1、第八节空间向量的应用(一)理解异面直线所成的角、线面角、二面角的概念，并会求这三类空间角的大小或它的一种三角函数值.知识梳理一、异面直线所成的角1定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，a，b所成的角的大小与点O的选择无关，把a，b所成的锐角(或直角)叫异面直线a，b所成的角(或夹角)为了简便起见，点O通常取在异面直线的一条上2异面直线所成的角的取值范围：.3求异面直线所成的角的方法：几何法；向量法二、直线和平面所成的角1定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角特例：当一直线垂直于平面，规定它们所成的角是直角；当一直线平行于平面或在
2、平面内，规定它们所成的角为0角2直线和平面所成角的取值范围：.三、二面角1定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l，两个面分别为，的二面角记为l.2二面角的平面角(1)过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA，OB，则AOB叫做二面角l的平面角(2)一个平面垂直于二面角l的棱l，且与两半平面交线分别为OA，OB，O为垂足，则AOB就是l的平面角说明：二面角的平面角范围是；二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直3二
3、面角大小的求法：几何法；向量法4求二面角的射影公式：cos ，其中各个符号的含义是：S是二面角的一个面内图形F的面积，S是图形F在二面角的另一个面内的射影，是二面角的平面角大小四、三种空间角的向量法计算公式1异面直线a，b所成的角：cos (其中a，b分别是异面直线a，b的方向向量)2直线a与平面(其法向量为n)所成的角：sin .3锐二面角：(法一)cos ，其中m，n为两个面的法向量(法二)cos ，其中a，b是分别在两个面内且与棱都垂直的向量基础自测1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120B60 C30 D60或30解析：根据线面角的定义
4、知，选项C正确答案：C2(2013山东卷)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为() A. B. C. D.解析：如题图所示：SABCsin 60.所以VABCA1B1C1SABCOPOP，OP.又OA1，所以tanOAP，又0OAP，所以OAP.答案：B3如图，在直三棱柱中，ACB90，ACBC1，侧棱AA1，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为_答案：4如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12.E，F分别是线段AB，BC上的点，且EB
5、FB1.则：(1)二面角CDEC1的余弦值为_；(2)直线EC1与FD1所成角的余弦值_.解析：(1)如图，以A为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系Axyz，则有D(0,3,0)，D1(0，3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)于是，(3，3,0)，(1,3,2)，(4,2,2)设向量n(x，y，z)与平面C1DE垂直，则有xyz.n(1，1,2)，其中z0.取n0(1，1,2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量向量(0,0,2)与平面CDE垂直，n0与所成的角为二面角CDEC1的平面角cos .(2)设EC1与FD1所成角为，则cos .答案：
6、(1)(2)1. (2012陕西卷)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为() A. B. C. D.解析：设CBa，则CACC12a，A(2a,0,0)，B(0,0，a)，C1(0,2a，0)，B1(0,2a，a)，(2a,2a，a)，(0,2a，a)cos，.故选A.答案：A2(2013广东卷)如图1，在等腰直角三角形ABC中，A90，BC6，D，E分别是AC、AB上的点，CDBE，O为BC的中点将ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥ABCDE，其中AO.(1)证明：AO平面BCDE；(2)求二面角ACDB的平面角
7、的余弦值(1)证明：在题图1中，易得OC3，AC3，AD2，连接OD，OE，在OCD中，由余弦定理可得OD，由翻折不变性可知AD2，所以AO2OD2AD2，所以AOOD，同理可证AOOE，又ODOEO，所以AO平面BCDE.(2)解析：(法一)(几何法)过O作OHCD交CD的延长线于H，连接AH，因为AO平面BCED，所以AHCD，所以AHO为二面角ACDB的平面角结合题图可知，H为AC中点，故OH，从而AH，所以cosAHO，所以二面角ACDB的平面角的余弦值为.(法二)(向量法)以点O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示，则A(0,0，)，C(0，3,0)，D(1，2,0)，所以(0
8、,3，)，(1,2，)设n(x，y，z)为平面的法向量，则即解得令x1，得n(1，1，)，由(1)知，(0,0，)为平面CDB的一个法向量，所以cosn，即二面角的平面角ACDB的余弦值为.1如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA.(1)证明：平面PBE平面PAB；(2)求二面角ABEP的大小(法一)(1)证明：连接BD，由ABCD是菱形且BCD60知，BCD是等边三角形因为E是CD的中点，所以BECD.又ABCD，所以BEAB.又因为PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE，而PAABA，因此 BE平面PAB. 又
9、BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB.(2)解析：由(1)知，BE平面PAB, PB平面PAB, 所以PBBE.又ABBE，所以PBA是二面角ABEP的平面角在RtPAB中， tanPBA，PBA60.故二面角ABEP的大小为60.(法二)如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D，P(0,0，)，E.(1)证明：因为，平面PAB的一个法向量是n0(0,1,0)，所以和n0共线从而BE平面PAB.又因为BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB.(2)解析：易知(1,0，)，设n1(x1，y1，z1)是平面PBE的一个法向量，则由
10、得，所以y10，x1z1.故可取n1(，0,1)而平面ABE的一个法向量是n2(0,0,1)于是，cosn1，n2.故二面角ABEP的大小为60.2(2013深圳一模)如图1，O的直径AB4，点C、D为O上两点，且CAB45，DAB60，F为的中点沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图2)(1)求证：OF平面ACD；(2)求二面角CADB的余弦值；(3)在上是否存在点G，使得FG平面ACD？若存在，试指出点G的位置，并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由(1)证明：如图，因为CAB45，连接OC，则OCAB.以AB所在的直线为y轴，以OC所在的直线为z轴，以O为
11、原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0，2,0)，C(0,0,2)(0,0,2)(0，2,0)(0,2,2)，因为点F为的中点，所以点F的坐标为(0，)，(0，)所以，即OFAC.因为OF平面ACD，AC平面ACD，所以OF平面ACD.(2)解析：因为DAB60，所以点D的坐标D(，1,0)，(，1,0)设二面角CADB的大小为，n1(x，y，z)为平面ACD的一个法向量由有即取x1，解得y，z.所以n1(1， ，)取平面ADB的一个法向量n2(0,0,1)，所以cos .(3)解析：设在上存在点G，使得FG平面ACD，OF平面ACD，平面OFG平面ACD，则有OGAD.设(0)，因为(，1,0)，所以(，0)又因为|2，所以2，解得1(舍去1)所以，(，1,0)则G为的中点因此，在上存在点G，使得FG平面ACD，且点G为的中点设直线AG与平面ACD所成角为，因为，(，1,0)(0，2,0)(，3,0)，根据(2)的计算n1(1，)为平面ACD的一个法向量，所以sin cos (90).因此，直线AG与平面ACD所成角的正弦值为.
