1、江苏省淮安市2012届高三第四次调研测试数学试题数学 必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1设集合，则= 2设复数z=a+b(a，bR)，且满足z=1+（其中为虚数单位），则a+b 3已知两条直线：，：，若，则实数= 4如果执行右面的程序框图，那么输出的 5若函数图像上第一象限有一点A到轴的距离为1，与轴的交点为B，则 6已知实数满足则的取值范围是 7已知公差不为0的等差数列an满足a1、a4、a16成等比数列，Sn为数列an的前n项和，则的值为 8已知整数满足，则使函数的周期不小于的概率是 9设a、b为空间的两条直线，、为空间的两个平面
2、，给出下列命题：若a，a，则；若a，a，则；若a，b，则ab；若a，b，则ab上述命题中，所有真命题的序号是 10已知平行四边形的顶点坐标依次为,，若动点M与点、点连线的斜率之积为，则 11已知中，角所对边分别为，若则的最小值为 12已知曲线存在垂直于轴的切线，函数在上单调递增，则的范围为 13已知，对任意正数，始终可以是一个三角形的三条边，则实数m的取值范围为 14已知正数满足，则的最小值为 二、解答题： 本大题共6小题， 1517每小题14分，1820每小题16分，共计90分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，求证过程或演算步骤15 (本小题满分14分)如图，O为坐标原点，点
3、A，B在O上，且点A在第一象限，点，点C为O与轴正半轴的交点，设COB(1) 求sin2的值；(2) 若，求点A的横坐标xA16 (本小题满分14分)第16题如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD平面ABE，AEB90，BEBC，F为CE的中点，求证：(1) AE平面BDF；(2) 平面BDF平面BCE17 (本小题满分14分)某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：原材料费每件50元；职工工资支出元；电力与机器保养等费用为元.其中是该厂生产这种产品的总件数。（1）把每件产品的成本费(元)表示成产品件数的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量
4、不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价为（元），且，试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最高总利润。（总利润=总销售额-总的成本）18 (本小题满分16分)如图，椭圆(ab0)的上、下两个顶点为A、B，直线l：，点P是椭圆上异于点A、B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为，BP所在的直线的斜率为若椭圆的离心率为，且过点（1）求的值；（2）求MN的最小值；（3）随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点，若过定点，求出该定点，如不过定点，请说明理由19 (本小题满分16分)已知函数(1) 若时，恒成立，求的取值范
5、围；(2) 若时，函数在实数集上有最小值，求实数的取值范围20 (本小题满分16分)已知数列，且满足（）.（1）若，求数列的通项公式；（2）若，且.记，求证：数列为常数列；（3）若，且.若数列中必有某数重复出现无数次，求首项应满足的条件.数学 附加题部分注意事项：1本试卷共2页，均为解答题（第21题第23题），请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤。2本卷满分为40分，考试时间为30分钟，考试结束后，请将答题卡交回。3作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效。21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并
6、在答题纸指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A 选修41：几何证明选讲第21（A）题如图，圆O的直径AB4，C为圆周上一点，BC2，过C作圆O的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆O交于点D、E，求线段AE的长B 选修42：矩阵与变换已经矩阵M(1)求直线4x10y1在M作用下的方程；(2)求M的特征值与特征向量C 选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，点O(0,0)， B（1）求以为直径的圆的直角坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，判断直线与圆的位置关系D 选修45：不等式选讲已知x、y、z均为正数求证：【必做题】第22题、第2
7、3题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）在三棱锥SABC中,底面是边长为2的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是BC的中点,侧棱SA和底面成45角(1) 若D为侧棱SA上一点，当为何值时，BDAC；(2) 求二面角SACB的余弦值大小23（本题满分10分）已知，（1）若，求的展开式中的系数；（2）证明： ,() 淮安市20112012学年度高三年级第三次调研测试 数学试题参考答案与评分标准 2012年月数学 必做题部分一、填空题1 20 32 42550 5 6 7 8 9104 111 12 13 14二、解答
8、题15 (1) 因点C在轴正半轴上，点，所以由三角函数定义知cos，sin，3分所以sin22sincos6分(2) 因为，又 ，所以，由题意可知BOA45，9分又，所以，而12分故点A的横坐标 14分16 证明：(1) 设ACBDG，连结FG，易知G是AC的中点，因为 F是EC中点，所以 在ACE中，FGAE2分因为 AE平面BDF，FG平面BDF，所以 AE平面BDF 6分(2) 因为 平面ABCD平面ABE，BCAB，平面ABCD平面ABEAB，所以 BC平面ABE8分因为 AE平面ABE，所以 BCAE10分又AEBE，BCBEB，所以 AE平面BCE，又FGAE，所以FG平面BCE，
9、12分因为 FG平面BDF，所以平面BDF平面BCE14分17（1）， 3分由基本不等式得： 5分当且仅当，即时等号成立，所以，每件产品的最低成本费为220元。6分（2）设总利润元，则 9分所以= 11分当时，当时，所以在1,100上是增函数，在100,170上是减函数， 12分所以当时，函数取得最大值，所以生产100件产品时，总利润最高，且最高利润为元。14分18（1）因为，解得，所以椭圆的标准方程为2分设椭圆上点，有，所以4分（2）因为在直线l：上，所以设，由方程知，所以，6分又由（1）知，所以，8分不妨设，则，则，所以当且仅当时，取得最小值10分（3）设，则以为直径的圆的方程为12分即，
10、圆过定点，必与无关，所以有，解得定点坐标为，所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点16分19 (1) 因为时，所以令，则有，当时恒成立，转化为，即在上恒成立，2分令p (t)t，则，所以p (t)t在上单调递增，所以，所以，解得 6分(2) 当时，即，当时，即，；当时，即，9分当时，令，则，当时，即，；当时，即，此时无最小值；12分所以，当时，即，函数；当时， ，函数无最小值；当时， ，函数无最小值15分综上所述，当时，函数有最小值为；当时，函数无最小值所以函数在实数集上有最小值时，实数的取值范围为16分20（1）当时，有 1分，也满足上式，所以数列的通项为. 3分（2）因为，所以对
11、任意的有， 所以数列是一个以6为周期的循环数列5分又因为，所以所以 ，所以数列为常数列. 7分（3）因为，且，所以，且对任意的，有， 设，（其中为常数且），所以，所以数列均为以7为公差的等差数列.10分记，则，（其中，为中的一个常数），当时，对任意的有；12分当时， 若，则对任意的有，数列为单调减数列；若，则对任意的有，数列为单调增数列； 综上，当时，数列中必有某数重复出现无数次14分当时，符合要求；当时，符合要求，此时的；当时，符合要求，此时的；当时，符合要求，此时的；当时，符合要求，此时的；当时，符合要求，此时的；即当时，数列中必有某数重复出现无数次.16分数学 附加题部分21A在RtAB
12、C中，因为AB4，BC2，所以ABC60，因为l为过C的切线，所以DCACBA，所以DCAABC605分又因为ADDC，所以DAC30在AOE中，因为EAODACCAB60，且OEOA，所以AEAOAB210分B(1)因为M 设直线上任意一点在 作用下对应点，则，分即，所以，代入，得，即，所以所求曲线的方程为4分(2)矩阵M的特征多项式f()(4)(5)0，所以M的特征值为14，25 6分当14时，由M111，得特征向量1；当25时，由M222，得特征向量210分C（1）设P(，)是所求圆上的任意一点，因为为直径，所以，则OPOBcos，即2cos，分亦即，故所求的圆的直角坐标方程为5分注：也
13、可现将化为直角坐标后直接求圆方程（2）圆的圆心的坐标为，半径为，直线的直角坐标方程为，分因为圆心到直线距离为，所以直线与圆相切。10分D因为x、y、z都是正数，所以3分同理可得，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分22以O点为原点,OC为x轴,OA为y轴,OS为z轴建立空间直角坐标系因为是边长为的正三角形，又与底面所成角为，所以，所以所以O(0,0,0)，C(,0,0)，A(0,3,0)，S(0,0,3)，B(,0,0)2分ABOCDSxyz（1）设AD=a，则D(0,3a,a)，所以=(,3a,a)，=(,3,0)若BDAC，则=33(3a)=0，解得a=2，而AS=3，所以SD=，所以5分(2)因为=(0,3,3)，=(2,0,0)设平面ACS的法向量为n1=(x,y,z),则令z=1，则x=，y=1，所以n1=(,1,1)7分而平面ABC的法向量为n2=(0,0,1), 8分所以cos=，又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为.10分23（1）由已知得的展开式中的系数为=76 3分（2）由（1）知应当为函数展开式中的系数5分又 两式相减得7分所以 所以展开式中的系数等于展开式中的系数 9分因为此系数为所以,()10分
