1、课时提升作业(三十)一、填空题1.(2013南京模拟)数列an中,前n项和Sn=-n2-3,nN*,则an的通项公式为an=.2.(2013淮安模拟)已知数列an满足:a1=1,an0,=1(nN*),那么使an0,y0),已知数列an满足:an=(nN*),若对任意正整数n,都有anak(kN*)成立,则ak的值为.9.设a1=2,nN*,则数列bn的通项公式bn=.10.(能力挑战题)已知数列an满足:a1=m(m为正整数),an+1=若a6=1,则m所有可能的值为.二、解答题11.设Sn为数列an的前n项和,Sn=kn2+n,nN*,其中k是常数.求a1及an.12.(能力挑战题)解答下
2、列各题:(1)在数列an中,a1=1,an+1=can+cn+1(2n+1)(nN*),其中实数c0.求an的通项公式.(2)数列an满足:a1=1,an+1=3an+2n+1(nN*),求an的通项公式.13.(2012广东高考)设数列an前n项和为Sn,数列Sn的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,nN*.(1)求a1的值.(2)求数列an的通项公式.14.对于给定数列cn,如果存在实常数p,q,使得cn+1=pcn+q对于任意nN*都成立,我们称数列cn是“M类数列”.(1)若an=2n,bn=32n,nN*,数列an,bn是否为“M类数列”?若是,指出它对应的实常数p,q,若不是,
3、请说明理由.(2)若数列an满足a1=2,an+an+1=3t2n(nN*),t为常数.求数列an前2 009项的和;是否存在实数t,j使得数列an是“M类数列”,如果存在,求出t;如果不存在,说明理由.答案解析1.【解析】当n=1时,a1=S1=-12-3=-4.当n2时an=Sn-Sn-1=-n2+(n-1)2=-2n+1.答案:2.【解析】由题意知是以=1为首项,公差为1的等差数列,故=+(n-1)1=1+n-1=n(an0).an=.令5,n25.使an5成立的n的最大值为24.答案:243.【解析】根据题意结合二次函数的性质可得:an=-2n2+29n+3=-2(n2-n)+3=-2
4、(n-)2+3+.n=7时,a7=108为最大值.答案:1084.【思路点拨】根据递推式采用叠加的方法求解.【解析】an+1=an+ln(1+)=an+ln=an+ln(n+1)-ln n,a2=a1+ln 2,a3=a2+ln 3-ln 2,an=an-1+ln n-ln(n-1),将上面n-1个式子左右两边分别相加得an=a1+ln 2+(ln 3-ln 2)+(ln 4-ln 3)+ln n-ln(n-1)=a1+ln n=2+ln n.答案:2+ln n5.【解析】1+2+20=210,满足an-1=20,an=21的n为211.答案:2116.【解析】由题可知a2=1-=-1,a3=
5、1-=2,a4=1-=,此数列为循环数列,a1=a4=a7=a10=a13=a16=.答案:7.【解析】,数列是以1为首项,以1为公差的等差数列.=1+(n-1)1=n,an=.答案:an=8.【解析】an=,只有当n=1,2时,2n2(n+1)2,即当n3时,an+1an,故数列an中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=,故ak的值为.答案:9.【解析】由条件得bn+1=2bn且b1=4,所以数列bn是首项为4,公比为2的等比数列,则bn=42n-1=2n+1.答案:2n+110.【解析】根据递推式以及a1=m(m为正整数)可知数列an中的项都是正整数.a6=1,
6、若a6=,则a5=2,若a6=3a5+1,则a5=0,故只能是a5=2.若a5=,则a4=4,若a5=3a4+1,则a4=,故只能是a4=4.若a4=,则a3=8,若a4=3a3+1,则a3=1.(1)当a3=8时,若a3=,则a2=16,若a3=3a2+1,则a2=,故只能是a2=16,若a2=,则a1=32,若a2=3a1+1,则a1=5.(2)当a3=1时,若a3=,则a2=2,若a3=3a2+1,则a2=0,故只能是a2=2.若a2=,则a1=4,若a2=3a1+1,则a1=,故只能是a1=4.综上所述:a1的值,即m的值只能是4或5或32.答案:4或5或3211.【思路点拨】令n=1
7、可得a1,根据an,Sn关系求an.【解析】当n=1时,a1=S1=k+1,n2时,an=Sn-Sn-1=kn2+n-k(n-1)2+(n-1)=2kn-k+1(*)经验证,n=1时,(*)式成立,an=2kn-k+1(nN*).【变式备选】已知数列an的前n项和为Sn,若S1=1,S2=2,且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(nN*且n2),求该数列的通项公式.【解析】由S1=1得a1=1,又由S2=2可知a2=1.Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(nN*且n2),Sn+1-Sn-2Sn+2Sn-1=0(nN*且n2),即(Sn+1-Sn)-2(Sn-Sn-1)=0(nN*且n2),an+1
8、=2an(nN*且n2),故数列an从第2项起是以2为公比的等比数列.数列an的通项公式为12.【解析】(1)由原式得+(2n+1).令bn=,则b1=,bn+1=bn+(2n+1),因此,对n2有bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=(2n-1)+(2n-3)+3+=n2-1+,因此an=(n2-1)cn+cn-1,n2.又当n=1时上式成立.因此an=(n2-1)cn+cn-1,nN*.(2)两端同除以2n+1得, +1,即,即数列+2是首项为+2=,公比为的等比数列,故+2=()n-1,即an=53n-1-2n+1.13.【解析】(1)当n=1时,T1=
9、2S1-1.因为T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,求得a1=1.(2)当n2时,Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-2Sn-1-(n-1)2=2Sn-2Sn-1-2n+1,所以Sn=2Sn-1+2n-1所以Sn+1=2Sn+2n+1-得an+1=2an+2,所以an+1+2=2(an+2),即=2(n2),求得a1+2=3,a2+2=6,则=2.所以an+2是以3为首项,2为公比的等比数列,所以an+2=32n-1,所以an=32n-1-2,nN*.14.【思路点拨】对于(1)因为an=2n,bn=32n,则可验证an+1与an的关系,bn+1与bn的关系,写出表达式,即可验证数列an,
10、bn是否为“M类数列”.对于(2)因为an+an+1=3t2n,可依次相加列出数列an前2 009项和,根据等比数列的求和公式求得.可假设数列an是“M类数列”,则存在实常数p,q使得an+1=pan+q对于任意nN*都成立,且有an+2=pan+1+q对于任意nN*都成立,再根据题意解出t,求出对应常数即可.【解析】(1)因为an=2n,则an+1=an+2,nN*.故数列an是“M类数列”,对应的实常数分别为1,2.因为bn=32n,则有bn+1=2bn,nN*.故数列bn是“M类数列”,对应的实常数分别为2,0.(2)因为an+an+1=3t2n(nN*),则有a2+a3=3t22,a4
11、+a5=3t24,a2 008+a2 009=3t22 008.故数列an前2 009项的和S2 009=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a2 006+a2 007)+(a2 008+a2 009)=2+3t22+3t24+3t22 006+3t22 008=2+t(22 010-4).故答案为2+t(22 010-4).若数列an是“M类数列”,则存在实常数p,q使得an+1=pan+q对于任意nN*都成立,且有an+2=pan+1+q对于任意nN*都成立,因此an+1+an+2=p(an+an+1)+2q对于任意nN*都成立,而an+an+1=3t2n(nN*),且an+1+an+2=3t2n+1(nN*).则有3t2n+1=3tp2n+2q对于任意nN*都成立,可以得到t(p-2)=0,q=0,()当p=2,q=0时,an+1=2an,an=2n,t=1,经检验满足条件.()当t=0,q=0时,an+1=-an,an=2(-1)n-1,p=-1经检验满足条件.因此当且仅当t=1或t=0时,数列an是“M类数列”.对应的实常数分别为2,0或-1,0. 关闭Word文档返回原板块。
