1、计算题32分抢分练(一)(时间：20分钟分值：32分)1(14分)(2020杭州重点中学高三考试)某同学设计了一款儿童弹射玩具，模型如图所示，PB段是长度连续可调的竖直伸缩管，BCD段是半径为R的四分之三圆弧弯管，DE段是长度为2R的水平管，与AB管稍稍错开。竖直管内装有下端固定且劲度系数较大的轻质弹簧，在弹簧上端放置质量为m的小球。每次将弹簧的长度压缩至P点后锁定，设PB的高度差为h，解除锁定后弹簧可将小球弹出。在弹射器的右侧装有可左右移动的宽为2R的盒子用于接收小球，盒子两侧的最高点M、N和P点等高，且M与E的水平距离为x。已知弹簧锁定时的弹性势能为Ep9mgR，小球与水平管的动摩擦因数0
2、.5，与其他部分的摩擦不计，不计小球受到的空气阻力及解除锁定时的弹性势能损失，不考虑伸缩竖直管粗细变化对小球的影响且管的粗细远小于圆的半径，重力加速度大小为g。(1)求当h3R时，小球到达管道的最高点C处时的速度大小vC；(2)求在(1)问中小球运动到最高点C时对管道作用力的大小；(3)若h连续可调，要使该小球能掉入盒中，求x的最大值。解析(1)小球从P点运动至C点的过程中，根据机械能守恒定律有Epmg(hR)mv(2分)解得vC。(1分)(2)设小球在C点时受到的管道的作用力方向向下，大小为F，则有Fmgm(2分)解得F9mg(1分)根据牛顿第三定律，可得小球对管道的作用力大小为9mg。(1
3、分)(3)从P到E的过程中，由动能定理得Epmg(hR)2mgRmv0(2分)要使小球落入盒中，x取极值的临界是正好从M点经过掉入盒中，小球由E到M做平抛运动，则有hRgt2，xvt(2分)联立可得x2(1分)故当h5R时，有xmax8R(1分)经判断，在该情况下，Epmg(hR)，小球能通过最高点C，结果成立。(1分)答案(1)(2)9mg(3)8R2(18分)如图甲所示，在同一水平面上，两条足够长的平行金属导轨MN、PQ间距为L0.15 m，右端接有定值电阻R0.2 ，EF左侧导轨光滑且绝缘，右侧导轨粗糙且导电，EFGH区域内有垂直导轨平面向里、磁感应强度B4 T的矩形匀强磁场；一根轻质弹
4、簧水平放置，左端固定在K点，右端与质量为m0.1 kg的金属棒a接触但不拴接，且与导轨间的动摩擦因数0.1，弹簧自由伸长时a棒刚好在EF处，金属棒a垂直导轨放置，现使金属棒a在外力作用下缓慢地由EF向左压缩至AB处锁定，压缩量为x00.04 m，此时在EF处静止放置垂直于导轨、质量为M0.3 kg、电阻为r0.1 的金属棒b；接着释放金属棒a，两金属棒在EF处碰撞，a棒被弹回并压缩弹簧至CD处时速度刚好为零且被锁定，此时压缩量为x10.02 m，b棒向右运动，经过0.1 s从磁场右边界GH离开，金属棒b在磁场中运动过程中流经电阻R的电荷量q0.2 C。设棒的运动都垂直于导轨，棒的宽度不计，重力
5、加速度g取10 m/s2，已知弹簧的弹力与形变量的关系图线(如图乙)与x轴所围面积为弹簧具有的弹性势能。求：(1)金属棒a碰撞金属棒b前瞬间的速度大小v0；(2)金属棒b离开磁场时的速度大小；(3)整个过程中定值电阻上产生的焦耳热QR。甲乙解析(1)由题意可知，初始时弹簧的弹性势能为Ep0.0410 J0.2 J(1分)由动能定理得Epmv(2分)解得v02 m/s。(1分)(2)设a棒反弹后瞬间的速度大小为v1，b棒碰后瞬间速度大小为v2Ep0.025 J0.05 J(1分)Epmv(1分)解得v11 m/s(1分)金属棒a、b碰撞过程中，由动量守恒定律得mv0mv1Mv2(1分)解得v21 m/s(1分)设金属棒b离开磁场右边界GH时的速度大小为v3，b棒从EF运动到GH的过程中根据动量定理有BLqftM(v3v2)(1分)fMg(1分)解得v30.5 m/s。(1分)(3)设匀强磁场区域沿导轨方向宽度为x，则有q(2分)解得x0.1 m(1分)由能量守恒定律得Q总M(vv)fx0.082 5 J(2分)QRQ总0.055 J。(1分)答案(1)2 m/s(2)0.5 m/s(3)0.055 J
