1、2016-2017学年湖南省五市十校教研教改共同体高三（上）12月联考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合P=x|12x4，Q=1，2，3，则PQ（）A1B1，2C2，3D1，2，32“a=0”是“复数z=a+bi（a，bR）为纯虚数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3若向量数量积0则向量与的夹角的取值范围是（）A（0，）B0，）C（，D（，）4某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则nm的值（）A5B6C7D
2、85已知Sn是数列an的前n项和，且Sn+1=Sn+an+3，a4+a5=23，则S8=（）A72B88C92D986执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A3BCD27已知函数f（x）=，则f（2017）=（）A1BeCDe28如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图，则几何体的表面积为（）A4B（2）+96C（4）+64D（4+4）+969已知抛物线y2=2x上一点A到焦点F距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|2，则A点到原点的距离为（）AB2C4D810函数的图象大致为（）ABCD11圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为，则圆锥底面半径与母线长的比的取值
3、范围是（）A0BC0D12已知函数f（x）=x+sinx（xR），且f（y22y+3）+f（x24x+1）0，则当y1时，的取值范围是（）ABCD二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知数列：的前n项和Sn=14已知x为三角形中的最小角，则函数的值域为15家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序己知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？16设
4、F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为三、解答题（共5小题，满分60分）17已知ABC的面积为S，且（1）求tanA的值；（2）若B=，求ABC的面积S18某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：设x为每天饮品的销量，y为该店每天的利润（1）求y关于x的表达式；（2）从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率19在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与ADEF是边长均为a的正方形，四边形ABGH
5、是直角梯形，ABAF，且FA=2FG=4FH（1）求证：平面BCG平面EHG；（2）若a=4，求四棱锥GBCEF的体积20已知椭圆的离心率为，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（m，0）为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，证明：|PA|2+|PB|2为定值21已知函数（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）（ax1），求函数g（x）的极值；（3）若a=2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：选修4-4：坐标系与参数方程22已知圆C的极坐标方程为=4co
6、s6sin，直线l的参数方程为（t为参数）若直线l与圆C相交于不同的两点P，Q（1）写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（2）若弦长|PQ|=4，求直线l的斜率选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|x1|2|x+a|（1）当a=1时，求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式f（x）0，在x2，3上恒成立，求a的取值范围2016-2017学年湖南省五市十校教研教改共同体高三（上）12月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合P=x|12x4，Q=1，2，3，则PQ（）A1B1，2C2，3D1，2，3【考点】交集及其运算【分析
7、】化简集合P，根据交集的定义写出PQ即可【解答】解：集合P=x|12x4=x|0x2，Q=1，2，3，则PQ=1故选：A2“a=0”是“复数z=a+bi（a，bR）为纯虚数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由于复数z=a+bi（a，bR）为纯虚数，故a=0且b0，即“a=0”是“复数z=a+bi（a，bR）为纯虚数”的必要不充分条件【解答】解：依题意，复数z=a+bi（a，bR）为纯虚数，a=0且b0，“a=0”是“复数z=a+bi（a，bR）为纯虚数”的必要不充分条件，故选B3若向量数量积0则向量与的夹角
8、的取值范围是（）A（0，）B0，）C（，D（，）【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角【分析】利用向量的数量积，转化求解向量的夹角即可【解答】解：向量数量积0，可得|cos，0，可得cos，0，（，故选：C4某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则nm的值（）A5B6C7D8【考点】茎叶图【分析】利用茎叶图、平均数、中位数的性质，列出方程组，求出m，n，由此能求出结果【解答】解：由题意得：，解得m=3，n=9，nm=93=6故选：B5已知Sn是数列an的前n项和，且Sn
9、+1=Sn+an+3，a4+a5=23，则S8=（）A72B88C92D98【考点】数列递推式；数列的求和【分析】利用已知条件判断数列是等差数列，然后利用等差数列的性质求和求解即可【解答】解：Sn是数列an的前n项和，且Sn+1=Sn+an+3，可得an+1=an+3，所以数列an是等差数列，公差为3，a4+a5=23，S8=4（a4+a5）=92故选：C6执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A3BCD2【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当i=1时，不满足退出
10、循环的条件，执行循环体后，a=3，i=2；当i=2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=，i=3；当i=3时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=，i=4；当i=4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=2，i=5；当i=5时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=3，i=6；a的值是以4为周期的循环，由20164=504，故当i=2017时，满足退出循环的条件，故输出的a值为2，故选：D7已知函数f（x）=，则f（2017）=（）A1BeCDe2【考点】函数的值【分析】由函数性质得f（2017）=f，由此能求出结果【解答】解：函数f（x）=，f（2017）=f=e故选：B8如
11、图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图，则几何体的表面积为（）A4B（2）+96C（4）+64D（4+4）+96【考点】由三视图求面积、体积【分析】得到原几何体是底面半径是2、高为4的圆锥和棱长是4的正方体，即可得出结论【解答】解：原几何体是底面半径是2、高为4的圆锥和棱长是4的正方体，故几何体的体积是：22+642=4（+4）+96，故选：D9已知抛物线y2=2x上一点A到焦点F距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|2，则A点到原点的距离为（）AB2C4D8【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】设点A的坐标为（x1，y1），求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程
12、关系进行求解即可【解答】解：设点A的坐标为（x1，y1），抛物线y2=2x的准线方程为x=，根据抛物线的定义，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，y12=2x1，解得y1=或y1=2，|AF|2，y1=2，A（2，2）A点到原点的距离为： =2，故选：B10函数的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【分析】分析函数令的零点个数，利用排除法，可得函数图象【解答】解：令=0，则x=2，故函数只有一个零点2，故排除B，C，D，故选：A11圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为，则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是（）A0BC0D【考点】旋
13、转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征【分析】过圆锥顶点的截面面积是最大值为，其中l为圆锥母线长，就是两条母线夹角为90时的截面面积，求出底面弦长，然后推出他/她与底面半径的关系，即可得到的范围【解答】解：过圆锥顶点的截面面积是最大值为，其中L为圆锥母线长，就是两条母线夹角为90时的截面面积，此时底面弦长为： L，所以L2r，因为Lr，所以1故选D12已知函数f（x）=x+sinx（xR），且f（y22y+3）+f（x24x+1）0，则当y1时，的取值范围是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质【分析】判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的
14、位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论【解答】解：f（x）=x+sinx（xR），f（x）=xsinx=（x+sinx）=f（x），即f（x）=x+sinx（xR）是奇函数，f（y22y+3）+f（x24x+1）0，f（y22y+3）f（x24x+1）=f（x24x+1），由f（x）=1cosx0，函数单调递增（y22y+3）（x24x+1），即（y22y+3）+（x24x+1）0，（y1）2+（x2）21，y1，不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分的几何意义为动点P（x，y）到定点A（1，0）的斜率的取值范围设k=，（k0）则y=kx+k，即kxy+k=0当
15、直线和圆相切是，圆心到直线的距离d=，即8k26k=0，解得k=此时直线斜率最大当直线kxy+k=0经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k1+k=0，即4k=1，解得k=，故选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知数列：的前n项和Sn=【考点】数列的求和【分析】将Sn=分组为1+3+5+7+（2n1）+（），再分别利用等差数列，等比数列求和公式计算【解答】解：Sn=1+3+5+7+（2n1）+（）=+=故答案为：14已知x为三角形中的最小角，则函数的值域为，3【考点】三角函数的最值【分析】由x为三角形中的最小内角，可得0x，而=2sin（x+）+1，结合已知所求的x的
16、范围可求y的范围【解答】解：x为三角形中的最小内角，由三角形的内角和定理可知：0x，=2sin（x+）+1，由0x，即x+，sin（x+）1，+12sin（x+）+13，函数的值域，3故答案为：，315家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序己知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？【考点】简单线性规划的应用【分析】先设每天生产桌子x张，椅子y张，利润总额
17、为P千元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数P15x+20y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可【解答】解：设每天生产桌子x张，椅子y张，利润总额为p，目标函数为：p=15x+20y则作出可行域：把直线l：3x+4y=0向右上方平移至l的位置时，直线经过可行域上的点B，此时p=15x+20y取最大值，解方程得B的坐标为p=15200+20900=21000答：每天应生产桌子200张，椅子900张才能获得最大利润16设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】取
18、PF2的中点A，由，可得，由OA是PF1F2的中位线，得到PF1PF2，由双曲线的定义求出|PF1|和|PF2|的值，进而在PF1F2中，由勾股定理可得结论【解答】解：取PF2的中点A，则，2=0，OA是PF1F2的中位线，PF1PF2，OA=PF1 由双曲线的定义得|PF1|PF2|=2a，|PF1|=|PF2|，|PF2|=，|PF1|=PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，（）2+（）2=4c2，e=故答案为：三、解答题（共5小题，满分60分）17已知ABC的面积为S，且（1）求tanA的值；（2）若B=，求ABC的面积S【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积
19、的运算【分析】（1）设出三角形的边长，利用三角形的面积以及向量的数量积，转化求解A的正切函数值（2）利用两角和与差的三角函数转化求解三角形的面积即可【解答】解：（1）由，设三角形的边长为：a，b，c，则：bccosAbcsinA，可得tanA=2（2）由（1）可知A（0，），则sinA=，cosA=，B=，可得cosC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，b=2故S=bcsinA=1218某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：设x为每天饮品的销量，y为该店每天的利润（1）
20、求y关于x的表达式；（2）从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率【考点】频率分布直方图；函数模型的选择与应用；古典概型及其概率计算公式【分析】（1）利用频率分布直方图，列出函数的关系式即可（2）求出销量为20杯的有3天，记为a，b，c，销量为21杯的有2天，记为A，B，从这5天中任取2天，列出事件情况，求解概率即可【解答】解：（1）（2）由（1）可知：日销售量不少于20杯时，日利润不少于96元，日销售量为21杯时，日利润为97元，从条形图可以看出，销量为20杯的有3天，记为a，b，c，销量为21杯的有2天，记为A，B，从这5天中任取2天，包括（a，b），（a
21、，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B），共10种情况，其中选出的2天销量都为21天的情况只有1种，故其概率为19在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与ADEF是边长均为a的正方形，四边形ABGH是直角梯形，ABAF，且FA=2FG=4FH（1）求证：平面BCG平面EHG；（2）若a=4，求四棱锥GBCEF的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】（1）连接BH，推导出HGGB，从而CB平面ABGF，进而CBHG，由此能证明HG平面BCG，从而平面EHG平面BCG（2）过B作AF的平行线交于FG的延长线于
22、点P，连接AP、FB交于点O，过G作GKFB于K，由此能求出四棱锥GBCEF的体积【解答】证明：（1）连接BH，由AH=，AB=a，知：HB=，HG=，GB=，HB2=HG2+GB2，从而HGGB，DAAF，DAAB，DA平面ABGH，又CBDA，CB平面ABGF，CBHG，HG平面BCG，HG平面EHG，平面EHG平面BCG解：（2）过B作AF的平行线交于FG的延长线于点P，连接AP、FB交于点O，过G作GKFB于K，则GK=PO=，四边形BCEF的面积S=4，故VGBCEF=20已知椭圆的离心率为，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（m，0）为椭圆C的长轴上
23、的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，证明：|PA|2+|PB|2为定值【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）根据离心率及通径构造方程组，求得a，b（2）直线与椭圆联立，根据韦达定理，弦长公式，采用设而不求法，证明|PA|2+|PB|2为定值【解答】解：（1）由题意可得方程组解得故椭圆标准方程为（2）设l的方程为，代入并整理得：25y2+20my+8（m225）=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又=，同理则=41所以|PA|2+|PB|2是定值21已知函数（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）（ax1），求函数
24、g（x）的极值；（3）若a=2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：【考点】利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出f（x）的解析式，求出切点坐标，从而求出切线方程即可；（2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性；（3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x，则f（1）=1，所以切点为（1，1），又f（x）=+1，则切线斜率k=f（1）=2，故切线方程为：y1=2（x1），即2xy1=0；（2）g（x）=f（x）（ax1）=lnxax2+（1a）x+1，所以g（x）=ax+（1a）=，当
25、a0时，因为x0，所以g（x）0所以g（x）在（0，+）上是递增函数，无极值；当a0时，g（x）=，令g（x）=0，得x=，所以当x（0，）时，g（x）0；当x（，+）时，g（x）0，因此函数g（x）在x（0，）是增函数，在（，+）是减函数，当a0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+），x=时，g（x）有极大值g（）=lna，综上，当a0时，函数g（x）无极值；当a0时，函数g（x）有极大值lna，无极小值；（3）由x10，x20，即x1+x20令t=x1x2，则由x10，x20得，（t）=，t0，可知，（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增所以（t）（
26、1）=1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）1，解得x1+x2或x1+x2，又因为x10，x20，因此x1+x2成立选修4-4：坐标系与参数方程22已知圆C的极坐标方程为=4cos6sin，直线l的参数方程为（t为参数）若直线l与圆C相交于不同的两点P，Q（1）写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（2）若弦长|PQ|=4，求直线l的斜率【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用极坐标化为直角坐标的方法，写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（2）若弦长|PQ|=4，所以=3，即可求直线l的斜率【解答】解：（1）由=4cos6sin，得圆C的直角坐标方程x2+y24x+6
27、y=0，配方，得（x2）2+（y+3）2=13，所以圆心为（2，3），半径为（2）由直线l的参数方程知直线过定点M（4，0），则由题意，知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=k（x4），因为弦长|PQ|=4，所以=3，解得k=0或k=选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|x1|2|x+a|（1）当a=1时，求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式f（x）0，在x2，3上恒成立，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）当a=1时，由不等式分别求得解集，再取并集，即得所求（2）由题意可得，13x2ax1在x2，3上恒成立，从而求得a的取值范围【解答】解：（1）a=1，f（x）1|x1|2|x+1|1， ，解集为（2）f（x）0在x2，3上恒成立|x1|2|x+a|0在x2，3上恒成立13x2ax1在x2，3上恒成立，a的范围为2017年1月20日
