1、数学选修45二绝对值不等式第1课时绝对值三角不等式核心必知1绝对值的几何意义(1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离(2)对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A、B，那么|ab|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度2绝对值三角不等式(1)如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a，b换成向量a，b，则它的几何意义是三角形两边之和大于第三边3三个实数的绝对值不等式如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立问题思考1|ab|与|a|
2、b|，|ab|与|a|b|及|a|b|分别具有什么关系？提示：|a|b|ab|，|a|b|ab|a|b|.2不等式|a|b|ab|a|b|中“”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a|b|ab|a|b|，右侧“”成立的条件是ab0，左侧“”成立的条件是ab0，且|a|b|；不等式|a|b|ab|a|b|，右侧“”成立的条件是ab0，左侧“”成立的条件是ab0且|a|b|.3绝对值不等式|ac|ab|bc|的几何解释是什么？提示：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|ac|ab|bc|；当点B不在点A，C之间时，|ac|ab|bc|.考点1绝对值三角不等式的应
3、用(1)以下四个命题：若a，bR，则|ab|2|a|ab|；若|ab|1，则|a|b|1；若|x|2，|y|3，则|；若AB0，则lg( lg|A|lg|B|)其中正确的命题有()A4个 B3个 C2个 D1个(2)不等式1成立的充要条件是_精讲详析本题考查绝对值三角不等式定理的应用及充要条件等问题解答问题(1)可利用绝对值三角不等式定理，结合不等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题(2)应分|a|b|与|a|b|时，有|a|b|0，|ab|a|b|a|b|.必有1.即|a|b|是1成立的充分条件当1时，由|ab|0，必有|a|b|0.即|a|b|，故|a|b|是1成立的必要条件故所求为：|
4、a|b|.答案：(1)A(2)|a|b|(1)定理|a|b|ab|a|b|的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边(2)对|a|b|ab|a|b|的诠释：定理的构成部分特征大小关系等号成立的条件左端|a|b|可能是负的中间部分中间部分为|ab|时，ab0，且|a|b|时，左边的等号成立；中间部分为|ab|时，ab0，且|a|b|时，左边等号成立中间部分|ab|肯定是非负的左端右端用“”连接时，ab0，右端取等号，ab0，且|a|b|时，左端取等号；用“”连接时，ab0，且|a|b|时，左端取等号，ab0，右端取等号右端|a|b|是非负的中间部分中间部分为|ab|
5、时，ab0，等号成立；中间部分为|ab|时，ab0，等号成立1(1)已知|a|b|，m，n，则m，n之间的大小关系是()Amn BmnCmn Dmn(2)若x5，nN，则下列不等式：5；|x|lg5lg；xlg5；|x|lg5.其中，能够成立的有_解析：(1)|a|b|ab|a|b|，m1，n1，m1n.(2)01.lg0.由x5，并不能确定|x|与5的关系，可以否定，而|x|lg0，成立答案：(1)D(2) 考点2利用绝对值三角不等式证明不等式已知a，bR且a0，求证：.精讲详析本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉绝对值符号较困难从所证的不等式可以看出，不等式的左边为非负值，而不等式右边的符
6、号不定如果不等式右边非正，这时不等式显然成立；当不等式右边为正值时，有|a|b|.所以本题应从讨论|a|与|b|的大小入手，结合作差比较法，可以使问题得以解决若|a|b|，左边.，.左边右边若|a|0，右边0，原不等式显然成立若|a|b|，原不等式显然成立综上可知原不等式成立含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等
7、方法来证明2设函数f(x)x22x，|xa|1.求证：|f(x)f(a)|2|a|3.证明：f(x)x22x，且|xa|1，|f(x)f(a)|x22xa22a|(xa)(xa)2(xa)|(xa)(xa2)|xa|xa2|xa2|(xa)(2a2)|xa|2a2|1|2a|2|2|a|3，|f(x)f(a)|a的解集不是R，求a的取值范围解：(1)法一：|x3|x1|(x3)(x1)|4，4|x3|x1|4.ymax4，ymin4.法二：把函数看作分段函数y|x3|x1|4y4.ymax4，ymin4.(2)|x3|x1|(x3)(x1)|4，|x3|x1|4.当aa的解集为R.又|x3|x
8、1|a的解集不是R，a4.a的取值范围是4，)本节热点命题关注本课时主要考查绝对值三角不等式的应用，江苏高考以解答题的形式考查绝对值三角不等式在证明中的应用，是高考的一个新亮点考题印证(江苏高考)已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.命题立意本题综合考查不等式的性质和绝对值三角不等式的的应用证明因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，从而3|y|，所以|y|.一、选择题1设|a|1，|b|2B|ab|ab|2C|ab|ab|2D不能比较大小解析：选B当(ab)与(ab)同号时，|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|2.当(a
9、b)与(ab)异号时，|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|2.2对任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值为()A1 B2C3 D4解析：选C|x1|x|y1|y1|(x1)x|(y1)(y1)|3.3设变量x，y满足|x1|ya|1，若2xy的最大值是5，则实数a的值是()A2 B1C0 D1解析：选B由|x1|ya|1，得|x1|1，0x2，且|xy1a|1，axy2a，2xy4a，又2xy的最大值为5，4a5，a1.4若|ac|b，则下列不等式不成立的是()A|a|b|c|B|c|a|b|Cb|c|a| Db|a|c|解析：选D|ac|b，令a1，c2，b3.则|a|1，|b|
10、c|5，|a|b|c|成立|c|2，|a|b|4，|c|a|b|成立|c|a|2|1|1，b|c|a|成立故b|a|c|不成立二、填空题5对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_解析：|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.答案：56下列四个不等式：logx10lg x2(x1)；|ab|a|b|；2(ab0)；|x1|x2|1，其中恒成立的是_(把你认为正确的序号都填上)解析：logx10lg xlg x2，正确ab0时，|ab|a|b|，不正确；ab0，与同号，2，正确；由|x1|x2|的几何意义知|x1
11、|x2|1恒成立，也正确综上正确答案：7已知函数f(x)|x3|2，g(x)|x1|4，若函数f(x)g(x)m1的解集为R，则m的取值范围是_解析：f(x)g(x)|x3|x1|6，因为xR，由绝对值三角不等式，得f(x)g(x)|x3|x1|6|3x|x1|6|(3x)(x1)|6462，于是有m12，得m3，即m的取值范围是(，3答案：(，38设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m0，使|f(x)|m|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为F函数给出下列函数：f(x)0；f(x)x2；f(x)(sin xcos x)；f(x)；f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均
12、有|f(x1)f(x2)|2|x1x2|.其中是F函数的序号是_解析：由|f(x)|m|x|，当x0时，知m，对于，有0，x0，故取m0即可；对于，由|x2|x|2，|x|，无最大值；对于，由f(x)2sin，而无最大值；对于，由，x0，只要取m即可；对于，令x20，x1x ，由f(0)0，知|f(x)|2|x|.答案：三、解答题9设不等式2|x1|x2|0的解集为M，a，bM，证明：.证明：记f(x)|x1|x2|由22x10，解得x，则M.因为a，bM，所以|a|，|b|，所以|a|b|.10设a，bR，求证：.证明：法一：若ab0或ab0，不等式显然成立若ab0且ab0，|ab|a|b|
13、，(*)又，.又由(*)式可知.综上可知.法二：若ab0或ab0，不等式显然成立若ab0且ab0，|ab|a|b|，011，即0.取倒数得，又由法一知，原不等式成立法三：|a|b|ab|，|a|b|(|a|b|)|ab|ab|(|a|b|)|ab|，即(|a|b|)(1|ab|)|ab|(1|a|b|)两边同除以(1|ab|)(1|a|b|)得.又由法一知，原不等式成立法四：构造函数f(x)，任取x1，x20，)且x1x2，有f(x1)f(x2)0.f(x)在0，)上为增函数又|a|b|ab|，f(|a|b|)f(|ab|)，即.又由法一知，所证不等式成立11已知a、b、c为实数，函数f(x)
14、ax2bxc，g(x)axb，当1x1时，|f(x)|1.(1)证明：|c|1；(2)证明：当1x1时，|g(x)|2.证明：(1)当1x1时，|f(x)|1，取x0时，有|c|f(0)|1，即|c|1.(2)法一：当a0时，g(x)axb在1,1上是增函数g(1)g(x)g(1)|f(x)|1(1x1)，|c|1，g(1)abf(1)c|f(1)|c|2.g(1)abf(1)c(|f(1)|c|)2.由此得|g(x)|2.当a0时，g(x)axb在1,1上是减函数g(1)g(x)g(1)|f(x)|1(1x1)，|c|1，g(1)abf(1)c|f(1)|c|2.g(1)abf(1)c(f(1)|c|)2.由此得|g(x)|2.当a0时，g(x)b，f(x)bxc.1x1，|g(x)|f(1)c|f(1)|c|2.综上所述，|g(x)|2.法二：由x，得g(x)axbaba2bca2bcff.当1x1时，有01，10，ffff2.即|g(x)|2.
