1、东城区 2019-2020 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 2020.1 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）D（2）C（3）B（4）A（5）B（6）C（7）A（8）C二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）4 （10）14524（11）0（答案不唯一）（12）4（13）2 或10 （14）三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（）由正弦定理可得sinsin3cos sin=0CACA.因为sin0A，所以 tan3.C 又因为0C ,所以2=3C.7 分（）由正弦定理得32sin12si
2、n=22 3bCBc,又因为03B，所以,66BABC .所以 ABC 的面积111sin2 2 33222SbcA.13 分 （16）（共 13 分）解：（）由题意可知，从高校大学生中随机抽取 1 人，该学生在 2021 年或 2021 年之前升级到 5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即 2705300.810001000.3 分（II）由题意 X 的所有可能值为 0,1,2.记事件 A 为“从早期体验用户中随机抽取 1 人，该学生愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上”，事件 B 为“从中期跟随用户中随机抽取 1 人，该学生愿意为升级 5G 多支付 10
3、 元或 10 元以上”，由题意可知，事件，AB 相互独立，且()1 40%0.6P A ，()1 45%0.55P B ，所以(0)()(1 0.6)(1 0.55)0.18P X=P AB，(1)()()()()(1()(1()()0.61 0.551 0.6)0.550.49P XP AB+ABP ABP AB P AP BP A P B（）（，()()0.6 0.550.33.P X=2P AB 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.18 0.49 0.33 故 X 的数学期望0 0.18 1 0.492 0.331.15（）E X .10 分（III）设事件 D 为“从这 10
4、00 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约 5G 套餐”，那么 327031000()0.02.CP DC 回答一：事件 D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件 D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.13 分（17）（共 14 分）解：（）在三棱柱111ABCA B C中，由于1BB 平面 ABC，所以1BB 平面111A B C 又1BB 平面11B BCC，所以平面11B BCC 平面111A B C，交线为11B C.又因为 ABBC，所以1111A BB C所以11A B 平面11B BCC 因为1BC 平面1
5、1B BCC，所以111.A BBC又因为12BBBC，所以11B CBC又1 1A B11B CB,所以1BC 平面11A B C 5 分（）由（）知1BB 底面 ABC，ABBC如图建立空间直角坐标系 Bxyz由题意得(0,0,0)B，(2,0,0)C，1(0,2,2)A，1(0,0,2)B所以1(2,0,2)B C uuur，1(0,2,2)A B uuur所以1111111cos,2|A B B CA B B CBAB C uuur uuuruuur uuuruuuruuur故异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为3 9 分（）易知平面11A ACC 的一个法向量为(1,1,0)
6、n，由11B MB C，得(2,0,22).M设11A NA B，得(0,22,22)N，则(2,22,22)MN 因为/MN平面11A ACC，所以0MNn，即(2,22,22)(1,1,0)0，解得1 所以111A NA B 14 分（18）（共 13 分）解：()因为321()33f xxxax，所以 223fxxxa.由()f x 在1x 时，有极值得11 230fa ，解得1a .经检验，1a 时，()f x 有极值.综上，1a .4 分（）不妨设在直线1x 上存在一点(1,)Pb，设过点 P 与()yf x相切的直线为l，切点为00(,)xy，则切线l 方程为32200000013
7、(23)()3yxxaxxxa xx.又直线l 过(1,)Pb，有32200000013(23)(1)3bxxaxxxax，即3200022+2303 xxxab.设322()2233g xxxxab，22()2422(1)0g xxxx.所以()g x 在区间(,)上单调递增，所以()0g x 至多有一个解.过点 P 与()yf x相切的直线至多有一条.故在直线1x 上不存在点 P，使得过 P 至少有两条直线与曲线()yf x相切.13 分（19）（共 14 分）解：（）由题意2222221cababc，解得22a.所以椭圆C 的方程为221.2xy4 分（）由已知直线l 的斜率不为 0.设
8、直线l 方程为1yk x.直线l 与椭圆C 的交点为 1122,A x yB xy.由22112yk xxy，得2222214220kxk xk.由已知，判别式0 恒成立，且22121222422,.2121kkxxx xkk 直线1F A的方程为1111yyxx，令0 x，则11(0,)1yMx.同理可得22(0,)1yNx.所以2121211121211111111kxxy yF M F Nxxxx uuuur uuur222212121212121212121111111kx xkxxkkx xxxx xxxx xxx .将代入并化简，得21127181kF M F Nkuuuur uu
9、ur.依题意，1MF N我锐角，所以110F M F N，即211271081kFM F Nkuuuur uuur.解得217k 或218k.综上，直线l 斜率的取值范围是7227(,)(,0)(0,)(,)7447 UUU.14 分（20）（共 13 分）解：（）=3 5 6 7 9 10T，.3 分（）假设存在ijN，使得()=1024S ij，则有1102422(1)2(1)()LLiijaaaiijjiij，由于ij与 ji 奇偶性相同，所以ij与1ji 奇偶性不同.又因为3ij ，1 2ji ，所以1024必有大于等于3 的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在ijN
10、，使得()=1024S ij，成立.8 分（）首先证明nan时，对任意的mN 都有2tmbtN，.若,ijN，使得：(1)()(1)22Ltjiijiij，由于1ji 与 ji 均大于2 且奇偶性不同，所以1(1)()2tjiij 不成立.其次证明除2()t t N 形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.若正整数2(21)thk，其中t N，kN.当1221tk 时，由等差数列的性质有：(21)222=(2)(21)2(21)(2)ttttttttkhkk个LLL14444442 4444443此时结论成立.当1221tk 时，由等差数列的性质有：2(21)(21)(21)=(21)(1)(1)(2)(2),ttthkkkkkkkkk个L144444444444442 44444444444443LL此时结论成立.对于数列22nan.此问题等价于数列0 1 2 3n，LL，其相应集合T 中满足：1010nb 有多少项.由前面的证明可知正整数2 4 8 16 32 64 128 256 512，不是集合T 中的项，所以n 的最大值为1001.13 分
