1、2021年陕西省高三高考数学教学质量测评试卷（理科）（三）一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|2x27x40，Bx|x|3，则AB（）A（2，3）B（2，3C（，2）D，3）2复数z满足z，则|z|（）A5B2CD23已知a，b，c（）1.1，则（）AabcBbacCcbaDcab4二项式（）5的展开式中x的系数为（）A15B3C3D155函数f（x）（x33x）的图象大致是（）ABCD6曲线y+1（x0）的一条切线的斜率为1，则该切线的方程为（）Ayx1ByxCyx+1Dyx+27某省今年开始实行新高三高考改革，跟以往高三高考最大的不同就是取消了文理分，科除了语文、数学、外语三门科目必
2、选外，再从物理、化学、生物、政治、地理、历史这6个科目中任选3门作为选考科目，甲和乙分别从6科中任选3科，若他俩所选科目都有物理，其余2科均不同，则甲不选历史，且乙不选化学的概率是（）ABCD8如图所示的程序输出的结果为，则判断框中应填（）Ai10？Bi10？Ci9？Di11？9已知数列an的前n项和Sn满足2Snnan3n（nN*），且S315，则S10（）A100B110C120D13010筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图所示，已知筒车的半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车沿逆时针方向以角速度（0）转动，规定
3、：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，设盛水筒M从点P0运动到点P时经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：米），筒车经过6s第一次到达最高点，则下列叙述正确的是（）A当t16s时，点P与点P0重合B当t51，65时，h一直在增大C当t（0，50）时，盛水筒有5次经过水平面D当t50时，点P在最低点11已知点F1，F2是椭圆1（ab0）的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P与PF1F2的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q，且，则该椭圆的离心率为（）ABCD
4、12已知函数f（x）是定义在R上的单调递增函数，g（x）xe1（alnx+1）+xee，当x1时，f（x）g（x）恒成立，则a的取值范围是（）A4，0）B4，2C4，eDe，2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量（1，1），（1，1），则|2+3| 14已知等比数列an的公比q2，前n项积为Tn，若T3，则T9 15已知F1，F2分别是双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的右支交于第一象限内的一点P，若G（）为F1PF2的重心，则该双曲线的离心率为 16如图圆锥内的球O与圆锥的侧面与底面都相切，且球的半径为1，则圆锥侧面积的最小值为 三、解答
5、题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知等腰ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bc，D是AC的中点（）若cosBDC，sinABD，CD1，求ABC的面积S；（）若ABC的面积S等于2，求BD的最小值18如图，在四棱锥EABCD中，ADBE，ADBC，BC2AD，EAAB，BC2，AC2，ACB45（）证明：平面BCE平面ABE；（）若EACD，点F在EC上，且，求二面角ABFD的大小19已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，点A（2，1）是抛
6、物线内一点，若该抛物线上存在点E，使得|AE|+|EF|有最小值3（）求抛物线C的方程；（）设直线l：2xy+40，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线l1，过点A的动直线l2与抛物线相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线l1于点M，N，证明：|AM|AN|20甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的A，B，C三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竞答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知
7、每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为，且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到2场，游戏结束，该选手为晋级选手（）求比赛进行了3场且甲晋级的概率；（）当比赛进行了3场后结束，记甲获胜的场数为X，求X的分布列与数学期望21已知函数f（x）（1+x）ln（1+x）ax2（2a+1）x，aR（）若f（x）在定义域内是减函数，求a的最小值；（）若f（x）有两个极值点分别是x1，x2，证明：x1+x22选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修4-4：坐
8、标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos（+）1（）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（）已知点A（1，0），若l和曲线C的交点为M，N，求|AM|AN|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）2x+1+a|x1|（）当a3时，求函数f（x）的最小值m；（）当x（1，1）时，不等式f（x）x2+2恒成立，求实数a的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合Ax|2x27x40，Bx|
9、x|3，则AB（）A（2，3）B（2，3C（，2）D，3）解：因为集合Ax|2x27x40x|（2x+1）（x4）x|，又Bx|x|3x|3x3，所以ABx|故选：D2复数z满足z，则|z|（）A5B2CD2解：i，i41，i100（i4）251，z1+i，则|z|2，故选：D3已知a，b，c（）1.1，则（）AabcBbacCcbaDcab解：因为c（）1.121.1，log，log，因为0lg2lg3lg5，所以，即1.11log32log52，又因为函数y2x在R上单调递增，所以cab，故选：B4二项式（）5的展开式中x的系数为（）A15B3C3D15解：二项式（）5的展开式中的通项Tr
10、+1（3）r，令1，解得r1，二项式（）5的展开式中x的系数为（3）15，故选：A5函数f（x）（x33x）的图象大致是（）ABCD解：f（x）（x3+3x）f（x），则函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B；由于f（1）（13）0，故排除C；由于f（2）（86）0，故排除D故选：A6曲线y+1（x0）的一条切线的斜率为1，则该切线的方程为（）Ayx1ByxCyx+1Dyx+2解：y+1（x0）的导数为y，设切点为（m，n），可得切线的斜率为1，即emcos（m+），m0，分别画出yex和ycos（x+）的图象，可得m0，所以切点为（0，1），切线的方程为yx+1，故选：C7某省今
11、年开始实行新高三高考改革，跟以往高三高考最大的不同就是取消了文理分，科除了语文、数学、外语三门科目必选外，再从物理、化学、生物、政治、地理、历史这6个科目中任选3门作为选考科目，甲和乙分别从6科中任选3科，若他俩所选科目都有物理，其余2科均不同，则甲不选历史，且乙不选化学的概率是（）ABCD解：从物理、化学、生物、政治、地理、历史这6个科目中任选3门作为选考科目，甲和乙分别从6科中任选3科，基本事件总数n400，他俩所选科目都有物理，其余2科均不同，甲不选历史，且乙不选化学包含的基本事件个数：m+12，他俩所选科目都有物理，其余2科均不同，则甲不选历史，且乙不选化学的概率为：P故选：B8如图所
12、示的程序输出的结果为，则判断框中应填（）Ai10？Bi10？Ci9？Di11？解：因为SS+S+，模拟程序的运行，k次运行后，S+1，解得k+110，可得k9所以判断框中应填i10？故选：A9已知数列an的前n项和Sn满足2Snnan3n（nN*），且S315，则S10（）A100B110C120D130解：2Snnan3n，2a1a1a13；又S315，2S33a333，解得a37；由得：2（3+a2+7）379，解得a25；故猜想：an2n+1下面用数学归纳法证明：1当n1时，a13，结论成立；2假设nk时，ak2k+1，此时，Skk2+2k；则当nk+1时，2Sk+1（k+1）ak+13
13、（k+1），即2（Sk+ak+1）（k+1）ak+13（k+1），； 联立，可得ak+12k+32（k+1）+1， 即当nk+1时，结论也成立，an2n+1，S102（1+2+3+10）+10255+10120，故选：C10筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图所示，已知筒车的半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车沿逆时针方向以角速度（0）转动，规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，设盛水筒M从点P0运动到点P时经过
14、的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：米），筒车经过6s第一次到达最高点，则下列叙述正确的是（）A当t16s时，点P与点P0重合B当t51，65时，h一直在增大C当t（0，50）时，盛水筒有5次经过水平面D当t50时，点P在最低点解：由题意可知，所以是以Ox为始边，OP0为终边的角，又OP转动的角速度为，可设OP转动过程中纵坐标为y4sin（），6s第一次到达最高点为（0，4），将t6s，y4代入可得sin（6）1，所以6，所以，则T，当点P与P0点重合时，正好转过一圈，所以t18s，故A错误；选项B：51s2T+，65s3T+，可知在t51，65的过程中转过了一圈多，故
15、一定有h减小的区间，故B错误；选项C：50s2T+，首先2T即转过2圈，会有4次经过水面回到P0，再过T到达第二象限，又经过1次，所以共5次，故C正确；选项D：将t50代入y4sin（）4sin4，故不存在最低点，故D错误，故选：C11已知点F1，F2是椭圆1（ab0）的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P与PF1F2的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q，且，则该椭圆的离心率为（）ABCD解：PF1F2内切圆的圆心I，则I是三角形的角平分线的交点，由角平分线定理可得2，所以离心率e，故选：A12已知函数f（x）是定义在R上的单调递增函数，g（x）xe1（alnx+1）+xee，当
16、x1时，f（x）g（x）恒成立，则a的取值范围是（）A4，0）B4，2C4，eDe，2解：f（x）是定义在R上的单调递增函数，可得x1时，yax2+8x6递增，即有a0，且1，可得4a0，又eea+86，即a2，可得4a2，可排除选项A，又g（x）xe1（alnx+1）+xee，由当x1时，f（x）g（x）恒成立，可得f（e）g（e），即eee1（alne+1）+eee，可得ae，即有4ae进而排除B，D故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量（1，1），（1，1），则|2+3|解：（1，1），（1，1），2+32（1，1）+3（1，1）（1，5），故|2+3|，故
17、答案为：14已知等比数列an的公比q2，前n项积为Tn，若T3，则T91解：因为等比数列an的公比q2，所以，由题意得T3a1a2a38，则，T9a1a2a91故答案为：115已知F1，F2分别是双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的右支交于第一象限内的一点P，若G（）为F1PF2的重心，则该双曲线的离心率为解：令P（m，n），F1（c，0），F2（c，0），由重心坐标公式可得，即，P（b，a），P在曲线C上，即b4a4a2b2，把b2c2a2代入，可得c43a2c2+a40，即e43e2+10，解得或（舍去），e（e1），故答案为：16如图圆锥内的球O与圆锥的侧面
18、与底面都相切，且球的半径为1，则圆锥侧面积的最小值为（3+2）解：解法一、设ASO1，在RtSCO中，SO，SC，因为SCOSO1A，则，即，所以O1A，SA，所以圆锥的侧面积为：S侧O1ASA，令sin+1t，则sint1（1t2），则S侧（3+2），当且仅当t，即t时取“”；所以圆锥侧面积S侧的最小值是（3+2）解法二：设SOh，AO1BO1r，因为SOCSAO1，且OCOO11，所以，即，所以hr，解得r2，所以圆锥的侧面积为：S侧rrhrr2hh（h1+3）（2+3）当且仅当h+1时等号成立，所以圆锥侧面面积S侧的最小值为（3+2）故答案为：（3+2）三、解答题：共70分。解答应写出文
19、字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知等腰ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bc，D是AC的中点（）若cosBDC，sinABD，CD1，求ABC的面积S；（）若ABC的面积S等于2，求BD的最小值解：（）因为bc，D是AC的中点，所以ADCD1，所以bc2，因为cosBDC，即，又因为ADB+BDC，所以cosADBcosBDC，整理可得2BD2+BD60，解得BD，可得，可得a，在ABD中，由正弦定理可得，即sinA，所以SABCbcsinA（）取BC的中点F，连接AF
20、交BD于O，则AFBC，OFAF，作DEBC，则E为CF的中点，设OFt，则AF3t，DEAF，因为SBDCSABC1，而SBDCDEBC，所以BC，BEBC，所以BD2BE2+DE2+23，当且仅当，即t时取等号，所以BD的最小值为18如图，在四棱锥EABCD中，ADBE，ADBC，BC2AD，EAAB，BC2，AC2，ACB45（）证明：平面BCE平面ABE；（）若EACD，点F在EC上，且，求二面角ABFD的大小【解答】（）证明：在ABC中，BC2，AC2，ACB45，由余弦定理可得，所以AB2+BC2AC2，故ABBC，又因为ADBE，ADBC，所以BCBE，又ABBEE，AB，BE平
21、面ABE，所以BC平面ABE，因为BC平面BCE，故平面BCE平面ABE；（）解：因为BC平面ABE，AE平面BCE，所以BCAE，又因为CDAE，BCCDC，BC，CD平面ABCD，所以AE平面ABCD，由（1）中可知，BCAB，又ADBC，所以ADAB，在ABC中，ABACsin45，因为AE平面ABCD，则AB，AD，AE两两垂直，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2），因为，故F为EC的中点，所以F（1，1，1），设平面ABF的法向量为，因为，则，即，令y1，则x0，z1，故，设平面DBF的
22、法向量为，因为，则，即，令a1，则b2，c1，故，所以，由图可知，二面角ABFD是一个锐二面角，所以二面角ABFD的大小为19已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，点A（2，1）是抛物线内一点，若该抛物线上存在点E，使得|AE|+|EF|有最小值3（）求抛物线C的方程；（）设直线l：2xy+40，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线l1，过点A的动直线l2与抛物线相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线l1于点M，N，证明：|AM|AN|解：（）过点E作抛物线C的准线的垂线，垂足为点D，根据抛物线的定义可得|EF|ED|，于是|AE|+|EF|AE|+|ED|，当A，E，D三点
23、共线时，|AE|+|ED|有最小值2+，所以2+3，解得p2，所以抛物线C得方程为y24x（）证明：直线l：2xy+40，令x0得y4，所以点B（0，4），因为直线l1平行于直线l：2xy+40，且过点A（2，1），所以直线l1：2xy30，设直线l2：x2t（y1），联立，得y24ty+4t80，所以16（t2t+2）0，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理可得y1+y24t，y1y24t8，所以直线PB的方程为yx+4，直线QB的方程为yx+4，联立，解得xM，同理可得xN，所以xM+xN+74，因为xA2，所以xM+xN2xA，即A是线段MN的中点所以|AM|AN|20甲、
24、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的A，B，C三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竞答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为，且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到2场，游戏结束，该选手为晋级选手（）求比赛进行了3场且甲晋级的概率；（）当比赛进行了3场后结束，记甲获胜的场数为X，求X的分布列与数学期望解：（）比赛进
25、行了3场，甲晋级，则甲必须有2场获胜，但一定不是第3场失败，若第1场甲胜，第2场若没有甲，则第3场必有甲且获胜，概率为；第2场有甲，则甲必须失败，且第3场甲获胜，概率为若第1场甲失败，则第2，3两场必须有甲且甲获胜，概率为所以比赛进行了3场且甲晋级的概率为+；（）根据题意，X的可能取值为0，1，2，所以P（X0），P（X1）+，P（X2）；所以X的分布列为：X0 12 P所以X的数学期望E（X）0+1+221已知函数f（x）（1+x）ln（1+x）ax2（2a+1）x，aR（）若f（x）在定义域内是减函数，求a的最小值；（）若f（x）有两个极值点分别是x1，x2，证明：x1+x22解：（I）因
26、为f（x）（1+x）ln（1+x）ax2（2a+1）x在（1，+）上单调递减，所以f（x）ln（x+1）2ax2a0在（1，+）上恒成立，且f（x）不恒为0，2a，令g（x），则，易得，当1xe1时，g（x）0，函数单调递增，当xe1时，g（x）0，函数单调递减，故g（x）maxg（e1），故2a，即a，所以a的最小值；（II）证明：由题意f（x）ln（x+1）2ax2a0在（1，+）上有两个实数根x1，x2，所以ln（1+x1）2a（1+x1）0，ln（1+x2）2a（1+x2）0，所以ln（1+x1）ln（1+x2）2a（x1x2），a0，设1x1x2，要证x1+x22即证（x11）+（x
27、21），需要证，即证（x1+1）+（x2+1）ln（1+x1）ln（1+x2）（1+x1）（1+x2），即证ln（1+x1）ln（1+x2），即证ln，令h（x），x（0，1），则0恒成立，故h（x）在（0，1）上单调递减，且h（1）0，所以h（x）0，即lnx，因为x1+10，x2+10，x1+1x2+1，故成立，综上：x1+x22选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴
28、为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos（+）1（）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（）已知点A（1，0），若l和曲线C的交点为M，N，求|AM|AN|解：（）曲线C的参数方程是（k为参数），转换为直角坐标方程为；直线l的极坐标方程为2cos（+）1，根据，转换为直角坐标方程为；（2）把直线的直角坐标方程为转换为（t为参数）代入，得到：，所以，即|AM|AN|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）2x+1+a|x1|（）当a3时，求函数f（x）的最小值m；（）当x（1，1）时，不等式f（x）x2+2恒成立，求实数a的取值范围解：（）当a3时，f（x）2x+1+3|x1|，当x1时，f（x）2x+1+3x35x2，为递增函数，可得f（x）的最小值为3；当x1时，f（x）2x+1+33x4x，为递减函数，可得f（x）3，所以f（x）的最小值为m3；（）当x（1，1）时，不等式f（x）x2+2恒成立，即为2x+1+a（1x）x2+2，即a（1x）（x1）2，可得a1x对x（1，1）恒成立，由1x（0，2），可得a2，即a的取值范围是2，+）
