1、第1课时圆锥曲线中的范围、最值问题A组基础题组1.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是坐标原点,则|AF|BF|的最小值是()A.2B.2C.4D.22答案C设直线AB的倾斜角为,可得|AF|=21-cos,|BF|=21+cos,则|AF|BF|=21-cos21+cos=4sin24,当=90时取得等号.2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F且斜率为43的直线交抛物线于A,B两点,若AF=FB(1),则的值为.答案4解析根据题意设A(x1,y1),B(x2,y2),由AF=FB,得p2-x1,-y1=x2-p2,y2,故-y1=y2,即=-y1y2.设直线AB的方
2、程为y=43x-p2,联立直线方程与抛物线方程,消元得y2-32py-p2=0.故y1+y2=32p,y1y2=-p2,(y1+y2)2y1y2=y1y2+y2y1+2=-94,即-1+2=-94.又1,故=4.3.已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(ab0)的焦距为4且过点(2,-2).(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E,F,求OEOF的取值范围.解析(1)由题意知椭圆的焦点坐标是(0,-2),(0,2),2a=2+0+2+16=42,所以a=22,b=2,所以椭圆C的方程是y28+x24=1.(2)若直线l垂直于x轴,令E(0,22),F(0,-22),则O
3、EOF=-8.若直线l不垂直于x轴,不妨设l过该椭圆的上焦点,则l的方程为y=kx+2,E(x1,y1),F(x2,y2).将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2+k2)x2+4kx-4=0,则x1+x2=-4k2+k2,x1x2=-42+k2,所以OEOF=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=-4-4k22+k2+-8k22+k2+4=202+k2-8.因为0202+k210,所以-8b0)的左,右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与直线ax+2by-3ab=0相切.(1)求椭圆C的离心率e;(2)如图,过F1作直线l与椭圆分别交于P,Q两点,若PQF2
4、的周长为42,求F2PF2Q的最大值.解析(1)由题意知|-3ab|a2+4b2=c,则3a2b2=c2(a2+4b2),即3a2(a2-c2)=c2a2+4(a2-c2),所以a2=2c2,所以e=22.(2)因为PQF2的周长为42,所以4a=42,即a=2.由(1)知b2=c2=1,故椭圆方程为x22+y2=1,且焦点为F1(-1,0),F2(1,0).若直线l的斜率不存在,则lx轴,故直线方程为x=-1,P-1,22,Q-1,-22,F2P=-2,22,F2Q=-2,-22,故F2PF2Q=72.若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+1),由y=k(x+1),x2+2y2=2
5、消去y,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.因为F2PF2Q=(x1-1,y1)(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2,所以F2PF2Q=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1,所以F2PF2Q=(k2+1)2k2-22k2+1+(k2-1)-4k22k2+1+k2+1=7k2-12k2+1=72-92(2k2+1).令t=2(2k2+1)(t2),则F2PF2Q=72-9t(t2),所以F2PF2Q-1,72.结合,得F2PF2Q-1,72,
6、所以F2PF2Q的最大值是72.2.(2018惠州第二次调研)已知C为圆(x+1)2+y2=8的圆心,P是圆上的动点,点Q在圆的半径CP上,且有点A(1,0)和AP上的点M,满足MQAP=0,AP=2AM.(1)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程;(2)若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切,与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F,H,O是坐标原点,且34OFOH45,求k的取值范围.解析(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线,所以|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=22|CA|=2,所以点Q的轨迹是以点C,A为焦点,焦距为2,长轴长为22的椭圆,所以a=2,c=1,b=
7、a2-c2=1,故点Q的轨迹方程是x22+y2=1.(2)设直线l:y=kx+t,F(x1,y1),H(x2,y2),直线l与圆x2+y2=1相切|t|k2+1=1t2=k2+1.联立,得x22+y2=1,y=kx+t(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-2)=8(2k2-t2+1)=8k20k0,x1+x2=-4kt1+2k2,x1x2=2t2-21+2k2,所以OFOH=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=(1+k2)(2t2-2)1+2k2+kt-4kt1+2k2+t2=(1+k2)2k21+2k2-4k2(k2+1)1+2k2+k2+1=1+k21+2k2,所以341+k21+2k24513k21233|k|22,所以-22k-33或33k22.故k的取值范围是-22,-3333,22.
