1、(三)立体几何专练1如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2的正方形，PABD.(1)求证：PBPD；(2)若 E，F 分别为 PC，AB 的中点，EF平面 PCD，求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小2如图，矩形 CDEF 和梯形 ABCD 互相垂直，BADADC90，ABAD12CD，BEDF.(1)若 M 为 EA 的中点，求证：AC平面 MDF；(2)求平面 EAD 与平面 EBC 所成锐二面角的大小3如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，平面 ABB1A1 为矩形，ABBC1，AA1 2，D 为AA1 的中点，BD 与 AB1 交于点 O，BCAB1.
2、(1)证明：CDAB1;(2)若 OC 33，求二面角 A-BC-B1 的余弦值4在平面四边形 ACBD(图)中，ABC 与ABD 均为直角三角形且有公共斜边 AB，设AB2，BAD30，BAC45，将ABC 沿 AB 折起，构成如图所示的三棱锥 CABD，且使 CD 2.(1)求证：平面 CAB平面 DAB；(2)求二面角 A-CD-B 的余弦值答案1解：(1)证明：连接 AC，AC 与 BD 交于点 O，因为底面 ABCD 是正方形，所以 ACBD 且 O 为 BD 的中点，又 PABD，PAACA，所以 BD平面 PAC，由于 PO平面 PAC，故 BDPO，又 BODO，故 PBPD.
3、(2)设 PD 的中点为 Q，连接 AQ，EQ，EQ 綊12CDAF，所以 AFEQ 为平行四边形，EFAQ，因为 EF平面 PCD，所以 AQ平面 PCD，所以 AQPD，又 PD 的中点为 Q，所以 APAD 2.由 AQ平面 PCD，可得 AQCD，又 ADCD，AQADA，所以 CD平面 PAD，所以 CDPA，又 BDPA，所以 PA平面 ABCD.结合题意可知，AB，AP，AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，向量的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，Q0，22，22，D(0，2，0)，P(0，0，2
4、)，0，22，22，(2，0，2)，为平面 PCD 的一个法向量 设直线 PB 与平面 PCD 所成的角为，所以直线 PB 与平面 PCD 所成的角为6.2解：(1)证明：设 EC 与 DF 交于点 N，连接 MN.在矩形 CDEF 中，点 N 为 EC 的中点，因为 M 为 EA 的中点，所以 MNAC，又因为 AC平面 MDF，MN平面 MDF，所以 AC平面 MDF.(2)因为平面 CDEF平面 ABCD，平面 CDEF平面 ABCDCD，且 DE平面 CDEF，DECD，所以 DE平面 ABCD.以点 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 DAa，DEb，则 B(a，a，0
5、)，E(0，0，b)，C(0，2a，0)，F(0，2a，b)，(a，a，b)，(0，2a，b)，(a，a，0)，因为 BEDF，所以(a，a，b)(0，2a，b)b22a20，b 2a.设平面 EBC 的法向量 m(x，y，z)，可得到 m 的一个解为 m(1，1，2)，注意到平面 EAD 的一个法向量 n(0，1，0)，而 cosm，n mn|m|n|12，所以平面 EAD 与平面 EBC 所成锐二面角的大小为 60.3解：(1)证明：由ABB1 与DBA 相似，知 DBAB1，又 BCAB1，BDBCB，AB1平面 BDC，CD平面 BDC，CDAB1.(2)由于 OC 33，BC1，在A
6、BD 中，可得 OB 63，BOC 是直角三角形，BOCO.由(1)知 COAB1，则 CO平面 ABB1A1.以 O 为坐标原点，OA，OD，OC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 A33，0，0，B0，63，0，C0，0，33，B123 3，0，0，0，63，33，33，63，0，23 3，63，0，设平面 ABC，平面 BCB1 的法向量分别为 n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)，n1(2，1，2)，n2(1，2，2)，cosn1，n2n1n2|n1|n2|2 7035，又二面角 A-BC-B1 为钝二面角，二面角 A-BC-B1 的余弦值为2
7、 7035.4解：(1)证明：取 AB 的中点 O，连接 CO，DO，在 RtACB，RtADB 中，AB2，则 CODO1，CD 2，CO2DO2CD2，即 COOD，又 COAB，ABODO，AB，OD平面 ABD，CO平面 ABD，CO平面 ABC，平面 CAB平面 DAB.(2)以 O 为原点，AB，OC所在的直线分别为 y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，1，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，D32，12，0，(0，1，1)，(0，1，1)，32，12，1.设平面 ACD 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，即y1z10，32 x112y1z10，令 z11，则 y11，x1 3，n1(3，1，1)设平面 BCD 的法向量为 n2(x2，y2，z2)，则 即y2z20，32 x212y2z20，令 z21，则 y21，x2 33，n233，1，1，cos3 33（1）1113111311157310535，由图可知二面角A-CD-B 为钝角 二面角 A-CD-B 的余弦值为 10535.
