1、浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测试 数学（理科）试题 2015.01本试题卷分选择题和非选择题两部分全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页满分150分，考试时间120分钟 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上 选择题部分（共50分）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上 2每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上 参考公式： 球的表面积公式 棱柱的体积公式 球的体积公式 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高 棱台的体积公式 其
2、中R表示球的半径 棱锥的体积公式 其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积， h表示棱台的高 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 如果事件互斥，那么 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1已知，若集合中恰有个元素，则（ ）。A B C D2设是奇函数，则使的的取值范围是（ ）。 俯视图正(主)视图 8 5 5 8侧(左)视图 8 5 5（第3题图）A B C D3一个几何体的三视图及其尺寸(单位：)如图所示，则 该几何体的侧面积为（ ）。A BC D4在空间给出下面四个命题(其中、为不同的两条直线,、为不同的两个平面),/
3、/,/,/ ,/,/,/,/其中正确的命题个数有（ ）。A1个 B2个 C3个 D4个5已知，若的必要条件是，则 之间的关系是（ ）。A B C D6设满足约束条件，则取值范围是（ ）。A B C D7已知为的外心，若，且，则（ ）。A B C D8已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（ ）。A B C D9若，则的最小值是（ ）。A B C D10已知等差数列的公差不为，等比数列的公比是小于的正有理数。若，且是正整数，则等于（ ）。A B C D非选择题部分（共100分）注意事项：1用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在
4、试题卷上 2在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分（第11题图）11阅读右侧程序框图,输出的结果的值为。12已知 是直角三角形的概率是。13已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面 积为。14已知，则=。15已知中，且，则的取值范围是。16已知椭圆的中心在坐标原点,分别是椭圆的上下顶点，是椭圆的左顶点，是椭圆的左焦点，直线与相交于点。若椭圆的离心率为，则的正切值。17在等腰三角形中，在线段，（为常数，且），为定长，则的面积最大值为。三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或
5、演算步骤18（本小题满分14分）xyAEBCOA（第18题图）如图，已知单位圆上有四点，分别设的面积为.（1）用表示；（2）求的最大值及取最大值时的值。19（本小题满分14分） 在中，角，的对边分别为，且。 （1）求角的值； （2）若角，边上的中线，求的面积。（第20题图）20（本小题满分15分）如图，在几何体中， 平面，平面，又，。 （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值。 21（本小题满分15分）（第21题图）已知椭圆的离心率为，且经过点。 过它的两个焦点，分别作直线与，交椭圆于两点，交椭圆于两点，且 （1）求椭圆的标准方程； （2）求四边形的面积的取值范
6、围。22（本小题满分14分）设数列的前项和为，已知，且，其中为常数。（1）证明：数列为等差数列； （2）证明：不等式对任何正整数都成立。浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测试 数学（理科）答案 2015.01一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号12345678910答案CADCADBDCA二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11 12 13 14 15 16 17三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（本小题满分14分）本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍
7、角公式、三角函数的性质等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。解：（1）根据三角函数的定义，知所以，所.又因为四边形OABC的面积，所以. （7分）（2）由（1）知.因为，所以，所以，所以的最大值为，此时的值为. （7分）19（本小题满分14分）本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分解：（1）因为，由正弦定理得， （2分）即=sin(A+C) （2分）因为BAC，所以sinB=sin(A+C)，所以因为B(0，)，所以sinB0，所以，因为，所以 （3分）（2）由（1）知，所以， （1分） 设，则，又 在AMC中，由余弦定理 得 即 解得x2
8、. （4分） 故 （2分）20（本小题满分15分）本题通过分层设计，考查了空间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 满分15分.解：过点作的垂线交于,以为原点, 分别以为轴建立空间上角坐标系。,又,则点到轴的距离为1,到轴的距离 为。则有,。 （4分） （1）设平面的法向量为， 则有，取，得，又，设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为。 （5分） （2）设平面的法向量为， ， 则有，取，得。 ， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值是。 （5分）21（本小题满分15分）本题主要考查椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考
9、查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。 解：（1）由，所以， （2分） 将点P的坐标代入椭圆方程得， （2分） 故所求椭圆方程为 （1分） （2）当与中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形 的面积为， （2分） 若与的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为 直线的方程为， 设，联立， 消去整理得， （1） ， ， （1分） ， （2） （1分） 注意到方程（1）的结构特征，或图形的对称性，可以用代替（2）中的， 得 ， （2分） ，令， ， ， 综上可知，四边形面积的. （3分）22（本小题满分14分）本题主要考查等差数列的概念与求和公式、不等式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。解：由已知，得，由，知，即解得. （4分）（1） 所以 -得 所以 -得 因为 所以 因为 所以 所以 ， 又 所以数列为等差数列 （5分）（2） 由（1）可知，要证 只要证 ，因为 ，故只要证 ，即只要证 ，因为 所以命题得证 （5分）