1、2绝对值不等式的解法1|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法只需将axb看成一个整体，即化成|x|a，|x|a(a0)型不等式求解|axb|c(c0)型不等式的解法：先化为caxbc，再由不等式的性质求出原不等式的解集不等式|axb|c(c0)的解法：先化为axbc或axbc，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集2|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想确定各个绝
2、对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键|f(x)|g(x)和|f(x)|g(x)型不等式的解法例1解下列不等式：(1)17x；(3).思路点拨(1)可利用公式转化为|axb|c(c0)或|axb|0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式；(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式；(3)可分类讨论去掉分母和绝对值解(1)法一：原不等式等价于不等式组即解得1x1或3x5，所以原不等式
3、的解集为1,1)(3,5法二：原不等式可转化为：或由得3x5，由得1x1，所以原不等式的解集是1,1)(3,5法三：原不等式的解集就是1(x2)29的解集，即解得1x1或37x，可得2x57x或2x52或x4.原不等式的解集是(，4)(2，)(3)当x220且x0，即x0时，原不等式可化为x22|x|，即|x|2|x|20，|x|2，不等式的解为|x|2，即x2或x2.原不等式的解集为(，2(，0)(0，)2，)含绝对值不等式的常见类型及其解法(1)形如|f(x)|a(aR)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即当a0时，|f(x)|aaf(x)af(x)a或f(x)a.当a0时，|f(
4、x)|af(x)0.当a0时，|f(x)|af(x)有意义(2)形如|f(x)|g(x)|型不等式此类问题的简单解法是利用平方法，即|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2f(x)g(x)f(x)g(x)0.(3)形如|f(x)|g(x)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(其中g(x)可正也可负)若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂(4)形如a|f(x)|a0)型不等式此类问题的简单解法是利用等价命题法，即a|f(x)|b(0ab)af(x)b或bf(x)a.(5)形如|f(x)|f(x)型不等式此
5、类题的简单解法是利用绝对值的定义，即|f(x)|f(x)f(x)0.1解下列不等式：(1)|32x|x1.解：(1)|32x|9，|2x3|9.92x39.即62x12.解得3x6.原不等式的解集为x|3xx1或x23x40或x22x35或x1或1x0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况2解不等式|2x1|x4|2.解：法一：令y|2x1|x4|，则y作出函数y|2x1|x4|与函数y2的图象，它们的交点为(7,2)和.|2x1|x4|2的解集为(，7).法二：当x4时，(2x1)(x4)
6、2，解得x3，x4.当x2，解得x，x4.当x2，解得x7，xm，分别求出满足下列条件的m的取值范围(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为.思路点拨解答本题可以先根据绝对值|xa|的意义或绝对值不等式的性质求出|x2|x3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的取值范围解法一：因为|x2|x3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(2)，B(3)距离的差即|x2|x3|PA|PB|.由图象知(|PA|PB|)max1，(|PA|PB|)min1.即1|x2|x3|1.(1)若不等式有解，m只要比|x2|x3|的最大值小即可，即m1，m的取值范围为(，1)(
7、2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x2|x3|的最小值小即可，即m1，m的取值范围为(，1)(3)若不等式的解集为，m只要不小于|x2|x3|的最大值即可，即m1，m的取值范围为1，)法二：由|x2|x3|(x2)(x3)|1，|x3|x2|(x3)(x2)|1，可得1|x2|x3|1.(1)若不等式有解，则m(，1)(2)若不等式解集为R，则m(，1)(3)若不等式解集为，则m1，)问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f(x)a恒成立f(x)maxa恒成立f(x)mina.4把
8、本例中的“”改成“”，即|x2|x3|m，其他条件不变时，分别求出m的取值范围解：|x2|x3|(x2)(x3)|1，即|x2|x3|1.(1)若不等式有解，m为任何实数均可，即mR.(2)若不等式解集为R，即m(，1)(3)若不等式解集为，这样的m不存在，即m.1若不等式|ax2|6的解集为(1,2)，则实数a的取值为()A8B2C4 D8解析：选C原不等式化为6ax26，即8ax4.又1x的解集是()Ax|0x2 Bx|x2Cx|x2解析：选B由，可知0，x2.3若关于x的不等式|x1|kx恒成立，则实数k的取值范围是()A(，0 B1,0C0,1 D0，)解析：选C作出y|x1|与l1：
9、ykx的图象如图所示，当k0时，要使|x1|kx恒成立，只需k1.综上可知k0,14如果关于x的不等式|xa|x4|1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是()A(，35，)B5，3C3,5D(，53，)解析：选D在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a5或a3.5不等式|x2|x|的解集是_解析：不等式两边是非负实数，所以不等式两边可以平方，两边平方得(x2)2x2，x24x4x2.即x1.原不等式的解集为x|x1答案：x|x16不等式|2x1|x1的解集是_解析：原不等式等价于|2x1|x1x12x1x10x2.答案：x|0x27若关于x的不等式|x2|x1|a的解集为，则a的取值范围为_解析
10、：法一：由|x2|x1|x2|1x|x21x|3，知a3时，原不等式无解法二：数轴上任一点到2与1的距离之和最小值为3.所以当a3时，原不等式的解集为.答案：(，38解不等式|2x4|3x9|2时，原不等式可化为解得x2.(2)当3x2时，原不等式可化为解得x2.(3)当x3时，原不等式可化为解得x1；(2)当x0时，函数g(x)(a0)的最小值大于函数f(x)，试求实数a的取值范围解：(1)当x2时，原不等式可化为x2x11，解集为.当1x2时，原不等式可化为2xx11，即1x0；当x1，即x1.综上，原不等式的解集是x|x0时，f(x)所以f(x)3,1)，所以211，即a1，故实数a的取值范围是1，)10已知f(x)|ax2|axa|(a0)(1)当a1时，求f(x)x的解集；(2)若不存在实数x，使f(x)3成立，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)|x2|x1|x，当x2时，原不等式可转化为x2x1x，解得x3；当1x2时，原不等式可转化为2xx1x，解得x1，x；当x1时，原不等式可转化为2x1xx，解得x1.综上可得，f(x)x的解集为x|x1或x3(2)依题意，对xR，都有f(x)3，则f(x)|ax2|axa|(ax2)(axa)|a2|3，a23或a23，a5或a1(舍去)，a的取值范围是5，)
