1、第二章 第一节求异面直线所成角 （第2课时，共 2 课时）直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别引直线aa , b b。我们把直线a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.注意：异面直线所成角的范围是0a90求异面直线所成角的步骤有哪些？求角的步骤：一“作”二“证”三“算”例1如图，已知正方体ABCDABCD. 哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？直线BA和CC的夹角是多少？哪些棱所在的直线与直线AA垂直？变1 2012郑州一模 如图7416所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和
2、BC1所成的角是 ()A45B60C90D120图7416例2如图7417，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别为A1B1，BB1，CC1的中点求异面直线D1P与AM，CN与AM所成的角的余弦值为_变2已知A是BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角.例3已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD成60角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角的大小变3 在正四面体S-ABC中，SABC, E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成
3、的角等于（ ）(A)300 (B)450 (C)600 (D)900变4 如图,空间四边形SABC中,各边及对角线长都相等,若E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于( ) A.90 B.60 C.45 D.30例4 (1)2012四川卷 如图7414所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_图7414图7415(2)2012武汉一模 如图7415，矩形ABCD中，AB2，BC4，将ABD沿对角线BD折起到ABD的位置，使点A在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线AB与CD所成角的大
4、小为_第二章 第一节求异面直线所成角答案 （第2课时，共 2 课时）例1 解析：由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC，DD，DC,BD所在直线分别与直线BA是异面直线. 由BBCC可知，BBA为异面直线BA与CC的夹角，BBA=45，所以BA与CC的夹角为45.直线AB，BC，CD，DA，AB,BC,CD,DA分别与直线AA垂直. 变1 解析 连接AB1，易知AB1EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GHAB1EF.设ABBCAA1a，连接HB，在三角形GHB中，易知GHHBGBa，故所求的两直线所成的角的大小为60.例2 连接A1N，由N，P为BB1，C
5、C1中点，则PNA1D1，PNA1D1，从而A1ND1P，故AM和D1P所成的角为AM和A1N所成的角易证RtAA1MRtA1B1N，所以A1NAM，故D1P与AM所成的角为，其余弦值为0.又设AB的中点为Q，连接B1Q，B1P，则B1QAM，B1QAM.又CNB1P，CNB1P，从而CN与AM所成的角就是PB1Q(或其补角)易求得B1QB1P，PQ.在PB1Q中，由余弦定理得cosPB1Q，故CN与AM所成的角的余弦值为.变2 解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是平面BCD外的一点相矛盾，
6、故直线EF与BD是异面直线(2)如图所示，取CD的中点G，连接EG，FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角由ACBD，ACBD及E，F，G分别为各边中点得EGF90，EGFG，故得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45例3 解：如图，取AC的中点P.连接PM，PN，则PMAB，且PMAB，PNCD，且PNCD，所以MPN为AB与CD所成的角(或所成角的补角)，则MPN60或MPN120.若MPN60，因为PMAB，所以PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角)又因为ABCD，所以PMPN，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即AB与MN所成的
7、角为60.若MPN120，则易知PMN是等腰三角形所以PMN30.即AB与MN所成的角为30.故直线AB和MN所成的角为60或30.变3 A 变4 C例4 解析 (1)因为ABCDA1B1C1D1为正方体，故A1在平面CDD1C1上的射影为D1，即A1M在平面CDD1C1上的射影为D1M，而在正方形CDD1C1中，由tanDD1MtanCDN，可知D1MDN，由三垂线定理可知，A1MDN.(2)如题图所示，由AO平面ABCD，可得平面ABC平面ABCD.又由DCBC可得DC平面ABC，DCAB，即得异面直线AB与CD所成角的大小为90. 归纳总结求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行
