1、专题能力提升练 八等差数列、等比数列(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知an为等差数列,Sn为其前n项和,若a3+7=2a5,则S13=()A.49B.91C.98D.182【解析】选B.设等差数列an的公差为d,因为a3+7=2a5,所以a1+2d+7=2(a1+4d),化为:a1+6d=7=a7.则S13=13a7=137=91.2.已知在等比数列an中,a5=3,a4a7=45,则的值为()A.3B.5C.9D.25【解析】选D.根据题意,在等比数列an中,a5=3,a4a7=45,则有a6=15,则q=5,则=q2=25.3.(2018茂名一模)算法统宗是明朝程
2、大位所著数学名著,其中有这样一段表述:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”,其意大致为:有一栋七层宝塔,每层悬挂的红灯数为上一层的两倍,共有381盏灯,则该塔中间一层有_盏灯()A.24B.48C.12D.60【解析】选A.由题意可知宝塔从上至下每层的灯盏数构成公比为2的等比数列,设等比数列的首项为a,则有=381,解得a=3.所以该塔中间一层(即第4层)的灯盏数为323=24.4.已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.因为S4+S62S5,所以4a1
3、+6d+6a1+15d2(5a1+10d),所以21d20d,所以d0,故“d0”是“S4+S62S5”充要条件.5.(2018荆州一模)已知数列an是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列bn的连续三项,则的值为()A.B.4C.2D.【解析】选A.数列an是公差d不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列bn的连续三项,所以=a1a7,可得(a1+2d)2=a1(a1+6d),化为:a1=2d0.所以公比q=2.则=.6.设数列an前n项和为Sn,已知a1=,an+1=则S2 018等于()A.B.C.D.【解析】选B.因为a1=,所以a2=2-1=,a3=2-1=,a4=
4、2=,a5=2=,所以数列an是以4为周期的周期数列,所以a1+a2+a3+a4=+=2,所以S2 018=504(a1+a2+a3+a4)+a1+a2=1 008+=.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知等差数列an前15项的和S15=30,则a2+a9+a13=_.【解析】设等差数列的公差为d,an前15项的和S15=30,所以=30,即a1+7d=2,则a2+a9+a13=(a1+d)+(a1+8d)+(a1+12d)=3(a1+7d)=6.答案:68.递减的等比数列an的前n项和为Sn,若a2=3,S3=13,则a5=_.世纪金榜导学号【解析】由an是递减的等比数列,a2=3,S
5、3=13,所以a1q=3,a1+a2+a3=13,即a1+a1q2=10.由解得:q=(q=3舍去),a1=9.那么a5=a1q4=.答案:三、解答题(每小题10分,共40分)9.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(nN*).(1)求a1,a2,a3的值.(2)设bn=an+3,证明数列bn为等比数列,并求通项公式an.【解析】(1)因为数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(nN*).所以n=1时,由a1=S1=2a1-31,解得a1=3,n=2时,由S2=2a2-32,得a2=9,n=3时,由S3=2a3-33,得a3=21.(2)因为Sn=2an-3n,所以Sn+
6、1=2an+1-3(n+1),两式相减,得an+1=2an+3,*把bn=an+3及bn+1=an+1+3,代入*式,得bn+1=2bn(nN*),且b1=6,所以数列bn是以6为首项,2为公比的等比数列,所以bn=62n-1,所以an=bn-3=62n-1-3=3(2n-1).10.设数列an的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意nN*,Sn是和an的等差中项.(1)证明:数列an为等差数列.(2)若bn=-n+5,求anbn的最大项的值并求出取最大值时n的值.【解析】(1)由已知可得2Sn=+an,且an0,当n=1时,2a1=+a1,解得a1=1;当n2时,有2Sn-1=+an-1
7、,所以2an=2Sn-2Sn-1=-+an-an-1,所以-=an+an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1,因为an+an-10,所以an-an-1=1(n2).故数列an是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)可知an=n,设cn=anbn,则cn=n(-n+5)=-n2+5n=-+,因为nN*,当n=2或n=3时,anbn的最大项的值为6.11.已知等比数列an满足a1a6=32a2a10,an的前3项和S3=.(1)求数列an的通项公式.(2)记数列bn=log2,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)等比数列an中,由a1a6=32a2a10得=,即q
8、5=,q=,由S3=a1+a1q+a1q2=,得a1=3,所以数列an的通项公式an=3,nN*.(2)由题知,bn=log2=log2=1-n.又因为bn+1-bn=-1,所以数列bn是等差数列,Tn=.12.已知数列的首项为1,Sn为数列的前n项和,且满足Sn+1=qSn+1,其中q0,nN*,又2a2,a3,a2+2成等差数列.世纪金榜导学号(1)求数列的通项公式.(2)记bn=2an-,若数列为递增数列,求的取值范围.【解析】(1)由Sn+1=qSn+1可得,当n2时,Sn=qSn-1+1-得:an+1=qan.又S2=qS1+1且a1=1,所以a2=q=qa1,所以数列an是以1为首
9、项,q为公比的等比数列.又2a2,a3,a2+2成等差数列,所以2a3=2a2+a2+2=3a2+2,即:2q2=3q+2,所以2q2-3q-2=0,解得:q=2或q=-(舍),所以数列an的通项公式为:an=2n-1(nN*).(2)由题意得:bn=22n-1-(log22n)2=2n-n2,若数列bn为递增数列,则有bn+1-bn=2n+1-(n+1)2-2n+n2=2n-2n-0,即1,所以数列为递增数列.所以,所以an-10,公比q1.因为a2+a4=10 ,且=16=a3a3=a2a4由解得a2=2,a4=8.又因为a4=a2q2,得q=2或q=-2(舍).则得a5=16,a6=32
10、,因为loa1+loa2+loa10=lo(a1a2a10)=5lo(a5a6)=5lo(1632)=59lo2=452lo=90.2.在等差数列an中,其前n项和是Sn,若S150,S160,S16=8(a8+a9)0,a90,0,0,0,0,0,而S1S2a2a8,所以在,中最大的是.3.已知数列an是等比数列,其公比为2,设bn=log2an,且数列bn的前10项的和为25,那么a1+a2+a3+a10的值为_.【解析】设an的首项为a,则an=a2n-1,所以bn=log2an=log2a+n-1,所以bn-bn-1=log2an-log2an-1=log22=1,所以数列bn是以lo
11、g2a为首项,以1为公差的等差数列,所以10log2a+=25,所以a=,所以数列an的首项为,所以a1+a2+a3+a10=.答案:4.(2018荆州一模)在数列an中,a1=1,n2时,an=an-1+n,若不等式对任意nN*恒成立,则实数的取值范围是_.世纪金榜导学号【解析】在数列an中,a1=1,n2时,an=an-1+n,即an-an-1=n,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+2+1=,a1=1也适合上式,所以an=.不等式化为:,由于2,不等式对任意nN*恒成立,则2.则实数的取值范围是2,+).答案:2,+)5.(2018
12、广元一模)已知数列an的前n项和Sn=k(3n-1),且a3=27.(1)求数列an的通项公式.(2)若bn=log3an,求数列的前n项和Tn.【解析】(1)数列an的前n项和Sn=k(3n-1),且a3=27.当n=3时,a3=S3-S2=k(33-32),解得k=,当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=3n,由于a1=S1=3也满足上式,所以an=3n.(2)若bn=log33n=n,所以:=-,所以Tn=1-+-+-=1-=.6.(2018东莞一模)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(nN*).世纪金榜导学号(1)求数列an的通项公式.(2)求数
13、列Sn的前n项和Tn.【解析】(1)数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-2.则Sn+1=2an+1-2,-得:an+1=2an,即=2(常数),当n=1时,a1=S1=2a1-2,解得:a1=2,所以数列的通项公式为an=22n-1=2n.(2)由于:an=2n,则Sn=21+22+2n=2n+1-2.Tn=2(21+22+2n)-2-2-2,=2n+2-4-2n.【加固训练】1.(2018闵行一模) 已知数列an,bn满足bn=ln an,nN*,其中bn是等差数列,且a3a1 007=e4,则b1+b2+b1 009=_.【解析】数列an,bn满足bn=ln an,nN*,其中bn是
14、等差数列,所以bn+1-bn=ln an+1-ln an=ln=t(常数).所以=et=q0,因此数列an为等比数列.且a3a1 007=e4,所以a1a1 009=a2a1 008=a3a1 007=e4.则b1+b2+b1 009=ln(a1a2a1 009)=ln=ln e2 018=2 018.答案:2 0182.(2018松江区一模)已知数列an的通项公式为an=2qn+q(q0,nN*),若对任意m,nN*都有,则实数q的取值范围为_.【解析】由an=2qn+q(q0,nN*),因为a1=3q0,且对任意nN*,故an0,特别地2q2+q0,于是q,此时对任意nN*,an0.当-qq,a2n-1=-2|q|2n-1+q及6,解得-q0.综上所述,q的取值范围为.答案:关闭Word文档返回原板块
