1、专题强化训练(十六)解三角形12019天津卷在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bc2a,3csinB4asinC.(1)求cosB的值；(2)求sin的值解：(1)在ABC中，由正弦定理，得bsinCcsinB，又由3csinB4asinC，得3bsinC4asinC，即3b4a.又因为bc2a，得到ba，ca.由余弦定理可得cosB.(2)由(1)可得sinB，从而sin2B2sinBcosB，cos2Bcos2Bsin2B，故sinsin2Bcoscos2Bsin.22019石家庄一模已知ABC的面积为3，且内角A，B，C依次成等差数列(1)若sinC3sinA，求边
2、AC的长；(2)设D为AC边的中点，求线段BD长的最小值解：(1)ABC三个内角A、B、C依次成等差数列，B60.设A、B、C所对的边分别为a、b、c，由ABC的面积S3acsinB可得ac12.sinC3sinA，由正弦定理知c3a，a2，c6.在ABC中，由余弦定理可得b2a2c22accosB28，b2，即AC的长为2.(2)BD是AC边上的中线，()，2(222)(a2c22accosB)(a2c2ac)(2acac)9，当且仅当ac时取“”，|3，即BD长的最小值为3.32019合肥质检二在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2Asin2BsinAsinB2csin
3、C，ABC的面积Sabc.(1)求角C；(2)求ABC周长的取值范围解：(1)由SabcabsinC可得2csinC，sin2Asin2BsinAsinBsin2C，由正弦定理得a2b2abc2，由余弦定理得cosC，C.(2)由(1)知2csinC，同理可知2asinA，2bsinB.ABC的周长为abc(sinAsinBsinC)sinAsinsin.A，A，sin，ABC周长的取值范围为.42019武汉4月调研在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，B2A，b.(1)求a；(2)已知M在边BC上，且，求CMA的面积解：(1)由0A，cosA，知sinA，sinBsin
4、2A2sinAcosA2，由正弦定理可知，a.(2)cosBcos2A2cos2A1221，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，ABC的面积SABCabsinC，又，SCMASABC.52019济南模拟ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bsinCacosCccosA，B，c.(1)求角C；(2)若点E满足2，求BE的长解：(1)解法一：由题设及正弦定理得2sinBsinCsinAcosCsinCcosA，又sinAcosCsinCcosAsin(AC)sin(B)sinB，所以2sinBsinCsinB.由于sinB0，所以sinC.又0C0，所以sinC
5、.又0C0，所以sinC.又0C，所以C.(2)解法一：由正弦定理易知2，解得b3.又2，所以AEACb，即AE2.在ABC中，因为ABC，C，所以A，所以在ABE中，A，AB，AE2，由余弦定理得BE1，所以BE1.解法二：在ABC中，因为ABC，C，所以A，ac.由余弦定理得b3.因为2，所以ECAC1.在BCE中，C，BC，CE1，由余弦定理得BE1，所以BE1.解法三：在ABC中，因为ABC，C，所以A，ac.因为2，所以.则|2(2)2(|244|2)(3443)1，所以BE1.62019太原一模如图，已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinA(ca)sinCbs
6、inB，点D是AC的中点，DEAC，交AB于点E，且BC2，DE.(1)求B；(2)求ABC的面积解：(1)asinA(ca)sinCbsinB，由得a2c2acb2，由余弦定理得cosB，0B180，B60.(2)如图，连接CE，D是AC的中点，DEAC，AECE，CEAE.在BCE中，由正弦定理得，cosA，0A180，A45，ACB75，BCEACBACE30，BEC90，CEAE，ABAEBE1，SABCABCE.72019长沙一模已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且asin(AB)csin.(1)求A；(2)若ABC的面积为，周长为8，求a.解：(1)由题设得asin
7、Cccos，由正弦定理得sinAsinCsinCcos，sinC0，所以sinAcos，所以2sincoscos，又cos0，所以sin，故A60.(2)由题设得bcsinA，从而bc4.由余弦定理a2b2c22bccosA，得a2(bc)212.又abc8，所以a2(8a)212，解得a.82019福州质检ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b.(1)求ABC的外接圆直径；(2)求ac的取值范围解：(1)因为角A，B，C成等差数列，所以2BAC，又因为ABC，所以B.根据正弦定理得，ABC的外接圆直径2R1.(2)解法一：由B，知AC，可得0A.由(1)知ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得，1，所以acsinAsinCsinAsinsin.因为0A，所以A.所以sin1，从而sin，所以ac的取值范围是.解法二：由(1)知，B，b2a2c22accosB(ac)23ac(ac)232(ac)2(当且仅当ac时，取等号)，因为b，所以(ac)23，即0ac，又三角形两边之和大于第三边，所以ac，所以ac的取值范围是.
