1、重庆一中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）已知集合A=x|x2+4x120，B=x|2x2，则AB=（）Ax|x6Bx|1x2Cx|6x2Dx|x22（5分）已知sinx+cosx=，则sin2x=（）ABCD3（5分）设a1b1，则下列不等式中恒成立的是（）Aab2BCDa22b4（5分）下列命题的说法错误的是（）A若pq为假命题，则p，q均为假命题B“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C对于命题p：xR，x2+x+10，则p：xR，x2+x+10D命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1，则
2、x23x+20”5（5分）已知等差数列an的公差d0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和Sn的最大值为（）A50B45C40D356（5分）在ABC中，已知，则的值为（）A2B2C4D27（5分）函数y=f（x）在0，2上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（）Af（1）f（）f（）Bf（）f（1）f（）Cf（）f（）f（1）Df（）f（1）f（）8（5分）若点P是曲线y=x2lnx上任意一点，则点P到直线y=x2的最小距离为（）A1BCD9（5分）在约束条件下，当3s5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（）A6，15B7，15C6，8D7，
3、810（5分）已知O为坐标原点，记|、|、|中的最大值为M，当a取遍一切实数时，M的取值范围是（）ABCD二填空题：（本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）11（5分）在等比数列an中，若公比q=4，前3项的和等于21，则该数列的通项公式an=12（5分）已知=（2，1），=（3，），若，则的值是13（5分）若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy340恒成立，则实数a的取值范围是三、选做题（共3小题，每小题5分，满分10分）14（5分）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，PA=，PB=1，则PAB=15（5分）在直角
4、坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（为参数）求点M到曲线C上的点的距离的最小值16若关于x的不等式a|x+1|x2|存在实数解，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程17（13分）等差数列an的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数（1）求此数列的公差d；（2）当前n项和Sn是正数时，求n的最大值18（13分）如图为函数y=Asin（x+）（A，0，|）图象的一段（1）求其解析式；（2）若将y=Asin（x+）的图象向左平移个单位长度后得y=f（x）
5、，求f（x）的对称轴方程19（13分）已知函数f（x）=alnxbx2图象上一点P（2，f（2）处的切线方程为y=3x+2ln2+2（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底）20（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）+m，（mR），在区间0，内最大值为，（1）求实数m的值；（2）在ABC中，三内角A、B、C所对边分别为a，b，c，且，求b的取值范围21（12分）已知点H（3，0），点P在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在PQ上，且满足=0，=（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹方程C；（2）给定圆N：x2
6、+y2=2x，过圆心N作直线l，此直线与圆N和（1）中的轨迹C共有四个交点，自上而下顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l的方程22（12分）已知数列an满足：an+1=，a1=2，bn=（1）求bn的通项公式；（2）求证：当n3时，b1+b2+bn重庆一中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）已知集合A=x|x2+4x120，B=x|2x2，则AB=（）Ax|x6Bx|1x2Cx|6x2Dx|x2考点：交集及其运算 专题：集合分析：分别求出不等式x2+4x120
7、和2x2的解集，即求出集合A、B，再由交集的运算求出AB解答：解：由x2+4x120得，6x2，则A=x|6x2，由2x2得，x1，则B=x|x1，所以AB=x|1x2，故选：B点评：本题考查了交集及其运算，以及一元二次不等式、指数不等式的解法，属于基础题2（5分）已知sinx+cosx=，则sin2x=（）ABCD考点：二倍角的正弦 专题：三角函数的求值分析：由sinx+cosx=，两边平方有1+2sinxcosx=，由二倍角公式可得sin2x=解答：解：sinx+cosx=，1+2sinxcosx=，可解得sin2x=故选：C点评：本题主要考察了二倍角的正弦公式的应用，属于基本知识的考查3
8、（5分）设a1b1，则下列不等式中恒成立的是（）Aab2BCDa22b考点：不等式的基本性质 专题：不等式的解法及应用分析：由a1b1，可得a1，0b21即可得出解答：解：a1b1，a1，0b21ab2故选：A点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题4（5分）下列命题的说法错误的是（）A若pq为假命题，则p，q均为假命题B“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C对于命题p：xR，x2+x+10，则p：xR，x2+x+10D命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：A：pq为假命题时，p假q真，或p
9、真q假，或p，q均为假命题；B：判断充分性与必要性是否成立即可；C：根据全称命题的否定是特称命题进行判断；D：根据命题与它的逆否命题的关系进行判断即可解答：解：对于A，当pq为假命题时，p假q真，或p真q假，或p，q均为假命题，A错误；对于B，x=1时，x23x+2=0，充分性成立，x23x+2=0时，x=1或x=2，必要性不成立，是充分不必要条件，B正确；对于C，当命题p：xR，x2+x+10时，它的否定是p：xR，x2+x+10，C正确；对于D，命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题是：“若x1，则x23x+20”，D正确故选：A点评：本题通过命题真假的判断，考查了复合命题的真假性
10、，充分与必要条件，全称命题与特称命题以及四种命题真假的关系的应用问题，是综合题目5（5分）已知等差数列an的公差d0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和Sn的最大值为（）A50B45C40D35考点：等差数列的前n项和 专题：计算题分析：先用等差数列的通项公式，分别表示出a4a6和a2+a8，联立方程求得d和a1，进而可表示出Sn，利用二次函数的性质求得其最大值解答：解：依题意可知求得d=1，a1=9Sn=9n=n2+9n+，当n=9时，Sn最大，S9=81=45故选B点评：本题主要考查了等差数列的前n项的和和通项公式的应用考查了学生对等差数列基本公式的理解和应用6（5分）
11、在ABC中，已知，则的值为（）A2B2C4D2考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题分析：先根据三角形的面积公式可求得A的正弦值，从而可求得余弦值，根据向量的数量积运算可得到的值解答：解：=，sinA=；cosA=41（）=2故选：D点评：本题主要考查三角形的面积公式的应用和向量的数量积运算向量和三角函数的综合题是2015届高考热点问题也是2015届高考的重点，每年必考，平时一定要多积累这方面的知识7（5分）函数y=f（x）在0，2上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（）Af（1）f（）f（）Bf（）f（1）f（）Cf（）f（）f（1）Df（）f（1）f（）考点：奇偶性
12、与单调性的综合 专题：计算题；转化思想分析：由已知中函数y=f（x）在0，2上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，我们可得函数y=f（x）在2，4上单调递减，且在0，4上函数y=f（x）满足f（2x）=f（2+x），由此要比较f（），f（1），f（）的大小，可以比较f（），f（3），f（）解答：解：函数y=f（x）在0，2上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，函数y=f（x）在2，4上单调递减且在0，4上函数y=f（x）满足f（2x）=f（2+x）即f（1）=f（3）f（）f（3）f（）f（）f（1）f（）故选B点评：本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中根据已知条件，判断出函数在2
13、，4上单调递减，且在0，4上函数y=f（x）满足f（2x）=f（2+x），是解答本题的关键8（5分）若点P是曲线y=x2lnx上任意一点，则点P到直线y=x2的最小距离为（）A1BCD考点：点到直线的距离公式 专题：计算题分析：设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x2的最小距离解答：解：过点P作y=x2的平行直线，且与曲线y=x2lnx相切，设P（x0，x02lnx0）则有k=y|x=x0=2x02x0=1，x0=1或x0=（舍去）P（1，1），d=故选B点评：本题考查点到直线的距离，导数的应用，考查计算能力，是基础题9（5分）在约束条件下，
14、当3s5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（）A6，15B7，15C6，8D7，8考点：简单线性规划的应用 专题：计算题；压轴题分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y过区域内边界上的某些点时，z最大值即可解答：解：由交点为A（2，0），B（4s，2s4），C（0，s），C（0，4），当3s4时可行域是四边形OABC，此时，7z8当4s5时可行域是OAC此时，zmax=8故选D点评：本题主要考查了简单的线性规划由于线性规划的介入，借助于平面区域，可以研究函数的最值或最优解；借助于平面区域特性，我们还可以优化数学解题，借助于规划思想，巧妙应用平
15、面区域，为我们的数学解题增添了活力10（5分）已知O为坐标原点，记|、|、|中的最大值为M，当a取遍一切实数时，M的取值范围是（）ABCD考点：向量的模 专题：平面向量及应用分析：对a分类讨论，当a=0时，M当a=7时，（A，B，C三点共线）时，则当P落在AB的中点上时，M取最小值当a0，且a7时，当P落在ABC的外心Q上时，且Q最小时，M有最小值由于Q所在的直线与AB垂直，故Q落在直线y=x上利用直线与抛物线相交即可得出解答：解：，当a=0时，P取AC的中点时，M当a=7时，（A，B，C三点共线）时，则当P落在AB的中点上时，M取最小值，M当a0，且a7时，当P落在ABC的外心Q上时，且Q最
16、小时，M有最小值Q所在的直线与AB垂直，故Q落在直线y=x上若PA2PB2，则yx； 当yx时，M2=maxPA2，PC2到点C的距离等于到x轴的距离的点的轨迹是抛物线：（x3）2=8（y2），交直线y=x于P（72，72），Mmin=72，当a=2时，M取最小值72M的取值范围是故选：C点评：本题考查了向量的差的模的运算、分类讨论思想方法、三角形外心的性质、直线与抛物线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题二填空题：（本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）11（5分）在等比数列an中，若公比q=4，前3项的和等于21，则该数列的通项公式an=4n1考点：等比数列的通项公
17、式 专题：等差数列与等比数列分析：根据等比数列的通项公式，把q代入前3项的和，进而求得a1则数列的通项公式可得解答：解：由题意知a1+4a1+16a1=21，解得a1=1，所以通项an=4n1故答案为：4n1点评：本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题12（5分）已知=（2，1），=（3，），若，则的值是3或1考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：计算题分析：利用向量的数量积公式求出，；利用向量垂直的充要条件：数量积为0，列出方程求出值解答：解：，即即12+292=0解得=3或1故答案为：3或1点评：本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0；向量的数量积公式13（5分）
18、若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy340恒成立，则实数a的取值范围是（，3，+）考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：原不等式恒成立可化为xy恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得xy2，故只需2恒成立，解关于a的不等式可得解答：解：正实数x，y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy4，不等式（x+2y）a2+2a+2xy340恒成立，即（4xy4）a2+2a+2xy340恒成立，变形可得2xy（2a2+1）4a22a+34恒成立，即xy恒成立，x0，y0，x+2y2，4xy=x+2y+44+2，即220，解不等式可得，或（舍负）
19、可得xy2，要使xy恒成立，只需2恒成立，化简可得2a2+a150，即（a+3）（2a5）0，解得a3或a，故答案为：点评：本题考查基本不等式的应用，涉及恒成立问题，变形并求出需要的最小值是解决问题的关键，属中档题三、选做题（共3小题，每小题5分，满分10分）14（5分）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，PA=，PB=1，则PAB=30考点：与圆有关的比例线段；弦切角 专题：选作题；立体几何分析：连接OA，则OAPA，利用切割线定理，求出PO，OA，即可求出PAB解答：解：连接OA，则OAPAPA是圆O的切线，PA2=PBPC，PA=，PB=1，PC=3，PO=2，OA
20、=1，sinPAB=，PAB=30故答案为：30点评：本题考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题15（5分）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（为参数）求点M到曲线C上的点的距离的最小值5考点：简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程 专题：计算题分析：利用x=cos，y=sin即可把点M的坐标化为直角坐标，进而即可求出直线OM的方程；再把曲线C的参数方程化为化为普通方程，再利用|MA|r即可求出最小值解答：解：由曲线C的参数方程（为参数），化成普通方程为：（x1）2+y2=2，圆心为A（1，0），半径为r=，由于点
21、M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最小值为|MA|故答案为：5点评：充分利用极坐标与普通方程的互化公式及点M到曲线（圆）C上的点的距离的最小值为|MA|r是解题的关键16若关于x的不等式a|x+1|x2|存在实数解，则实数a的取值范围是3，+）考点：绝对值不等式的解法 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：由于|x+1|x2|（x+1）（x2）|=3，即有3|x+1|x2|3，由存在性问题的结论，则a3解答：解：由于|x+1|x2|（x+1）（x2）|=3，即有3|x+1|x2|3，由于关于x的不等式a|x+1|x2|存在实数解，则a3故答案为：3，+）点评：本题考查绝对值不等式的性质
22、，考查存在性问题，注意转化为求函数的最值，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程17（13分）等差数列an的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数（1）求此数列的公差d；（2）当前n项和Sn是正数时，求n的最大值考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由a60，a70且公差dZ，可求出d的值；（2）由前n项和Sn0，以及nN*，求出n的最大值解答：解：（1）由题意，得a6=a1+5d=23+5d0，a7=a1+6d=23+6d0，d，又dZ，d=4；（2）前n项和Sn=23n+（4）0，
23、整理，得n（504n）0；0n，又nN*，n的最大值为12点评：本题考查了等差数列的有关运算问题，解题时应根据等差数列的性质与通项公式、前n项和，进行计算，即可得出正确的答案，是基础题18（13分）如图为函数y=Asin（x+）（A，0，|）图象的一段（1）求其解析式；（2）若将y=Asin（x+）的图象向左平移个单位长度后得y=f（x），求f（x）的对称轴方程考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式（2）由条件根据函数y=Asi
24、n（x+）的图象变换规律，利用正弦函数的对称性，求得f（x）的对称轴方程解答：解：（1）由图象可得A=，T=，=2再根据五点法作图可得 2+=0，=，故函数的解析式为 y=sin（2x）（2）把 y=sin（2x）的图象向左平移个单位长度后得y=f（x）=sin2（x+）=sin（2x）的图象，令 2x=k+，kz，求得 x=+，故f（x）的对称轴方程为：x=+，kz点评：本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，正弦函数的对称性，属于基础题19（13分）已知函数f（x）=alnxbx2图象上一点P（2，f（2）处的切线方程为y=3x+2ln2+2（1）求a，b的值；（2）若方
25、程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底）考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义 专题：计算题分析：（1）对函数f（x）进行求导，根据f（2）=3得到关于a、b的关系式，再将x=2代入切线方程得到f（2）的值从而求出答案（2）由（1）确定函数f（x）的解析式，进而表示出函数h（x）后对其求导，根据单调性与其极值点确定关系式得到答案解答：解（1），f（2）=aln24b，且aln24b=6+2ln2+2解得a=2，b=1（2）f（x）=2lnxx2，令h（x）=f（x）+m=2lnxx2+m，则，令h（x）=0，得x=1（x=1舍去）在内，当x时，h（x
26、）0，h（x）是增函数；当x（1，e时，h（x）0，h（x）是减函数则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是即1m点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减20（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）+m，（mR），在区间0，内最大值为，（1）求实数m的值；（2）在ABC中，三内角A、B、C所对边分别为a，b，c，且，求b的取值范围考点：正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值分析：（1）利用函数的解析式通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数的解析式，通过正弦函数的
27、最值，求实数m的值；（2）利用，求出B的值，通过a+c=2以及正弦定理，直接求b的表达式，通过A的范围集合正弦函数的值的范围，求解b取值范围解答：解：（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）+m=2cosxsinx+2cos2x+m=sin2x+cos2x+m+1=+m+1，当x0，时，最大值为，在区间0，内函数的最大值为，m=1（2），（0B）解得由正弦定理得：，（当时取最大值）1b2，（当ABC为正三角形时，b=1）点评：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，正弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力21（12分）已知点H（3，0），点P在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在
28、PQ上，且满足=0，=（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹方程C；（2）给定圆N：x2+y2=2x，过圆心N作直线l，此直线与圆N和（1）中的轨迹C共有四个交点，自上而下顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l的方程考点：轨迹方程；圆与圆锥曲线的综合 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设M（x，y），P（0，y），Q（x，0），利用已知条件，转化为坐标运算表达式，求出，消去y，x可得轨迹方程（2）求出圆N的直径|BC|=2，圆心N（1，0），设l的方程为x=my+1代入（1）得y24my4=0，设A（x1，y1），D（x2，y2）利用
29、韦达定理，求出弦长，通过线段AB，BC，CD成一个等差数列，求出变量m，j即可得到直线l的方程解答：解：（1）设M（x，y），P（0，y），Q（x，0），（3，y）（x，yy）=0，代入3x+yyy2=0，整理得y2=4x（x0）（2）圆N：（x1）2+y2=1，直径|BC|=2，圆心N（1，0），设l的方程为x=my+1代入y2=4x（x0），得y24my4=0，设A（x1，y1），D（x2，y2）则，因为线段AB，BC，CD成一个等差数列，2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|BC|，所以直线l的方程为点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，等差数列的应用，考查计算能力以及转化
30、思想22（12分）已知数列an满足：an+1=，a1=2，bn=（1）求bn的通项公式；（2）求证：当n3时，b1+b2+bn考点：数列与不等式的综合；数列递推式 专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列；二项式定理分析：（1）求出bn+1，因式分解，得到bn+1=bn3，两边取3为底的对数，得到等比数列，由等比数列的通项公式，即可得到bn；（2）运用二项式定理，得到当n3，3n1=（1+2）n1=2n，再由指数函数的单调性，运用等比数列的求和公式，即可得证解答：（1）解：由于an+1=，bn=，则bn+1=（）3=bn3，由于b1=，则log3bn+1=log3bn3=3log3bn，即有log3bn为等比数列，即有log3bn=log33n1，即有bn=（）3n1；（2）证明：当n3，3n1=（1+2）n1=2n，则bn=（）3n1（）2n（n3），故当n3时，b1+b2+bn+（）6+（）2n=+=即原不等式成立点评：本题考查数列通项公式的求法，考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查二项式定理及其运用，属于中档题
