1、2 空间点、直线、平面之间的关系 真题热身1(2011四川)l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3 共面Dl1，l2，l3 共点l1，l2，l3 共面解析 当 l1l2，l2l3 时，l1 与 l3 也可能相交或异面，故 A 不正确；l1l2，l2l3l1l3，故 B 正确；当 l1l2l3 时，l1，l2，l3 未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故 C 不正确；l1，l2，l3 共点时，l1，l2，l3 未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故 D 不正确B 2(2011浙江)下列
2、命题中错误的是()A如果平面 平面，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面，平面 平面，l，那么l平面 D如果平面 平面，那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析 两个平面，垂直时，设交线为 l，则在平面 内与 l平行的直线都平行于平面，故 A 正确；如果平面 内存在直线垂直于平面，那么由面面垂直的判定定理知，故 B 正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故 C 正确；两个平面，垂直时，平面 内与交线平行的直线与 平行，故 D 错误答案 D3(2011辽宁)如图，四棱锥 SABCD 的底面为正方
3、形，SD底面 ABCD，则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面 SCDCSA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角DAB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角解析 易证 AC平面 SBD，因而 ACSB，A 正确；ABDC，DC平面 SCD，故 AB平面 SCD，B 正确；由于 SA，SC 与平面 SBD 的相对位置一样，因而所成的角相同D 4(2011大纲全国)已知正方体 ABCDA1 B1 C1 D1 中，E 为C1D1 的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为_解析 取 A1B1 的中点 F，连接 EF，AF.在正方体 ABCDA1
4、B1C1D1 中，EFB1C1，B1C1BC，EFBC，AEF 即为异面直线AE 与 BC 所成的角设正方体的棱长为 a，则 AFa2(12a)2 52 a，EFa.EF平面 ABB1A1，EFAF，AE AF2EF232a.cos AEFEFAE.3223aa考点整合 1点、线、面的位置关系(1)公理 1 A，B，AB.(2)公理 2 A，B，C 三点不共线，A，B，C 确定一个平面(3)公理 3 P，且 P，l，且 Pl.三个推论：过两条相交直线有且只有一个平面过两条平行直线有且只有一个平面过一条直线和直线外一点有且只有一个平面(4)公理 4 ac，bc，ab.(5)等角定理 OAO1A1
5、，OBO1B1，AOBA1O1B1 或AOBA1O1B1180.2直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理 a，b，ab，a.(2)线面平行的性质定理 a，a，b，ab.(3)面面平行的判定定理 a，b，abP，a，b，.(4)面面平行的性质定理，a，b，ab.3直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理 m，n，mnP，lm，ln，l.(2)线面垂直的性质定理 a，b，ab.(3)面面垂直的判定定理 a，a，.(4)面面垂直的性质定理，l，a，al，a.4异面直线所成的角(1)定义(2)范围：(0，2(3)求法：先通过作平行线找到两异面直线所成的角，然后解含有这个角的三
6、角形若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求5直线与平面所成的角(1)定义(2)范围：0，2(3)求法：先找到(或作出)过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得6二面角(1)定义(2)范围：0，(3)找二面角平面角的方法定义法垂面法垂线法特殊图形法垂线法是最重要的方法，具体步骤如下：弄清该二面角及它的棱考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线(往往先找垂面再找垂线)过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连接垂足与另一个端点，所得到的角(或其补角)就是该二面角的平面角解这个角所在的直角
7、三角形，可得到二面角的大小分类突破 一、空间线线、线面、面面的位置关系例 1 设 l，m 是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若 lm，m，则 lB若 l，lm，则 mC若 l，m，则 lmD若 l，m，则 lm解析 对于 A，由 lm 及 m，可知 l 与 的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故 A 不正确B 正确对于 C，由l，m 知，l 与 m 的位置关系为平行或异面，故 C 不正确对于 D，由 l，m 知，l 与 m 的位置关系为平行、异面或相交，故 D 不正确B 变式训练 1 设 l、m、n 表示三条直线，、表示三个平面，给出下列四个命题：若 l，m，则 lm；若
8、 m，n 是 l 在 内的射影，ml，则 mn；若 m，mn，则 n；若，则.其中真命题为()ABCD解析 中，n 可能在 内；中，可能有、相交或平行，故选 A.A 二、直线、平面的平行与垂直例 2(2011山东)如图，在四棱台 ABCDA1B1C1D1 中，D1D平面 ABCD，底面 ABCD 是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面 A1BD.证明(1)方法一 因为 D1D平面 ABCD，且 BD平面 ABCD，所以 D1DBD.在ABD 中，由余弦定理，得BD2AD2AB22ADABcosBAD.又因为 AB2AD，BAD60，所
9、以 BD23AD2.所以 AD2BD2AB2，因此 ADBD.又 ADD1DD，所以 BD平面 ADD1A1.又 AA1平面 ADD1A1，所以 AA1BD.方法二 因为 DD1平面 ABCD，且 BD平面 ABCD，所以 BDD1D.如图，取 AB 的中点 G，连接 DG.在ABD 中，由 AB2AD，得 AGAD.又BAD60，所以ADG 为等边三角形，所以 GDGB，故DBGGDB.又AGD60，所以GDB30，所以ADBADGGDB603090，所以 BDAD.又 ADD1DD，所以 BD平面 ADD1A1.又 AA1平面 ADD1A1，所以 AA1BD.(2)如图，连接 AC、A1C
10、1.设 ACBD 于点 E，连接 EA1.因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 EC12AC.由棱台的定义及 AB2AD2A1B1 知，A1C1EC 且 A1C1EC，所以四边形 A1ECC1 为平行四边形，因此 CC1EA1.又因为 EA1平面 A1BD，CC1平面 A1BD，所以 CC1平面 A1BD.归纳拓展 线线垂直、线面垂直是立体几何的核心内容之一，它在空间线面关系的推理证明中起着承上启下的桥梁作用证明线面关系不能仅仅考虑线面关系的判定和性质，更要注意对几何体的几何特征的灵活应用证明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理另外根据几何体的数据，通过计算也可得到线线垂直的关系，所以
11、要注意对几何体中的数据的正确利用 变式训练 2 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，E、F 分别为 PC、BD 的中点，侧面 PAD底面 ABCD，且 PAPD 22 AD.(1)求证：EF平面 PAD；(2)求证：平面 PAB平面 PCD.证明(1)连接 AC，则 F 是 AC 的中点，E 为 PC 的中点，故在CPA 中，EFPA，又PA平面 PAD，EF平面 PAD，EF平面 PAD.(2)平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，又底面 ABCD 是正方形，CDAD，CD平面 PAD，CDPA.又 PAPD 22 AD，PAD
12、是等腰直角三角形，且APD 2，即 PAPD.又CDPDD，PA平面 PCD.又PA平面 PAB，平面 PAB平面 PCD.三、探索性问题例 3 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是DAB60，且边长为 a 的菱形，侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD.(1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG平面 PAD；(2)求证：ADPB；(3)若 E 为 BC 边的中点，能否在棱 PC 上找到一点 F，使平面 DEF平面 ABCD，并证明你的结论(1)证明 在菱形 ABCD 中，DAB60，G 为 AD 的中点，得 BGAD.又平面 PAD平面 ABCD，平面 PA
13、D平面 ABCDAD，BG平面 PAD.(2)证明 连接 PG，因为PAD 为正三角形，G 为 AD 的中点，得 PGAD.由(1)知 BGAD，PGBGG，PG平面 PGB，BG平面 PGB，AD平面 PGB.PB平面 PGB，ADPB.(3)解 当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF平面 ABCD.证明如下：取 PC 的中点 F，连接 DE，EF，DF，则在PBC 中，FEPB，在菱形 ABCD 中，GBDE，而 FE平面 DEF，DE平面 DEF，FEDEE，平面 DEF平面 PGB.由(2)可知，PG平面 ABCD，而 PG平面 PGB，平面 PGB平面 ABCD，平面 DEF平
14、面 ABCD.归纳拓展 解决探究某些点或线的存在性问题，一般的方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直)，再证明其符合要求，一般来说与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形变式训练 3 如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，ABE 是等腰直角三角形，ABAE，FAFE，AEF45.(1)求证：EF平面 BCE.(2)设线段 CD 的中点为 P，在直线 AE 上是否存在一点 M，使得 PM平面 BCE？若存在，请指出点 M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由(1)证明 因为平面 ABEF平面 ABCD，BC平面 A
15、BCD，BCAB，平面 ABEF平面 ABCDAB，所以 BC平面 ABEF.所以 BCEF.因为ABE 为等腰直角三角形，ABAE，所以AEB45，又因为AEF45，所以FEB454590，即 EFBE.因为 BC平面 BCE，BE平面 BCE，BCBEB.所以 EF平面 BCE.(2)解 存在点 M，当 M 为线段 AE 的中点时，PM平面 BCE.取 BE 的中点 N，连接 CN、MN，则 MN 綊12AB 綊 PC，所以 PMNC 为平行四边形所以 PMCN.因为 CN 在平面 BCE 内，PM 不在平面 BCE 内，所以 PM平面 BCE.规范演练 1给定下列四个命题：若一个平面内的
16、两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是()A和B和C和D和解析 根据面面垂直的判定定理，知对由若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，知对答案 D2若一个 n 面体中有 m 个面是直角三角形，则称这个 n 面体的直度为mn.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，四面体 A1ABC 的直度为()A14B12C34D1解析 A1A平面 ABC，A1AAC，A1AAB，
17、而 BC平面 A1AB，BCAB，BCA1B，A1AC，A1AB，ABC，A1BC均为直角三角形，m4.又 n4，直度mn1.D 3在正三棱锥 PABC 中，D、E 分别是 AB、BC 的中点，有下列三个结论：ACPB；AC平面 PDE；AB平面 PDE.则所有正确结论的序号是_解析 取 AC 中点 M，易得 ACPM，ACBM，所以 AC平面 PMB，从而有 ACPB，正确；ACDE，DE平面 PDE，AC平面 PDE，所以 AC平面 PDE，正确；因为AB 与 DE 不垂直，所以 AB 与平面 PDE 也不垂直，不正确 4.如图，边长为 a 的正ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于
18、 G，已知AED 是AED 绕 DE 旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有_(填上所有正确命题的序号)动点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上；三棱锥 AFED 的体积有最大值；恒有平面 AGF平面 BCED.解析 由题意知 AFDE，AGDE，FGDE，DE平面 AFG，DE平面 ABC，平面 AFG平面 ABC，交线为 AF，均正确当 AG平面 ABC 时，A到平面 ABC 的距离最大故三棱锥 AFED 的体积有最大值故正确答案 5.如图所示，AB 为圆 O 的直径，点 E、F 在圆O 上，ABEF，矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直，且 AB
19、2，ADEF1.(1)求证：AF平面 CBF；(2)设 FC 的中点为 M，求证：OM平面 DAF.证明(1)平面 ABCD平面 ABEF，CBAB，平面 ABCD平面 ABEFAB，CB平面 ABEF.AF平面 ABEF，AFCB.AB 为圆 O 的直径，AFBF.又CBBFB，AF平面 CBF.(2)设 DF 的中点为 N，连接 MN、AN，则 MN 綊12CD.又 AO 綊12CD，则 MN 綊 AO.四边形 MNAO 为平行四边形OMAN.又AN平面 DAF，OM平面 DAF，OM平面 DAF.6.正三棱柱 A1B1C1ABC 中，点 D 是 BC的中点，BC 2BB1，设 B1DBC
20、1F.求证：(1)A1C平面 AB1D；(2)BC1平面 AB1D.证明(1)连接 A1B，设 A1B 与 AB1 交于 E，连接 DE.点 D 是 BC 中点，点 E 是 A1B 中点，DEA1C.A1C平面 AB1D，DE平面 AB1D.A1C平面 AB1D.(2)ABC 是正三角形，点 D 是 BC 的中点，ADBC.平面 ABC平面 B1BCC1，平面 ABC平面 B1BCC1BC，AD平面 ABC，AD平面 B1BCC1，BC1平面 B1BCC1，ADBC1.点 D 是 BC 的中点，BC 2BB1，BD 22 BB1.BDBB1CC1BC 22，RtB1BDRtBCC1.BDB1BC1C.FBDBDFC1BCBC1C90.BC1B1D.B1DADD，BC1平面 AB1D.返回
