1最大值和最小值如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，那么f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，那么f(x0)为函数f(x)
2、在定义域上的最小值2求f(x)在区间a，b上的最大值与最小值可以分两步第一步，求f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步，将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值1函数的最值是一个整体性的概念是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较2函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有例如：常数函数既没有极大值也没有极小值求函数的最值例1求函数f(x)4x33x236x5在区间2,2上的最大值与最小值思路点拨先求f(x)，令f(x)0求得极值及端点值，最后
3、比较大小得最值精解详析f(x)12x26x366(2x2x6)，令f(x)0，则x12，x2.x22f(x)0f(x)5723当x2时，f(x)有最大值为57，当x时，f(x)有最小值为.一点通求解函数在闭区间上的最值，必须注意以下几点：(1)对函数进行正确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和函数端点值；(3)比较极值与端点值的大小，确定最值1求函数f(x)x32x21在区间1,2上的最值解：f(x)3x24x，令f(x)0，则x10，x2.当x变化时f(x)，f(x)的变化情况如下：x1(1,0)02f(x)00f(x)211由上表可知f(x)的最大值为1，最小值为2.2已知函数f(
4、x)x2x4，求函数的最值解：f(x)2x2x3，解方程2x2x30，得x0或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)f(x)000f(x)极大值极小值极大值根据上表，结合函数的单调性和极值，画出函数的大致图象如图所示根据图象可知函数有最大值，且f(x)最大值f(1)f(1)，没有最小值求含参数的函数的最值例2已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)在区间0,2上的最大值思路点拨解答本题可先对函数求导，然后根据a的不同取值范围，讨论确定f(x)在区
5、间0,2上的最大值精解详析(1)f(x)3x22ax.因为f(1)32a3，所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为3xy20.(2)令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a.当2，即a3时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0.当02，即0a3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，从而f(x)max综上所述，f(x)max一点通求函数在闭区间上的最值时，如果含有参数，则应进行分类讨论，由于函数的最值只能在极值点和端点处取得，所以只需比较极值点和端点
6、处的函数值的大小即可最后再将讨论的情况进行合并整理3设函数f(x)x33axb(a0)(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点解：(1)f(x)3x23a，因为曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，所以即解得a4，b24.(2)f(x)3(x2a)(a0)，当a0恒成立，即函数在(，)上单调递增，此时函数没有极值点当a0时，令f(x)0，得x1，x2，当x变化时，f(x)与f(x)的变化状态如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)f()f()因此，函数f(x)的单调递增区间为(，)和(，)，单调递减区间为
7、(，)，此时x是f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点4已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值解：因为f(x)exax2bx1，所以g(x)f(x)ex2axb，又g(x)ex2a，x0,1，1exe，(1)若a，则2a1，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0,1上单调递增，g(x)的最小值为g(0)1b.(2)若a，则12ae，于是当0xln(2a)时，g(x)ex2a0，当ln(2a)x1时，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区
8、间ln(2a)，1上单调递增，g(x)的最小值为g(ln(2a)2a2aln(2a)b.(3)若a，则2ae，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0,1上单调递减，g(x)的最小值为g(1)e2ab.综上所述，当a时，g(x) 在区间0,1上的最小值为g(0)1b；当a时，g(x)在区间0,1上的最小值为g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在区间0,1上的最小值为g(1)e2ab.函数最值的应用例3设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm，对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围思路点拨(1)可通过配方求函
9、数f(x)的最小值；(2)h(t)h(t)2t恒成立，从而可转化为求h(t)2t的最大值问题精解详析(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取得最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)2tt33t1.则g(t)3t233(t1)(t1)令g(t)0，得t11，t21(舍去)列表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)极大值1由表可知，g(t)在(0,2)内有最大值1.h(t)g(t)在(0,2)内恒成立m1.即实数m的取值范围是(1，)一点通有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函
10、数是以已知范围的变量为自变量的函数一般地，f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.5设函数f(x)x3x22x5，若对于任意x1,2都有f(x)m成立，求实数m的取值范围解：f(x)3x2x2，令f(x)0，得x或x1.当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，yf(x)在和(1，)上为增函数，在上为减函数，f(x)在x处取得极大值，在x1处取得极小值f，f(1)，f(2)7，f(1).f(x)在1,2上的最大值为7.若对于任意x1,2都有f(x)0，f(x)在上是单调增函数，f(x)minf(0)0，f(x)maxfe.答案：0，e4函数f(x)x33axa在(0,1)
11、内有最小值，则a的取值范围为_解析：因为f(x)3x23a，令f(x)0，可得ax2，又因为函数f(x) 在(0,1)内有最小值，x(0,1)，所以a(0,1)答案：(0,1)5设函数f(x)ax33bx(a，b为实数，a0，b0)，当x0,1时，有f(x)0,1，则b的最大值是_解析：因为f(x)3ax23b，所以令f(x)3ax23b0，可得x ，当 1时，f(x)的最大值为f(1)1，所以b，当0 1，f(x)的最大值为f1，f(1)0，所以b，所以b的最大值是.答案：6已知函数f(x)x33x29xa，若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解：f(x)3x26x
12、9.令f(x)0，即3x26x90，解得x11，x23(舍去)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2，1)1(1,2)2f(x)0f(x)2a5a22a由此得f(2)，f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值，f(2)22a20，a2，f(1)5a7，从而得函数f(x)在2,2上的最小值为7.7已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围解：由题意知f(1)bc3c，因此b3.对f(x)求导，得f(x)4ax3ln xax44bx3x3(4aln xa4b)由题意知
13、f(1)0，得a4b0，解得a12，从而f(x)48x3ln x(x0)令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)1时，f(x)0，此时f(x)为增函数所以f(x)在x1处取得极小值f(1)3c，并且此极小值也是最小值所以要使f(x)2c2(x0)恒成立，只需3c2c2即可整理得2c2c30，解得c或c1.所以c的取值范围为(，1.8已知函数f(x)(ln xk1)x(kR)(1)当x1时，求f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意xe，e2，都有f(x)4ln x成立，求k的取值范围解：(1)f(x)xln xk1ln xk，当k0时，因为x1，所以f(x)ln xk0，函数f(x)的单
14、调增区间是(1，)，无单调减区间，无极值；当k0时，令ln xk0，解得xek，当1xek时，f(x)0；当xek时，f(x)0.所以函数f(x)的单调减区间是(1，ek)，单调增区间是(ek，)，在区间(1，)上的极小值为f(ek)(kk1)ekek，无极大值(2)由题意，f(x)4ln x0，即问题转化为(x4)ln x(k1)x0对于xe，e2恒成立，即k1对于xe，e2恒成立令g(x)，则g(x).令t(x)4ln xx4，xe，e2，则t(x)10，所以t(x)在区间e，e2上单调递增，故t(x)mint(e)4e4e0，故g(x)0，所以g(x)在区间e，e2上单调递增，g(x)maxg(e2)2.要使k1对于xe，e2恒成立，只要k1g(x)max，所以k12，即实数k的取值范围为.
