1、第章不等式、推理与证明第一节不等式的性质与一元二次不等式考纲传真1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图1两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的性质(1)对称性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd；(5)乘方法则：ab0anbn(n2，nN)；(6)开
2、方法则：ab0(n2，nN)；(7)倒数性质：设ab0，则a.3“三个二次”的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1x0的解集为_(用区间表示)(4,1)由x23x40得x23x40，解得4x0的解集为(4,1)5(教材改编)若不等式ax2bx20的解集为，则ab_.14由题意知x1，x2是方程ax2bx20的两个根，则解得(经检验知满足题意)ab14.比较大小及不等式性质的应用1设，0，那么2的取值范围是()A.B.C. D.D，0，2，即2，0.2，故选D.2已
3、知a，b，c满足cba，且ac0，那么下列选项中一定成立的是()Aabac Bc(ba)0Ccb2cb2 Dac(ac)0Acba，且ac0，c0，a0，acab，即A选项正确3设f(x)ax2bx，若1f(1)2,3f(1)4，则f(2)的取值范围是_6,10法一：(待定系数法)由题意知f(2)4a2b，设存在实数m，n，使得4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(mn)b，所以解得所以f(2)4a2b(ab)3(ab)又3ab4,33(ab)6，所以6(ab)3(ab)10，即f(2)的取值范围是6,10法二：(运用方程思想)由得所以f(2)4a2b3f(1)f(1)又所以63
4、f(1)f(1)10，即f(2)的取值范围是6,10规律方法1.用同向不等式求差范围的技巧adxybc.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到2比较大小的三种常用方法(1)作差法：直接作差判断正负即可(2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)32xx20；(2)x2(a1)xa0.解(1)原不等式化为x22x30，即(x3)(x1)0，故所求不等式的解集为x|1x3(2)原不等式可化为(xa)(x1)1时，原不等式的解集为(1，a)；当a1时，原不等式的解集
5、为；当a1时，原不等式的解集为(a,1)母题探究将本例(2)中不等式改为ax2(a1)x10，求不等式的解集解若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于(x1)0.当a1时，1，(x1)1时，1，解(x1)0得x1；当0a1，解 (x1)0得1x.综上所述：当a1；当0a1时，解集为.规律方法1.解一元二次不等式的一般方法和步骤：(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.
6、2.解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. (1)已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是()Ax|2x0的解集是，ax2bx10的解是x1和x2，且a0，解得则不等式x2bxa0即为x25x60，解得x2或x3.(2)将原不等式移项通分得0，等价于解得x或x5.原不等式的解集为.一元二次不等式恒成立问题考法1在R上恒成立，求参数
7、的范围【例2】不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_(2,2当a20，即a2时，不等式即为40，对一切xR恒成立，当a2时，则有即2a2.综上，可得实数a的取值范围是(2,2考法2在指定区间上恒成立求参数的范围【例3】设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0，又因为m(x2x1
8、)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可所以m的取值范围是.考法3变换主元求x的范围【例4】对任意的k1,1，函数f(x)x2(k4)x42k的值恒大于零，则x的取值范围是_x|x3对任意的k1,1，x2(k4)x42k0恒成立，即g(k)(x2)k(x24x4)0，在k1,1时恒成立只需g(1)0且g(1)0，即解得x3.规律方法一元二次不等式恒成立问题的求解思路(1)形如f(x)0或f(x)0(xR)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解.(2)形如f(x)0或f(x)0(xa，b)的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求
9、最值.(3)形如f(x)0或f(x)0(参数ma，b)的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. (1)若不等式x2ax20在区间1,5上有解，则实数a的取值范围是_(2)求使不等式x2(a6)x93a0(|a|1)恒成立的x的取值范围(1)设f(x)x2ax2，由题知a280，所以方程x2ax20恒有一正一负两根，于是不等式x2ax20在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0，即a.(2)解将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x9，因为f(a)0在|a|1时恒成立，所以(1)若x3，则f(a)0，不符合题意，舍去(2)若x3，则由一次函数的单调性，可得即解得x2或x4.综上可知，使原不等式恒成立的x的取值范围是(，2)(4，)1(2016全国卷)设集合Ax|x24x30，则AB()A.B.C. D.Dx24x30，1x3，Ax|1x32x30，x，B.ABx|1x3.故选D.2.(2016全国卷)设集合Sx|(x2)(x3)0，Tx|x0，则ST()A2,3 B(，23，)C3，) D(0,23，)D由题意知Sx|x2或x3，则STx|0x2或x3故选D.
