1、“顶尖计划”2023届高中毕业班第一次考试文科数学一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合,则中的元素个数为A. 8B. 9C. 10D. 112. 已知复数, 则A. 1B. C. D. 33. 已知非零向量满足,且,则 A. B. C. D. 4. 在区间内任取一实数，则成立的概率为A. B. C. D. 5. 我国古代经典数学名著九章算术中有一段表述:“今有圆堡壔( do ),周四丈八尺,高一丈一尺”,意思是有一个圆柱,底面周长为4丈8尺,高为1丈1尺.则该圆柱的表面积约为 (注:1丈=10尺,取3)A. 10
2、88 平方尺B. 912 平方尺C. 720 平方尺D. 656 平方尺6. 已知不等式组，表示的平面区域不包含点则实数的取值范围是A. B. C. D. 7. 设数列满足且，则A. B. C. D. 38. 已知函数在处取得最大值,则A. B. C. D. 9. 已知定义域为的偶函数满足,且当时,则 A. B. C. 1D. 310. 已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,其中, 若 ,则A. 2B. C. D. 11. 设抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，若轴，且，则A. B. C. D. 12. 已知双曲线的离心率为2,直线与交于两点,为线段的中点,为坐标原点.
3、则与的斜率的乘积为A. 2B. 3C. 4D. 6二、填空题: 本题共4小题,每小题5分，共 20 分. 13. 小明从雪糕店购买了10种不同的雪糕，这些雪糕的价格（单位：元）如茎叶图所示，则小明购买的雪糕价格的中位数为_.14. 写出一个同时具有下列性质的函数:_. ;当时,单调递减; 为偶函数.15. 已知等差数列的前项和为, 则的最大值为_.16. 已知圆锥和的底面重合 (为底面圆圆心),点与不重合,且和底面圆周都在同一个半径为2的球面上,设圆锥的体积为,圆锥的体积为,若的最大值为,则当 时,_ . (用数值作答)三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21
4、题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一) 必考题:共 60 分.17. (12 分)在中，角所对的边为，已知.(I)求(II)设的平分线与交于点，求的长.18. (12 分)某工厂共有甲、乙两个车间,为了比较两个车间的生产水平,分别从两个车间生产的同一种零件中各随机抽取了100件, 它们的质量指标值统计如下:质量指标值甲车间（件）152025319乙车间（件）510153931(I)估计该工厂生产这种零件的质量指标值的平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(II)根据所给数据,完成下面的列联表(表中数据单位:件),并判断是否有的把握认为甲
5、、乙两个车间的生产水平有差异.甲车间乙车间附:,其中.0.050.010.001k3.8416.63510.82819. (12 分)如图, 在直三棱柱中,为棱上靠近的三等分点,为棱的中点,点在棱上,且直线平面.(I) 求的长;(II) 求点到平面的距离.20. (12 分)已知函数.(I)若，求的极值.(II)若方程在区间上有解，求实数的取值范围.21. (12 分)过椭圆上任意一点作直线(I) 证明:;(II) 若为坐标原点, 线段的中点为,过作的平行线与交于两点, 求面积的最大值.(二)选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修 4
6、-4:坐标系与参数方程 (10 分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(I) 写出的直角坐标方程;(II) 若与只有一个公共点，求的值.23. 选修 4-5:不等式选讲 (10 分)已知均为正实数, 且.(I) 求的最小值;(II) 证明: .文科数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案BCCABBDADDAB二、填空题13.514.（不唯一）15.5416.三、解答题：17. 解析 (I) 由得 , 再由正弦定理和余弦定理得整理可得,所以.(II) 由余弦定理可得 ,因为是角的平分线,所以, 所以.在中, ,所以.1
7、8.解析 (I)由所给数据,各组的频率分别为 0.1,0.15,0.2,0.35,0.2 所以该工厂生产这种零件的质量指标值的平均数的估计值为 ()列联表如下:甲车间6040乙车间3070所以因为18.182大于6.635，所以有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.19.解析 ( I )在上取一点, 使得, 连接.由已知得 , 所以.因为平面, 所以平面.又因为平面 所以平面平面.根据面面平行的性质可知.在矩形中, 可得,所以, 所以.(II) 连接, 作 垂足为.由条件知 平面, 所以平面 平面,故求距离转化为求线段的长.在中, ,所以 ,故点到平面的距离为.20.解析( I )当时
8、，令得当时，当时所以在上单调递减，在上单调递增所以的极小值为，无极大值(II)若，当时恒成立，所以在上单调递增要使方程在上有解, 则 即 得 , 因为, 所以 .若，当时恒成立，所以在上单调递减此吋 不符合条件.若 , 当 时, , 当时,所以在上单调递减，在上单调递增此时,要使方程在上有解, 则需得 ,所以.综上可知，的取值范围为21. 解析解析(I)联立 消去整理得,因为点在上, 所以化简得.(II) 设,点,则.由已知得, 所以,即点满足方程,所以.由 得 ,设,则.所以所以令,因为, 所以.所以所以面积的最大值为.22. 解析 (I) 由的极坐标方程可得, 故其直角坐标方程为.(II) 由的参数方程可得,即的普通方程为.联立方程 得, 因为与只有一个公共点,所以,解得.23. 解析 (I) 由基本不等式可知,当且仅当 , 即 时等号成立,所以的最小值为 6 .(II) 因为, 所以.同理可得所以，当且仅当时等号成立所以,即学科网（北京）股份有限公司
