1、重庆七中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1（5分）复数z1=2+i，z2=1i，则z1z2在复平面内的对应点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）在等差数列an中，2（a1+a3+a5）+3（a7+a9）=54，则此数列前10项的和S10=（）A45B60C75D903（5分）函数的图象关于点（x0，0）对称，若，则x0等于（）ABCD4（5分）已知函数f（x）=（xa）（xb）（其中ab）的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象是（）ABCD5（5分）下列命题正确的个数是（）命题“x0R，x02+13x0”
2、的否定是“xR，x2+13x”；“函数f（x）=cos2axsin2ax的最小正周期为”是“a=1”的必要不充分条件；x2+2xax在x1，2上恒成立（x2+2x）min（ax）max在x1，2上恒成立；“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“0”A1B2C3D46（5分）如图给出的是计算1+的值的一个程序框图，则判断框内应填人的条件是（）Ai1006Bi1006Ci1007Di10077（5分）已知函数f（x）=x3+ax与g（x）=2x2+b的图象在x=1处有相同的切线，则a+b=（）A1B0C1D28（5分）已知各项均为正数的等比数列的最小值为（）A2B3C4D59（5分）已知ABC
3、中，D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G，其中，0，SABC=1，则SGMN的取值范围是（）A（0，）B（）C（）D（0，）10（5分）函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意xC（CA）有x+tA，且f（x+t）f（x），则称f（x）为C上的t度低调函数已知定义域为0，+）的函数f（x）=|mx3|，且f（x）为0，+）上的6度低调函数，那么实数m的取值范围是（）A0，1B1，+）C（，0）D（，01，+）二、填空题本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上11（5分）已知A=xN|x5，B=xN|x1，则AB=12（5分）
4、已知向量，若，则=13（5分）计算：=考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14（5分）如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，ADPD若PC=4，PB=2，则CD=15（5分）直线（t为参数）被曲线=cos（+）所截的弦长16若关于x的不等式|x+1|2|x|+a有实数解，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17（13分）设公差不为0的等差数列an的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足，nN*，求bn的
5、前n项和Tn18（13分）已知cos2=，（1）求tan的值； （2）求的值19（13分）休假次数0123人数5102015某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：根据上表信息解答以下问题：（1）从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x2x1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；（2）从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E20（12分）已知向量=（，sinx+cosx）与（1，y）共线，设函数y=f（x）（1）求函数f（x）的周期及最大值；（2
6、）已知ABC中的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f（A）=，且a=7，sinB+sinC=，求ABC的面积21（12分）已知函数（1）若函数为奇函数，求a的值；（2）若mR，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，求k的取值范围；（3）若a1，求f（x）在区间0，1上的最大值22（12分）定义数列如下：a1=2，an+1=an2an+1，nN*证明：（）对于nN*，恒有an1成立；（）当n2且nN*，有an+1=anan1a2a1+1成立；（）11重庆七中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
7、1（5分）复数z1=2+i，z2=1i，则z1z2在复平面内的对应点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 分析：直接计算，化简即可解答：解：z1z2=（2+i）（1i）=3i，则z1z2在复平面内的对应点位于第四象限故选D点评：本题考查复数代数表示法及其几何意义，是基础题2（5分）在等差数列an中，2（a1+a3+a5）+3（a7+a9）=54，则此数列前10项的和S10=（）A45B60C75D90考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列的通项公式、性质和前n项和公式即可得出解答：解
8、：设等差数列an的公差为d，2（a1+a3+a5）+3（a7+a9）=54，2（3a1+6d）+3（2a1+14d）=54，2a1+9d=9，a6+a5=9=5（a6+a5）=59=45故选A点评：本题考查了等差数列的通项公式、性质和前n项和公式，属于基础题3（5分）函数的图象关于点（x0，0）对称，若，则x0等于（）ABCD考点：正弦函数的对称性 专题：三角函数的图像与性质分析：求出函数的对称中心，结合，求出x0的值解答：解：由于函数的图象关于点P（x0，0）成中心对称，所以2x+=k，kZ；所以x=，kZ，因为，所以x0=；故选：B点评：本题是基础题，考查三角函数的对称性，对称中心的求法，
9、注意范围的应用，考查计算能力4（5分）已知函数f（x）=（xa）（xb）（其中ab）的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象是（）ABCD考点：指数函数的图像变换 专题：数形结合分析：由已知中函数f（x）=（xa）（xb）（其中ab）的图象，我们易判断出a，b与0，1的关系，根据指数函数的图象的性质及指数函数图象的平移变换，我们分析四个答案中函数的图象，即可得到结论解答：解：由已知中函数f（x）=（xa）（xb）（其中ab）的图象可得b10a1则函数g（x）=ax+b为减函数，即函数的图象从左到右是下降的且与Y轴的交点在X轴下方分析四个答案只有A符合故选A点评：本题考查的知识点是指数函数
10、的图象变换，其中根据已知判断出a，b与0，1的关系，进而分析出函数图象的单调性及特殊点是解答本题的关键5（5分）下列命题正确的个数是（）命题“x0R，x02+13x0”的否定是“xR，x2+13x”；“函数f（x）=cos2axsin2ax的最小正周期为”是“a=1”的必要不充分条件；x2+2xax在x1，2上恒成立（x2+2x）min（ax）max在x1，2上恒成立；“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“0”A1B2C3D4考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：（1）根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确；（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期判断；（3）用特例法验
11、证（3）是否正确；（4）根据向量夹角为时，向量的数量积小于0，来判断（4）是否正确解答：解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，（1）正确；（2）f（x）=cos2axsin2ax=cos2ax，最小正周期是=a=1，（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x2x在x1，2上恒成立，而（x2+2x）min=32xmax=4，（3）不正确；（4），当=时，0（4）错误正确的命题是（1）（2）故选：B点评：本题借助考查命题的真假判断，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题6（5分）如图给出的是计算1+的值的一个程序框图，则判断框内应填人的条件是（）Ai1006Bi1006
12、Ci1007Di1007考点：程序框图 专题：计算题；算法和程序框图分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值解答：解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一次循环：S=0+1，i=1，第二次循环：S=1+，i=2，第三次循环：S=1+，i=3，依此类推，第1007次循环：S=1+，i=1007，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i1007，故选：C点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的
13、概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误7（5分）已知函数f（x）=x3+ax与g（x）=2x2+b的图象在x=1处有相同的切线，则a+b=（）A1B0C1D2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题分析：根据题意，把x=1分别代入到f（x）和g（x）中，得到的函数值相等得到关于a与b的方程，分别求出f（x）和g（x）的导函数，把x=1代入导函数中，得到的导函数值相等又得到关于a与b的另一个方程，两方程联立即可求出a与b的值；解答：解：f（x）=3x2+a，g（x）=4x，由条件知 ，a+b=1故选C点评：题考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程，要求学生掌握
14、求导法则，属于基础题8（5分）已知各项均为正数的等比数列的最小值为（）A2B3C4D5考点：等比数列的通项公式；基本不等式 专题：计算题分析：根据所给的等比数列的三项之间的关系，写出关于q的一元二次方程，解出方程，舍去不合题意的解，根据mn项之间的关系，得到mn之积，利用基本不等式写出要求的结果解答：解：a7=a6+2a5q2q2=0，q=2，q=1（舍去）anam=a2a2m+n=4=4故选C点评：本题考查基本不等式，是一个基础题，本题解题的关键是写出mn之间的关系，后面再进行基本不等式的变形整理9（5分）已知ABC中，D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G，其中，0，SABC=
15、1，则SGMN的取值范围是（）A（0，）B（）C（）D（0，）考点：向量数乘的运算及其几何意义；线段的定比分点 专题：计算题分析：根据D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G可得G为重心利用重心的性质可求出再根据SABC=1可求出再结合条件可得出从而可求出下面只需求出t的范围即可而，且，0可知M不可能与E重合所以0t即可求出SGMN的取值范围解答：解：D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点GG为三角形ABC的重心过G作GFBC于F，AHBC于H则RtGDERtADFSABC=1MNBD且，其中，0M不可能与E重合MNBD0t，0t200SGMN故选D点评：本题主要考查了向量
16、的数乘以及向量的几何意义解题的关键是根据重心的性质结合SABC=1和求出，但根据，且，0可知M不可能与E重合求出0t则是最为重要的！10（5分）函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意xC（CA）有x+tA，且f（x+t）f（x），则称f（x）为C上的t度低调函数已知定义域为0，+）的函数f（x）=|mx3|，且f（x）为0，+）上的6度低调函数，那么实数m的取值范围是（）A0，1B1，+）C（，0）D（，01，+）考点：函数与方程的综合运用 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：根据低调函数定义，函数f（x）=|mx3|，且f（x）为0，+）上的6度低调函数可转化为|m（x+
17、6）3|mx3|在0，+）上恒成立，从而可得结论解答：解：根据题意，|m（x+6）3|mx3|在0，+）上恒成立m（x+6）3mx+3或，m（x+6）3mx3在0，+）上恒成立m1或m0故选D点评：本题考查对题中新定义的正确理解，考查不等式恒成立问题，正确转化是关键二、填空题本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上11（5分）已知A=xN|x5，B=xN|x1，则AB=2，3，4，5考点：交集及其运算 专题：函数的性质及应用分析：本题可以先求出A、B的交集，注意到条件xN，得到本题结论解答：解：A=xN|x5，B=xN|x1，AB=xN|1x5=2，3，
18、4，5故答案为：2，3，4，5点评：本题考查了集合的交集运算，本题难度不大，属于基础题12（5分）已知向量，若，则=考点：平面向量数量积的运算；向量的模 专题：平面向量及应用分析：利用斜率的垂直求出x，得到向量，然后求模即可解答：解：向量，若，x=4，=故答案为：点评：本题考查斜率的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力13（5分）计算：=4考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数 分析：由题设，可根据特殊角的使用，巧妙解决问题解答：解：=4故答案为4点评：本题主要考查倍角公式的应用此类题往往与三角函数中其他常用公式如诱导公式、两角和公式等一块考查应注意灵活掌握考
19、生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14（5分）如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，ADPD若PC=4，PB=2，则CD=考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；直线与圆分析：由PD与半圆O相切于点C及切割线定理得PC2=PBPA，OCPD再利用ADPD得到OCAD利用平行线分线段成比例即可得出解答：解：设圆的半径为R连接OCPD与半圆O相切于点C，PC2=PBPA，OCPDPC=4，PB=2，42=2（2+2R），解得R=3又ADPD，OCAD，解得CD=故答案为点评：熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、平行
20、线分线段成比例定理是解题的关键15（5分）直线（t为参数）被曲线=cos（+）所截的弦长考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程 专题：选作题；坐标系和参数方程分析：先将极坐标方程两边同乘以后化成直角坐标方程，将直线l的参数方程化成普通方程，再求直线l被曲线C截得的弦长解答：解：曲线C的极坐标方程为=cos（+），直角坐标方程是：（x）2+（y+）2=，直线l的普通方程是：3x+4y+1=0，圆心到直线的距离为=，则直线l被曲线C截得的弦长为2=故答案为：点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及直线的参数方程等知识，属于基础题16若关于x的不等式|x+1|2|x|+a有实数解，则实数a
21、的取值范围是（，1考点：绝对值不等式的解法 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：设f（x）=2|x|x+1|，通过对自变量x的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，转化为分段函数，求出最小值，令a不大于最小值，即可得到答案解答：解：由于关于x的不等式|x+1|2|x|+a有实数解，则有a2|x|x+1|有实数解设f（x）=2|x|x+1|，则f（x）=，则有x0时，f（x）1；当1x0时，1f（x）2；当x1时，f（x）2则f（x）的值域为1，+）则有a1，即有a1则实数a的取值范围是（，1故答案为：（，1点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查构造函数思想与分类讨论思想、数形结合思想的综合应用
22、，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17（13分）设公差不为0的等差数列an的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足，nN*，求bn的前n项和Tn考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（）设等差数列an的公差为d（d0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得an；（）由条件可知，n2时，=1（1）=，再由（）可求得bn，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得Tn；解答：解：（）设等差数列an的公差为d
23、（d0），a2，a5，a14构成等比数列，=a2a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=0（舍去），或d=2an=1+（n1）2=2n1（）由已知，nN*，当n=1时，=；当n2时，=1（1）=，nN*由（），知an=2n1，nN*，bn=，nN*又Tn=+，则Tn=+两式相减，得Tn=+（+）=，Tn=3点评：本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和，属中档题18（13分）已知cos2=，（1）求tan的值； （2）求的值考点：三角函数的恒等变换及化简求值 专题：计算题分析：（1）利用二倍角公式及三角函数的平方关系将cos2=，化为，分子、分母同时除以余弦
24、的平方得到，解方程求出tan的值；（2）由（1），利用同角三角函数的关系求出，利用二倍角公式及和角公式化简为，将正弦、余弦值代入即可得到答案解答：解：（1）因为cos2=，所以，所以解得因为，所以（2）=，因为，所以，所以=点评：本题考查利用三角函数的公式化简三角函数式，在化简中要注意1的灵活代替，利用同角三角函数的平方关系时，要注意角的范围19（13分）休假次数0123人数5102015某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：根据上表信息解答以下问题：（1）从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x2x1在区间（4，6）上
25、有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；（2）从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E考点：离散型随机变量的期望与方差；函数的零点；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列 专题：计算题分析：（1）由题意有函数f（x）=x2x1在区间（4，6）上有且只有一个零点，进行等价转化为不等式组解出，在有互斥事件有一个发生的概率公式求解即可；（2）由题意利用表示这两人休年假次数之差的绝对值，利用随机变量的定义及随机变量分布列的定义列出随机变量的分布列，在利用随机变量期望的定义求出其期望解答：解：（1）函数f（x）=x2x1过（0，1）点，
26、在区间（4，6）上有且只有一个零点，则必有，解得：，所以，=4或=5当=4时，当=5时，又=4与=5 为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，所以；（2）从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，则的可能取值分别是0，1，2，3，于是=，从而的分布列：0123P的数学期望：点评：此题考查了学生对于题意的理解能力及计算能力，还考查了互斥事件一个发生的概率公式及离散型随机变量的定义及其分布列和期望的定义与计算20（12分）已知向量=（，sinx+cosx）与（1，y）共线，设函数y=f（x）（1）求函数f（x）的周期及最大值；（2）已知ABC中的三个内角A、B、C所对的边分别为
27、a，b，c，若锐角A满足f（A）=，且a=7，sinB+sinC=，求ABC的面积考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）向量向量平行以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，通过三角函数的周期公式求解函数f（x）的周期及最大值；（2）通过f（A）=，求出A，利用a=7，以及正弦定理化简sinB+sinC=，求出b+c，利用余弦定理推出bc关系，求出bc，然后求ABC的面积解答：解：（1）向量=（，sinx+cosx）与（1，y）共线，（2分）则y=f（x）=2sin（x+），f（x）的周期
28、T=2，（4分）当时，fmax（x）=2（6分）（2），（7分），由正弦定理，得得，即，b+c=13（9分）由余弦定理a2=b2+c22bccosA得a2=（b+c）22bc2bccosA，即49=1693bc，bc=40（11分）（12分）点评：本题考查最新的以及余弦定理的应用，向量的平行以及两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力21（12分）已知函数（1）若函数为奇函数，求a的值；（2）若mR，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，求k的取值范围；（3）若a1，求f（x）在区间0，1上的最大值考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线
29、方程 专题：导数的综合应用分析：（1）求函数f（x），利用h（x）是奇函数，建立方程关系进行求解（2）将条件直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，转化为k不在导函数值域范围内（3）利用导数求f（x）在区间0，1上的最大值解答：解：（1）f（x）=x2（2a+1）x+（a2+a），h（x）为奇函数，f（x）=x2（2a+1）x+（a2+a）为偶函数，即2a+1=0，解得（2）若mR，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，即k不在导函数值域范围内，对xR成立，只要f（x）的最小值大于k即可，k的范围为（3）a1，a+10，当a1时，f（x）0对x0，1成立，当x=1时，f（x）取得
30、最大值；当0a1时，在x（0，a），f（x）0，f（x）单调递增，在x（a，1）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x=a时，f（x）取得最大值；当a=0时，在x（0，1），f（x）0，f（x）单调递减，当x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0；当1a0时，在x（0，a+1），f（x）0，f（x）单调递减，在x（a+1，1），f（x）0，f（x）单调递增，又f（0）=0，当时，f（x）在x=1取得最大值；当时，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0；当时，f（x）在x=0，x=1处都取得最大值0综上所述，当a1或时，f（x）在x=1取得最大值；当0a1时，f（x）取得最大值；当时，f（x）在
31、x=0，x=1处都取得最大值0；当时，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数在研究函数中的应用，综合性较强，运算量较大22（12分）定义数列如下：a1=2，an+1=an2an+1，nN*证明：（）对于nN*，恒有an1成立；（）当n2且nN*，有an+1=anan1a2a1+1成立；（）11考点：数列的求和；数列的函数特性 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（）利用数学归纳法、二次函数的性质进行证明结论成立；（）由an+1=an2an+1得an+11=an（an1），即当n2时，an1=an1（an1），再给
32、n=2、3、n列出式子，由迭代法进行证明结论成立；（）由得，利用裂项相消法化简后可证明右边，由题意得an+1an=an2an+1an=（an1）20，判断出数列是递增数列，由（）的结论化简，再进行适当的放缩可证明左边解答：证明：（）当n=1时，a1=21成立，当k2时，假设ak1成立，那么当n=k+1时，因为ak+1=ak2ak+1=在（1，+）递增，所以ak+11也成立，综上得，对于nN*，恒有an1成立；（）由an+1=an2an+1得，an+11=an（an1），当n2时，an1=an1（an1），则a21=a1（a11），a31=a2（a21），an+11=an（an1），由以上各式迭代得，an+11=anan1a2a1（a11），a1=2，an+1=anan1a2a1+1；（）an+1=an2an+1，且a1=2，an+1an=an2an+1an=（an1）20，即an+1an，则数列an是单调递增数列，=（）+（）+（）=11，由（）得，an+1=anan1a2a1+1，a20151=a2014a2013a2a1，1=，数列an是单调递增数列，且a1=2，综上得，11，原不等式得证点评：本题考查数学归纳法，迭代法，裂项相消法求数列的和，利用作差法：an+1an，判断出数列的单调性，以及利用放缩法证明不等式，综合性强，难度大，考查了较强的逻辑推理能力
