1、第七节正弦定理和余弦定理A组基础题组1.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b2=ac,c=2a,则cos C=() A.24B.-24C.34D.-34答案B由题意得,b2=ac=2a2,b=2a,cos C=a2+b2-c22ab=a2+2a2-4a22a2a=-24.故选B.2.在ABC中,已知b=40,c=20,C=60,则此三角形的解的情况是()A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定答案C由正弦定理得bsinB=csinC,sin B=bsinCc=403220=31.角B不存在,即满足条件的三角形不存在.3.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c
2、,若cbcos A,则ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形答案A依题意得sin Csin Bcos A,所以sin (A+B)sin Bcos A,即sin Bcos A+cos Bsin A-sin Bcos A0,所以cos Bsin A0,于是有cos B0,c=2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+22-23213=9,a=3.故选B.6.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-14,3sin A=2sin B,则c=.答案4解析由3sin A=2sin B及正弦定理,得3a=2b,所以b=32a=3.
3、由cos C=a2+b2-c22ab,得-14=22+32-c2223,解得c=4.7.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,sin B=12,C=6,则b=.答案1解析在ABC中,sin B=12,0B,B=6或B=56,又B+C,C=6,B=6,A=23.asinA=bsinB,b=asinBsinA=1.8.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=4,asin B=3bcos A,则ABC面积的最大值是.答案43解析由正弦定理可得sin Asin B=3sin Bcos A,因为sin B0,所以sin A=3cos A,则tan A=3,所以在AB
4、C中,A=3.又a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc2bc-bc=bc,所以bc16(当且仅当b=c时取等号).所以SABC=12bcsin A121632=43,所以ABC面积的最大值为43.9.(2018北京,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求A;(2)求AC边上的高.解析(1)在ABC中,因为cos B=-17,所以sin B=1-cos2B=437.由正弦定理得sin A=asinBb=32.由题设知2B,所以0A2.所以A=3.(2)在ABC中,因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=3314,
5、所以AC边上的高为asin C=73314=332.10.(2018广东惠州第二次调研)已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos C(acos C+ccos A)+b=0.(1)求角C的大小;(2)若b=2,c=23,求ABC的面积.解析(1)2cos C(acos C+ccos A)+b=0,由正弦定理可得2cos C(sin Acos C+sin Ccos A)+sin B=0,2cos Csin(A+C)+sin B=0,即2cos Csin B+sin B=0,又0B180,sin B0,cos C=-12,又0C0,a=2,SABC=12absin C=3,ABC
6、的面积为3.B组提升题组1.已知锐角A是ABC的一个内角,a,b,c是角A,B,C的对边,若sin2A-cos2A=12,则下列各式正确的是() A.b+c=2aB.b+c2aC.b+c2aD.b+c2a答案Csin2A-cos2A=12,cos 2A=-12.0A2,02A1,则ABC一定是钝角三角形;若sin2A+sin2B=sin2C,则ABC一定是直角三角形;若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则ABC一定是等边三角形.以上命题中正确命题的序号为.答案解析因为tan Atan B1,且A,B为三角形内角,所以tan A0,tan B0,所以A,B均为锐角,又因为ta
7、n(A+B)=-tan C=tanA+tanB1-tanAtanB0,所以C为锐角,所以ABC不是钝角三角形,错误.由正弦定理及条件,得a2+b2=c2,所以ABC一定为直角三角形,正确.由cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1及A、B、C为三角形内角,可得cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C,正确.3.(2018山西八校第一次联考)在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且(a+c)2=b2+3ac.(1)求角B的大小;(2)若b=2,且sin B+sin(C-A)=2sin 2A,求ABC的面积. 解析(1)由(a+c)2=b2+
8、3ac,整理得a2+c2-b2=ac,由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac=ac2ac=12,0B,B=3.(2)在ABC中,A+B+C=,即B=-(A+C),故sin B=sin(A+C),由已知sin B+sin(C-A)=2sin 2A可得sin(A+C)+sin(C-A)=2sin 2A,整理得cos Asin C=2sin Acos A.若cos A=0,则A=2,由b=2,可得c=2tanB=233,此时ABC的面积S=12bc=233.若cos A0,则sin C=2sin A,由正弦定理可知,c=2a,代入a2+c2-b2=ac,整理可得3a2=4,解得a=233,c
9、=433,此时ABC的面积S=12acsin B=233.综上所述,ABC的面积为233.4.在ABC中,AD是BC边的中线,AB2+AC2+ABAC=BC2,且ABC的面积为3.(1)求BAC的大小及ABAC的值;(2)若AB=4,求AD的长.解析(1)在ABC中,由AB2+AC2+ABAC=BC2可得AB2+AC2-BC22ABAC=-12=cosBAC,故BAC=120.因为SABC=12ABACsinBAC=12ABACsin 120=3,所以12ABAC32=3,解得ABAC=4.所以ABAC=|AB|AC|cos 120=|AB|AC|-12=4-12=-2.(2)解法一:由AB=
10、4,ABAC=4得AC=1.在ABC中,由BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=16+1-241-12=21,得BC=21,由BCsinBAC=ACsinABC,得sinABC=ACsinBACBC=13221=714.0ABC60,故cosABC=32114.在ABD中,AD2=AB2+BD2-2ABBDcosABD=16+214-2421232114=134,得AD=132.解法二:由AB=4,ABAC=4得AC=1.在ABC中,由BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=16+1-241-12=21,得BC=21,cosABC=AB2+BC2-AC22ABBC=16+21-12421=32114,在ABD中,AD2=AB2+BD2-2ABBDcosABD=16+214-2421232114=134,得AD=132.
