1、高中同步测试卷(十三)高考微专题 高考中的圆锥曲线(时间：120 分钟，满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1双曲线 x2y21 的顶点到其渐近线的距离等于()A.12B.22C1D.22(2014高考大纲全国卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为 F1、F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为()A.x23y221B.x23y21C.x212y281D.x212y2413已知中心在原点的双曲线 C 的右
2、焦点为 F(3，0)，离心率等于32，则 C 的方程是()A.x24 y251B.x24y251C.x22y251D.x22 y2514点P为双曲线C1：x2a2y2b21(a0，b0)和圆C2：x2y2a2b2的一个交点，且2PF1F2PF2F1，其中 F1，F2 为双曲线 C1 的两个焦点，则双曲线 C1 的离心率为()A.3B1 2C.31D25O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y24 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|4 2，则POF 的面积为()A2B2 2C2 3D46已知直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F，交抛物线于 A、B 两点，且点 A、B 到 y 轴的距离分
3、别为 m、n，则 mn2 的最小值为()A4 2B6 2C4D67焦点在 x 轴上的双曲线 C 的左焦点为 F，右顶点为 A，若线段 FA 的中垂线与双曲线C 有公共点，则双曲线 C 的离心率的取值范围是()A(1，3)B(1，3 C(3，)D3，)8已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()A.x245y2361B.x236y2271C.x227y2181D.x218y2919设抛物线 M：y22px(p0)的焦点 F 是双曲线 N：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点
4、，若M 与 N 的公共弦 AB 恰好过点 F，则双曲线 N 的离心率 e()A.21B1 2C.21 或 1 2D.2110已知点 A(2，0)，抛物线 C：x24y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，则|FM|MN|()A2 5B12C.1 5D1311已知点 A(2，3)在抛物线 C：y22px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为()A43B1C34D1212已知 F 是抛物线 y14x2 的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段 PF 中点的轨迹方程是()Ax22y1Bx22y 116Cx2y12Dx22y2题号12345678
5、9101112 答案二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13抛物线过原点，焦点在 y 轴上，其上一点 P(m，1)到焦点的距离为 5，则抛物线的标准方程是_14已知抛物线 y28x 的准线过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为 2，则该双曲线的方程为_15(2014高考辽宁卷)已知椭圆 C：x29y241，点 M 与 C 的焦点不重合若 M 关于 C的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|BN|_.16如果椭圆x236y291 的一条弦被点(4，2)平分，则这条弦所在直线的方程是_三、解
6、答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)与双曲线x2m2y23m21(0m23)有公共的焦点，过椭圆 E 的右顶点 R 任意作直线 l，设直线 l 交抛物线 y22x 于 M、N两点，且 OMON.求双曲线的焦点坐标和椭圆 E 的方程18.(本小题满分 12 分)已知点 E(1，0)为抛物线 y24x 内一个定点，过 E 作斜率分别为 k1、k2 的两条直线交抛物线于点 A、B、C、D，且 M、N 分别是 AB、CD 的中点若 k1k21，求证：直线 MN 过定点19.(本小题满分
7、 12 分)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)右焦点的直线 xy 30 交 M 于 A，B 两点，且长轴长为 2 6.(1)求 M 的方程；(2)C，D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积的最大值20(本小题满分 12 分)(2014高考课标全国卷)已知点 A(0，2)，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 33，O 为坐标原点(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方
8、程21.(本小题满分 12 分)已知抛物线 x22py(p0)经过点(2，12)，直线 l 的方程为 y1.(1)求 p 的值；(2)若点 M 是直线 l 上任意一点，过 M 点作抛物线的两条切线，切点分别为 A，B，设线段 AB 的中点为 N，求点 N 的轨迹方程22(本小题满分 12 分)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆 x2y21 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)若斜率为 k 的直线过点 M(2，0)，且与椭圆 C 相交于 A，B 两点试探讨 k 为何值时，OAB 为直角三角形参考答案与解析 1导学号 68670080 解析：选 B.双曲线 x
9、2y21 的顶点坐标为(1，0)，渐近线为yx，xy0，顶点到渐近线的距离为 d|10|2 22.2解析：选 A.由 e 33 得ca 33.又AF1B 的周长为 4 3，由椭圆定义，得 4a4 3，得 a 3，代入得 c1，b2a2c22，故 C 的方程为x23y221.3导学号 68670081 解析：选 B.右焦点为 F(3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在 x轴上；c3.又离心率为ca32，故 a2，b2c2a232225，故 C 的方程为x24y251.4解析：选 C.因为 a2b2c2，所以圆 C2：x2y2a2b2 过双曲线两焦点，且F1PF290，又 2PF1F2PF2F1，得
10、PF1F230，PF2F160，于是 2csin 602csin302a，得 e231 31，故选 C.5导学号 68670082 解析：选 C.设 P(x0，y0)，则|PF|x0 24 2，x03 2，y204 2x04 23 224，|y0|2 6.F(2，0)，SPOF12|OF|y0|12 22 62 3.6解析：选 C.因为 mn2(m1)(n1)表示点 A、B 到准线的距离之和，所以 mn2 表示焦点弦 AB 的长度，因为抛物线焦点弦的最小值是其通径的长度，所以 mn2的最小值为 4.7导学号 68670083 解析：选 D.设 AF 的中点 B(xB，0)，由题意 xBa，即a
11、c2 a，解得 eca3，故选 D.8解析：选 D.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21.得（x1x2）（x1x2）a2（y1y2）（y1y2）b2，y1y2x1x2b2（x1x2）a2（y1y2）.x1x22，y1y22，kABb2a2.而 kAB0（1）3112，b2a212，a22b2，c2a2b2b29，bc3，a3 2，E 的方程为x218y291.9导学号 68670084 解析：选 A.抛物线 M：y2 2px(p0)的焦点坐标为 Fp2，0，双曲线 N：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F(c，0)，p2c，又公共弦
12、 AB 恰好过点 F，得 AB 为抛物线 M 的通径，|AB|2p2b2a，b22acc2a22ac，e22e10，e 21 或 e1 2(舍去)10.解析：选 C.如图所示，由抛物线定义知|MF|MH|，所以|MF|MN|MH|MN|.由于MHNFOA，则|MH|HN|OF|OA|12，则|MH|MN|1 5，即|MF|MN|1 5.11导学号 68670085 解析：选 C.因为点 A(2，3)在抛物线 C 的准线上，所以p22，所以 p4.所以抛物线的方程为 y28x，则焦点 F 的坐标为(2，0)又 A(2，3)，根据斜率公式得 kAF032234.12解析：选 A.设 P(x0，y0
13、)，则 4y0 x20，F(0，1)，设 PF 的中点 P(x，y)，则xx02yy012，所以x02xy02y1，代入 4y0 x20，易得 x22y1.13导学号 68670086 解析：由已知抛物线开口向上，1p25，所以 p8，即抛物线的标准方程是 x216y.答案：x216y14解析：由题意可知抛物线的准线方程为 x2，双曲线的半焦距 c2.又双曲线的离心率为 2，a1，b 3，双曲线的方程为 x2y231.答案：x2y23115.解析：椭圆x29y241 中，a3.如图，设 MN 的中点为 D，则|DF1|DF2|2a6.D，F1，F2 分别为 MN，AM，BM 的中点，|BN|2
14、|DF2|，|AN|2|DF1|，|AN|BN|2(|DF1|DF2|)12.答案：1216解析：设这条弦的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其所在直线的斜率为 k，则x2136y2191x2236y2291，两式相减再变形得x1x236 y1y29k0，又弦的中点为(4，2)，所以x1x28y1y24，故 k12，所以这条弦所在的直线方程是 y212(x4)，即 x2y80.答案：x2y8017解：由题意可知 c 双 m23m2 3，故双曲线的焦点坐标为F1(3，0)、F2(3，0)设点 M(x1，y1)、N(x2，y2)，设直线 l：tyxa，代入 y22x 并整理得y22
15、ty2a0，所以y1y22ty1y22a，故OM ON x1x2y1y2(ty1a)(ty2a)y1y2(t21)y1y2at(y1y2)a2(t21)(2a)2at2a2a22a0，解得 a2.又 c 椭c 双 3，所以椭圆 E 的方程为x24y21.18证明：设 AB 的方程为 yk1(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yk1（x1）y24x，得 k1y24y4k10，y1y24k1，y1y24.M(x1x22，y1y22)，M(2k211，2k1)，同理，点 N(2k221，2k2)，kMN k1k2k1k2k1k2.MN 的方程为 y2k1k1k2x(2k211)，即 yk
16、1k2(x1)2，直线 MN 恒过定点(1，2)19解：(1)2a2 6，M 的右焦点为(3，0)，知 a 6，c 3，b23.所以 M 的方程为x26y231.(2)由xy 30，x26y231，解得x4 33y 33或x0，y 3.因此|AB|4 63.由题意可设直线 CD 的方程为yxn(5 33 n0，即 k234时，x1，28k2 4k234k21.从而|PQ|k21|x1x2|4 k214k234k21.又点 O 到直线 PQ 的距离 d2k21，所以OPQ 的面积 SOPQ12d|PQ|4 4k234k21.设 4k23t，则 t0，SOPQ 4tt24 4t4t.因为 t4t4
17、，当且仅当 t2，即 k 72 时等号成立，且满足 0，所以，当OPQ 的面积最大时 l 的方程为 y 72 x2 或 y 72 x2.21解：(1)由题意，(2)22p12，得 p2.(2)由(1)知，抛物线的方程为 x24y.设 N(x，y)，A(x1，x214)，B(x2，x224)N 为线段 AB 的中点，xx1x22 yx21x228.y14x2，y12x.则切线 MA：yx12(xx1)x214，切线 MB：yx22(xx2)x224.两式联立得直线 MA，MB 的交点 M 的坐标为(x1x22，x1x24)，点 M 在直线 l 上，x1x24.联立，解得(2x)28y8，即点 N
18、 的轨迹方程为 x22y2.22解：(1)由题意知 bc1，a2b2c22，椭圆方程为x22y21.(2)由题意知直线 AB 的斜率存在，设 AB 的方程为 yk(x2)由yk（x2）x22y21得(12k2)x28k2x8k220，由64k44(12k2)(8k22)0，得k212，即 k 22，22.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 8k212k2，x1x28k2212k2.()若 O 为直角顶点，则OA OB 0，即 x1x2y1y20，又 y1y2k(x12)k(x22)，x1x2y1y210k2212k2 0，解得 k 55，满足 k 22，22.()若 A 或 B 为直角顶点，不妨设 A 为直角顶点，则 kOA1k，由y1kxyk（x2），解得x 2k2k21y 2kk21，即 A2k2k21，2kk21.点 A 在椭圆上，将点 A 坐标代入椭圆方程，整理得 k42k210.解得 k21，满足 k 22，22.当 k 55 或 k21时，OAB 为直角三角形
