1、章末分层突破自我校对确定平面的条件异面直线直线在平面内直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的性质定理平面与平面平行的判定定理若，l，则l直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的定义若l，l，则平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理二面角(教师用书独具)共点、共线、共面问题1.证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题2证明三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上
2、3证明共面问题证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合如图21所示，ABP，CDP，A，D与B，C分别在平面的两侧，ACQ，BDR，求证：P，Q，R三点共线图21【精彩点拨】要证若干点共线，需证这些点在两个相交平面内，且是这两个平面的公共点【规范解答】ABP，CDP，ABCDP，AB，CD可确定一个平面，设为.AAB，CCD，BAB，DCD，A，C，B，D.AC，BD，平面，相交ABP，ACQ，BDR，P，Q，R三点是平面与平面的公共点P，Q，R都在与的交线上故P，Q，R三点共线再练一题1如图22
3、，在长方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1、C1、P三点所确定的平面与长方体表面的交线，并作出平面与平面ABCD的交线. 图22【解】A1P，A1C1，C1P为平面与长方体表面的交线，如图平面与平面ABCD的交线可以这样确定：延长C1P，则它与CB的延长线一定相交，设交点为点M，则M是平面与平面ABCD的一个公共点，延长A1P交AB的延长线于点N，则N也是平面与平面ABCD的一个公共点，故MN就是两平面的交线空间中的平行、垂直问题1.平行关系的转化要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题时把握这一点，灵活确定转化的思路和方向2垂直关系的转化在证明两平
4、面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直3证明空间线面平行或垂直需注意三点(1)由已知想性质，由求证想判定(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论如图23，在四棱锥PABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，E、F分别是PC、DC的中点平面PAD平面ABCD，PDAD.图23求证：(1)平面EFO平面PDA；(2)PD平面ABCD.(3)平面PAC平面PDB.【精彩点拨】(1)证明两平面平行，要寻找
5、一个平面内两相交直线平行于另一平面内两相交直线，题中有中点可构成平行关系；(2)利用面面垂直的性质定理证明；(3)可证明AC平面PBD，再根据面面垂直的判定定理可得结论【规范解答】(1)四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，E、F分别是PC、DC的中点，EFPD.又EF平面PAD，PD平面PAD，EF平面PAD.同理FO平面PAD.而EFFOF，EF、FO平面EFO，平面EFO平面PDA.(2)平面PAD平面ABCD，PDAD，平面PAD平面ABCDAD，PD平面PAD，PD平面ABCD.(3)PD平面ABCD，AC平面ABCD，ACPD，四边形ABCD是菱形，ACBD，又PDDBD，AC平面
6、PBD，AC平面PAC，平面PAC平面PDB.再练一题2如图24，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点求证：(1)直线EF面ACD；(2)平面EFC平面BCD.图24【证明】(1)在ABD中，E，F分别是AB，BD的中点，EFAD.又AD平面ACD，EF平面ACD，直线EF平面ACD.(2)在ABD中，ADBD，EFAD，EFBD.在BCD中，CDCB，F为BD的中点，CFBD.CFEFF，BD平面EFC，又BD平面BCD，平面EFC平面BCD.空间角的计算求角度问题时，无论哪种情况最终都归结到两条相交直线所成的角的问题上，求角度的解题步骤是：(1)找出这个角
7、；(2)证该角符合题意；(3)构造出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角空间角包括以下三类：两条异面直线所成的角，找两条异面直线所成的角，关键是选取合适的点引两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角求直线与平面所成的角关键是确定斜线在平面内的射影求二面角关键是作出二面角的平面角，而作二面角的平面角时，首先要确定二面角的棱，然后结合题设构造二面角的平面角如图25，正方体的棱长为1，BCBCO，求：图25(1)AO与AC所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数. 【精彩点拨】先找出(或作出)空间角的平面角，
8、再用解三角形的办法求其大小【规范解答】(1)ACAC，AO与AC所成的角就是OAC.OCOB，AB平面BCCB，OCAB且ABBOB.OC平面ABO.又OA平面ABO，OCOA.在RtAOC中，OC，AC，sinOAC，OAC30，即AO与AC所成角的度数为30.(2)如图，作OEBC于E，连接AE，平面BCCB平面ABCD，OE平面ABCD，OAE为OA与平面ABCD所成的角在RtOAE中，OE，AE ，tanOAE.(3)OCOA，OCOB，OAOBO，OC平面AOB.又OC平面AOC，平面AOB平面AOC，即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90.再练一题3如图26所示，在ABC中，A
9、BBC，SA平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SAAB，SBBC，求二面角EBDC的大小图26【解】E为SC的中点，且SBBC，BESC.又DESC，BEDEE，SC平面BDE，BDSC.又SA平面ABC，可得SABD，SCSAS，BD平面SAC，从而BDAC，BDDE，EDC为二面角EBDC的平面角设SAAB1.在ABC中，ABBC，SBBC，AC，SC2.在RtSAC中，DCS30，EDC60，即二面角EBDC为60.转化与化归思想立体几何中最重要、最常用的思想就是转化与化归思想(1)线线、线面、面面的位置关系，由转化思想，使它们建立联系，如面面平行线面平行线线
10、平行，面面垂直线面垂直线线垂直等，有关线面位置关系的论证往往就是通过这种联系和转化得到解决的(2)通过“平移”，将一些线面关系转化为平面内的线线关系，通过线面平行，将空间角最终转化为平面角，并构造三角形，借助于三角形的知识解决问题(3)通过添加辅助线将立体问题转化为平面问题在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，过E作EFPB于点F.(1)求证：PA平面EDB；(2)求证：PB平面EFD；(3)求二面角CPBD的大小【精彩点拨】(1)利用线线平行证线面平行；(2)利用线线垂直证明线面垂直；(3)转化为求EFD的大小【规范解答】(1)证明：连接
11、AC交BD于点O，连接EO.底面ABCD是正方形，O是AC的中点，在PAC中，EO是中位线，PAEO.又EO平面EDB，PA平面EDB，PA平面EDB.(2)证明：PD底面ABCD，且DC底面ABCD，PDDC.PDDC，PDC是等腰直角三角形又DE是斜边PC的中线，DEPC.PD底面ABCD，PDBC.底面ABCD是正方形，DCBC，BC平面PDC.又DE平面PDC，BCDE.BCPCC，DE平面PBC.又PB平面PBC，DEPB.又EFPB，且DEEFE，PB平面EFD.(3)由(2)知，PBDF，EFPB，EFD是二面角CPBD的平面角由(2)知DEEF，PDDB.设正方形ABCD的边长
12、为a，则PDDCa，BDa，PBa，PCa，在RtPDB中，DFa.又DEPCa，在RtEFD中，sin EFD，EFD60.二面角CPBD的大小是60.再练一题4如图27，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点已知PAAB2，AD2.求：(1)PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小；(3)三棱锥PABE的体积图27【解】(1)因为PA底面ABCD，所以PACD.又ADCD，所以CD平面PAD，从而CDPD.因为PD2，CD2，所以PCD的面积为222.(2)取PB的中点F，连接EF，AF，则EFBC，从而AEF(或其补角)是异面直线BC与AE
13、所成的角在AEF中，由EF，AF，AE2，知AEF是等腰直角三角形，所以AEF45.因此异面直线BC与AE所成的角的大小是45.(3)连结BE.由(1)知AD平面PAB，EF平面PAB，EF，VPABEVEPAB22.1已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则()AmlBmnCnlDmn【解析】l，l.n，nl，故选C.【答案】C2若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交【解析】由直线l1和l2是异面直线可知
14、l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交【答案】D3，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)【解析】对于，可以平行，也可以相交但不垂直，故错误对于，由线面平行的性质定理知存在直线l，nl，又m，所以ml，所以mn，故正确对于，因为，所以，没有公共点又m，所以m，没有公共点，由线面平行的定义可知m，故正确对于，因为mn，所以m与所成的角和n与所成的角相等因为，所以n与所成的角和n与所成的角相等，所以m与所成的角和n与所成的角相等
15、，故正确【答案】4.如图28，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.图28【证明】(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，于是DEA1C1.又因为DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又因为B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.
