1、第3章单元检测(B卷)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1在以下命题中，不正确的个数为_|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若ab，则存在惟一的实数，使ab；若ab0，bc0，则ac；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一基底；|(ab)c|a|b|c|.2已知a与b是非零向量且满足(a2b)a，(b2a)b，则a与b的夹角是_3若向量a(1，x,2)，b(2，1,2)，且a，b夹角的余弦值为，则x_.4若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2，de12e23e3(e1，e2，e3为空间的一个基底)，且dxay
2、bzc，则x，y，z分别为_5已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k值是_6已知a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为_7.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为_8.如图所示，BAD90的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为_9.如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，AFABBCFEAD，则异面直线BF与DE所成的角的大小为_10.已知四面体ABC
3、D的六条棱长都是1，则直线AD与平面ABC的夹角的余弦值为_11已知四边形ABCD中，a2c，5a6b8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则_.12如果向量a(1,0,1)，b(0,1,1)分别平行于平面，且都与此两平面的交线l垂直，则二面角l的大小是_13.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角BA1C1B1的正切值为_14已知a，b，c为ABC的三个内角A， B，C的对边，向量m(，1)，n(cos A，sin A)若mn，且acos Bbcos Acsin C，则角B_.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15(14分)如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点
4、，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为PAB、PBC、PCD、PDA的重心，应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面16(14分)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，试确定平面EFG和平面HMN的位置关系17.(14分)如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ABBC，BB13，D为A1C1的中点，F在线段AA1上，(1)AF为何值时，CF平面B1DF? (2)设AF1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值18(16分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，E
5、FFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H为BC的中点(1)求证：FH平面EDB；(2)求证：AC平面EDB；(3)求二面角BDEC的大小19.(16分)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面ABCD是直角梯形，A为直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值20(16分)在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90，SA面ABCD，SAABBC1，AD.求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值第3章空间向量与立体几何(B)14解析不正确，由|a|b|ab|知a与b反向，a与b共线，但a与b共线不一定有|a|b|ab|；不正确，应加上条件b
6、0；不正确，当b0时，a与c不一定相等；正确；不正确，应为|(ab)c|a|b|c|.2.解析由已知(a2b)a0，(b2a)b0a22abb2.cosa，b，a，b.32或解析cosa，b，解得x2或x.4.，1解析dxaybzc(xyz)e1(xyz)e2(xy)e3e12e23e3，空间任一向量都可以用一个空间基底惟一表示，从而得到解得x，y，z1.5.6.解析因为|a|b|，所以平行四边形为菱形，又ab(4,1,3)，ab(0， 3,1)，|ab|，|ab|，S|ab|ab|.7.解析建立如图所示，空间直角坐标系Dxyz，则，|，所以cos，.845960解析以点A为坐标原点，AB，A
7、D，AF分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz，设AB1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)(1,0,1)，(0，1,1)，于是cos，.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.10.113a3b5c解析取AD中点P，连结EP，FP，则，所以(6a6b10c)3a3b5c.1260或120解析cosa，b，所以a与b夹角为60或120，即l大小为60或120.13.14.解析由题意知mn0，cos Asin A0，tan A，A，又acos Bbcos Acsin C，即sin Acos Bsin Bcos As
8、in2C，sin(AB)sin2C，sin(C)sin2C，sin Csin2C，sin C1，C，B.15证明分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.E、F、G、H分别是所在三角形的重心，M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有，.MNQR为平行四边形，()()().由共面向量定理得E、F、G、H四点共面16解如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，易得E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)(0，1,1)，(1,0,1)，(0,1，1)，(1,0，1)设m(x1，
9、y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面EFG、平面HMN的法向量，由，令x11，得m(1，1，1)由，令x21，得n(1，1，1)mn，故mn，即平面EFG平面HMN.17解(1)因为直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1面ABC，ABC.以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系因为ABBC，从而B(0,0,0)，A(，0,0)，C(0，0)，B1(0,0,3)，A1(，0,3)，C1(0，3)，D.所以(，3)，设AFx，则F(，0，x)，(，x)，(，0，x3)，.()x00，所以.要使CF平面B1DF，只需CFB1F.由2x(x3)0，得x1或x
10、2，故当AF1或2时，CF平面B1DF.(2)由(1)知平面ABC的法向量为n1(0,0,1)设平面B1CF的法向量为n(x，y，z)，则由得令z1得n，所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值cosn，n1.18(1)证明四边形ABCD是正方形，ABBC.又EFAB，EFBC.又EFFB，BCFBB，EF平面BFC.EFFH，ABFH.又BFFC，H为BC的中点，FHBC.FH平面ABC.以H为坐标原点，为x轴正向，为z轴正向，建立如图所示坐标系设BH1，则A(1，2,0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1，2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)设AC与BD的交点为
11、G，连结GE，GH，则G(0，1,0)，(0,0,1)，又(0,0,1)，.又GE平面EDB，HF不在平面EDB内，FH平面EDB.(2)证明(2,2,0)，(0,0,1)，0，ACGE.又ACBD，EGBDG，AC平面EDB.(3)解(1，1,1)，(2，2,0)，(0，2,0)，(1，1,1)设平面BDE的法向量为n1(1，y1，z1)，则n11y1z10，n122y10，y11，z10，即n1(1，1,0)设平面CDE的法向量为n2(1，y2，z2)，则n20，y20，n20,1y2z20，z21，故n2(1,0，1)，cosn1，n2，即n1，n260，即二面角BDEC为60.19解以
12、D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，(0,1,0)，(2，3,2)，|1，|.cos，.异面直线DC与BC1所成的角的余弦值为.20解建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)，(0,0，1)，(1,0，1)，(1,1，1)，.设平面SAB的法向量为n1(x1，y1，z1)平面SCD的法向量为n2(x2，y2，z2)，平面SAB与平面SCD所成的角为.由n10与n10.可得n1(0,1,0)由n20与n20，可得n2(1,2,1)cosn1，n2.cos ，sin ，tan .即面SCD平面SBA所成的二面角的正切值为.
