1、浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测试 数学(理科)试题 2015.01本试题卷分选择题和非选择题两部分全卷共4页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至4页满分150分,考试时间120分钟 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上 选择题部分(共50分)注意事项:1答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上 2每小题选出答案后,用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上 参考公式: 球的表面积公式 棱柱的体积公式 球的体积公式 其中表示棱柱的底面积,表示棱柱的高 棱台的体积公式 其
2、中R表示球的半径 棱锥的体积公式 其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积, h表示棱台的高 其中表示棱锥的底面积,表示棱锥的高 如果事件互斥,那么 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1已知,若集合中恰有个元素,则( )。A B C D2设是奇函数,则使的的取值范围是( )。 俯视图正(主)视图 8 5 5 8侧(左)视图 8 5 5(第3题图)A B C D3一个几何体的三视图及其尺寸(单位:)如图所示,则 该几何体的侧面积为( )。A BC D4在空间给出下面四个命题(其中、为不同的两条直线,、为不同的两个平面),/
3、/,/,/ ,/,/,/,/其中正确的命题个数有( )。A1个 B2个 C3个 D4个5已知,若的必要条件是,则 之间的关系是( )。A B C D6设满足约束条件,则取值范围是( )。A B C D7已知为的外心,若,且,则( )。A B C D8已知双曲线的左右焦点分别为,为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为,则双曲线离心率的取值范围是( )。A B C D9若,则的最小值是( )。A B C D10已知等差数列的公差不为,等比数列的公比是小于的正有理数。若,且是正整数,则等于( )。A B C D非选择题部分(共100分)注意事项:1用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在
4、试题卷上 2在答题纸上作图,可先使用2B铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分(第11题图)11阅读右侧程序框图,输出的结果的值为。12已知 是直角三角形的概率是。13已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切,则该球的表面 积为。14已知,则=。15已知中,且,则的取值范围是。16已知椭圆的中心在坐标原点,分别是椭圆的上下顶点,是椭圆的左顶点,是椭圆的左焦点,直线与相交于点。若椭圆的离心率为,则的正切值。17在等腰三角形中,在线段,(为常数,且),为定长,则的面积最大值为。三、解答题:本大题共5小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或
5、演算步骤18(本小题满分14分)xyAEBCOA(第18题图)如图,已知单位圆上有四点,分别设的面积为.(1)用表示;(2)求的最大值及取最大值时的值。19(本小题满分14分) 在中,角,的对边分别为,且。 (1)求角的值; (2)若角,边上的中线,求的面积。(第20题图)20(本小题满分15分)如图,在几何体中, 平面,平面,又,。 (1)求与平面所成角的正弦值; (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值。 21(本小题满分15分)(第21题图)已知椭圆的离心率为,且经过点。 过它的两个焦点,分别作直线与,交椭圆于两点,交椭圆于两点,且 (1)求椭圆的标准方程; (2)求四边形的面积的取值范
6、围。22(本小题满分14分)设数列的前项和为,已知,且,其中为常数。(1)证明:数列为等差数列; (2)证明:不等式对任何正整数都成立。浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测试 数学(理科)答案 2015.01一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 题号12345678910答案CADCADBDCA二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11 12 13 14 15 16 17三、解答题:本大题共5小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18(本小题满分14分)本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍
7、角公式、三角函数的性质等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。解:(1)根据三角函数的定义,知所以,所.又因为四边形OABC的面积,所以. (7分)(2)由(1)知.因为,所以,所以,所以的最大值为,此时的值为. (7分)19(本小题满分14分)本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分解:(1)因为,由正弦定理得, (2分)即=sin(A+C) (2分)因为BAC,所以sinB=sin(A+C),所以因为B(0,),所以sinB0,所以,因为,所以 (3分)(2)由(1)知,所以, (1分) 设,则,又 在AMC中,由余弦定理 得 即 解得x2
8、. (4分) 故 (2分)20(本小题满分15分)本题通过分层设计,考查了空间平行、垂直,以及线面成角等知识,考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 满分15分.解:过点作的垂线交于,以为原点, 分别以为轴建立空间上角坐标系。,又,则点到轴的距离为1,到轴的距离 为。则有,。 (4分) (1)设平面的法向量为, 则有,取,得,又,设与平面所成角为,则,故与平面所成角的正弦值为。 (5分) (2)设平面的法向量为, , 则有,取,得。 , 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值是。 (5分)21(本小题满分15分)本题主要考查椭圆的标准方程的求解,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考
9、查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。 解:(1)由,所以, (2分) 将点P的坐标代入椭圆方程得, (2分) 故所求椭圆方程为 (1分) (2)当与中有一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为0,此时四边形 的面积为, (2分) 若与的斜率都存在,设的斜率为,则的斜率为 直线的方程为, 设,联立, 消去整理得, (1) , , (1分) , (2) (1分) 注意到方程(1)的结构特征,或图形的对称性,可以用代替(2)中的, 得 , (2分) ,令, , , 综上可知,四边形面积的. (3分)22(本小题满分14分)本题主要考查等差数列的概念与求和公式、不等式等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。解:由已知,得,由,知,即解得. (4分)(1) 所以 -得 所以 -得 因为 所以 因为 所以 所以 , 又 所以数列为等差数列 (5分)(2) 由(1)可知,要证 只要证 ,因为 ,故只要证 ,即只要证 ,因为 所以命题得证 (5分)