1、第3讲平面向量【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的概念及线性运算2、5平面向量的坐标运算1、6、13平面向量的数量积及应用3、7、8、11、12、14、15、16平面向量的综合应用4、9、10、17一、选择题1.(2013高考陕西卷)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若ab,则实数m等于(C)(A)- (B)(C)-或 (D)0解析:由ab,得m2-2=0,解得m=.故选C.2.(2013杭州市七校联考)给出下列命题:(1)若ab,bc,则ac;(2)有向线段就是向量,向量就是有向线段;(3)零向量的方向是任意的,零向量与任一向量共线;(4)a2=|a|2.其中正确的命题个数为(C)
2、(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:(1)取b=0,不一定有ac,故(1)不正确;(2)由概念知(2)错.(3)正确.(4)正确.故选C.3.(2013青岛一模)若e1,e2是夹角为的单位向量,且a=-2e1-e2,b=3e1-2e2,则ab等于(C)(A)1(B)-4 (C)- (D)解析:ab=(-2e1-e2)(3e1-2e2)=-6+e1e2+2=-6+2=-,故选C.4.(2014杭州二中一模)在平面上给定边长为1的正OAB.动点C满足=+,且2+2=1,则点C的轨迹是(B)(A)线段(B)圆(C)椭圆(D)双曲线解析:=(+)2=2+2+2=2+2cos 60+2=2+2
3、=1,所以|=1,点C的轨迹是以O为圆心,1为半径的圆.故选B.5.(2014浙江省“六市六校”联考)若|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为(B)(A)(B)(C)(D)解析:由向量加减法的几何意义知a与b垂直,a+b与a-b分别表示以a,b为邻边的矩形的对角线表示的向量,且矩形的对角线的长等于|a|的2倍,结合图形(图略)分析.故选B.6.(2013浙江省领航冲刺卷)已知点A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,3),则向量在向量上的投影为(D)(A)-(B)-(C) (D)0解析:由题意,=(2,2),=(-1,1),=0,向量在向量上的投影为0.故选D
4、.7.设点G是ABC的重心,若A=120,=-1,则|的最小值是(B)(A)(B)(C)(D)解析:由已知得|cos 120=-1,所以|=2,又因为G是重心,所以=(M为BC的中点),又=(+),所以=(+).于是|2=(|2+|2+2)=(|2+|2-2)(2|-2)=,(当且仅当|=|时取等号)从而|,即|的最小值是,故选B.8.(2014浙江高考冲刺卷)已知正三角形ABC的顶点A(,1),B(3,1),顶点C在第一象限,若点M(x,y)在ABC的内部或边界,则z= 取最大值时,3x2+y2有(C)(A)定值52(B)定值82(C)最小值52(D)最小值50解析:由题意得C(2,4),因
5、为z=x+y,而kBC=-,所以z= 取最大值时,点M在BC上,即点M(x,y)的坐标满足x+y=10(2x3),所以y=10-x(2x3),s=3x2+y2=3x2+(10-x)2=6x2-20x+100,对称轴x=,所以s=f(x)在2,3上单调递增,因此当x=2时s有最小值52.故选C.9.(2013高考重庆卷)在平面上,|=|=1,=+.若|,则|的取值范围是(D)(A)(0, (B)(,(C)(, (D)(,解析:,=(-)(-)=-+=0,-=-.=+,-=-+-,=+-.|=|=1,=1+1+2(-)=2+2(-)=2-,|,0|2,02-,2,即|(,.故选D.10.(2014
6、高考安徽卷)设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成,若x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为()(A)(B)(C)(D)0解析:x1y1+x2y2+x3y3+x4y4有以下三种可能:(1)2aa+2bb=2|a|2+2|b|2=10|a|2;(2)4ab=4|a|2|a|cos =8|a|2cos ;(3)|a|2+2ab+|b|2=5|a|2+4|a|2cos ,因此(2)最小,则8|a|2cos =4|a|2,解得cos =,所以=,故选B.二、填空题11.(
7、2014杭州二中一模)若b=(1,1),ab=2,|a-b|=,则|a|=.解析:|a|2+|b|2-2ab=7,|a|2=7+4-2=9,|a|=3.答案:312.(2013高考新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=.解析:=(+)(-)=|2-|2=22-0-22=2.答案:213.(2013浙江高考模拟卷)设a=(2,4),b=(1,1),若b(a+mb),则实数m=.解析:b(a+mb),b(a+mb)=0,a+mb=(2+m,4+m),2+m+4+m=0,m=-3.答案:-314.已知a,b均为单位向量,且它们的夹角为60,当|a+b|(R)取最小值时,=.
8、解析:由题意可得ab=,由于|a+b|=,故当=-时,即|a+b|取得最小值.答案:-15.已知a是平面内的单位向量,若向量b满足b(a-b)=0,则|b|的取值范围是.解析:如图,设=a,=b,则=a-b.由于b(a-b)=0,故有OBBA,即点B始终在以OA为直径的圆上.而|=|a|=1,所以当B点与A点重合时,|b|取最大值1;当B点与O点重合时,|b|取最小值0,|b|的取值范围是0,1.答案:0,116.(2014浙江高考冲刺卷)已知向量a,b满足|2a+3b|=1,则ab的最大值为.解析:法一因为ab=-=-,当且仅当2a=3b,|a|=时,上式等号成立.法二由|2a+3b|=1,得1=4|a|2+9|b|2+12ab22|a|3|b|+12ab=12|a|b|+12ab12ab+12ab,所以ab,当且仅当2a=3b,|a|=时取等号.答案:17.(2014杭州二中月考)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,若两定点A,B满足|=|=2,则点集P|=+,|+|2,R所表示的区域的面积是.解析:作=2,=2,=-2,=-2,则题中点集表示的区域为四边形CDEF,由|=|=2得AOB=60,DOE=120,OC=4,所以S四边形CDEF=4SCOD=16.答案:16
