1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。模块素养检测(二)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.已知f(x)的定义域为R,f(x)的导函数f(x)的图像如图所示,则()A.f(x)在x=1处取得极小值B.f(x)在x=1处取得极大值C.f(x)是R上的增函数D.f(x)是(-,1)上的减函数,(1,+)上的增函数【解析】选C.由导函数f(x)的图像知,在R上f(x)0恒成立,故f(x)是R上的增函数.2.等比数列an的通
2、项公式为an=23n-1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的数列bn,那么162是新数列bn的()A.第5项B.第12项C.第13项D.第6项【解析】选C.162是数列an的第5项,则它是新数列bn的第5+(5-1)2=13项.3.在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,那么x+y+z的值为()2412xyzA.1B.2C.3D.4【解析】选B.由表格知,第三列为首项为4,公比为的等比数列,所以x=1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5,故第四列所成的等比数列的公比为,所以y=5=,同理z=6=,所以x+y+z=2.4.已知函数f的导函
3、数f的图像如图,则下列叙述正确的是()A.函数f在上单调递减B.函数f在x=-1处取得极大值C.函数f在x=-4处取得极值D.函数f只有一个极值点【解析】选D.由导函数的图像可得,当x2时,f2,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有()A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根【解析】选B.设f(x)=x3-ax2+1,则f(x)=x2-2ax=x(x-2a),当x(0,2)时,f(x)0,f(x)在(0,2)上为减函数,又f(0)f(2)=1=-4an,则Sm-Sn的最大值是()A.5B.10C.15D.20【解析】选B.依题意,Sm-Sn=an+1+an+2+am,所以要使Sm-S
4、n的值最大,则an+1+an+2+am包含所有的正项,令an=-n2+10n-210,得4n6,代入得Sm-Sn=a4+a5+a6=3+4+3=10.7.已知数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,Sn为其前n项和,则S60=()A.3 690B.1 830C.1 845D.3 660【解析】选B.因为an+1+(-1)nan=2n-1,所以a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,所以a1+a2+a3+a4=10.同理a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,所以a5+a6+a7+a8=26,同理可得a9+a10+a11+a12=42.由此可知,S4,S8-
5、S4,S12-S8,成等差数列,首项为10,公差为16,所以S60=1510+16=1 830.8.已知函数f(x)=把方程f(x)=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列an,则该数列的通项公式为()A.an=(nN*)B.an=n(n-1)(nN*)C.an=n-1(nN*)D.an=n-2(nN*)【解析】选C.令2x-1=x(x0),易得x=0.当0x1时,由已知得f(x-1)+1=x,即2x-1-1+1=2x-1=x,则x=1.当1x2时,由已知得f(x)=x,即f(x-1)+1=x,即f(x-2)+1+1=x,故2x-2+1=x,则x=2.因此,a1=0,a2=1,a3=2,结合各选
6、项可知该数列的通项公式为an=n-1(nN*).二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.数列an的前n项和为Sn,若数列an的各项按如下规律排列:,以下运算和结论正确的是()A.a24=B.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,是等比数列C.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,的前n项和为Tn=D.若存在正整数k,使Sk10;S20=-10,此时a20=,D正确.10.定义在(0,+)上的函数f(x)的导函数为f(x),
7、且(x+1)f(x)-f(x)5B.若f(1)=2,x1,则f(x)x2+x+C.f(3)-2f(1)7D.若f(1)=2,0xx2+x+【解析】选CD.设函数g(x)=,则g(x)=,因为(x+1)f(x)-f(x)x2+2x,所以g(x)g(2)g(3),整理得2f(2)-3f(1)5,f(3)-2f(1)7,故A错误,C正确.当0xg(1)=,即,即f(x)x2+x+.故D正确,从而B不正确.11.将n2个数排成n行n列的一个数阵,如图:a11a12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3nan1an2an3ann该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每
8、一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m0).已知a11=2,a13=a61+1,记这n2个数的和为S.下列结论正确的有()A.m=3B.a67=1737C.aij=3(i-1)3j-1D.S=n(3n+1)(3n-1)【解析】选ACD.由题意,该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列,且a11=2,a13=a61+1,可得a13=a11m2=2m2,a61=a11+5d=2+5m,所以2m2=2+5m+1,解得m=3或m=-(舍去),所以选项A是正确的;又由a67=a61m6=(2+53)36=1736,所以选项B不正确
9、;又由aij=ai1mj-1=(a11+(i-1)mmj-1=2+(i-1)33j-1=(3i-1)3j-1,所以选项C是正确的;又由这n2个数的和为S,则S=(a11+a12+a1n)+(a21+a22+a2n)+(an1+an2+ann)=+=(3n-1)=n(3n+1)(3n-1),所以选项D是正确的.12.设函数f(x)=,则下列说法正确的是()A.f(x)定义域是(0,+)B.x(0,1)时,f(x)图像位于x轴下方C.f(x)存在单调递增区间D.f(x)在区间(1,2)上有最大值【解析】选BC.由题意,函数f(x)=满足解得x0且x1,所以函数f(x)=的定义域为(0,1)(1,+
10、),所以A不正确;因为f(x)=,当x(0,1)时,ln x0,所以f(x)0在定义域上有解,所以函数f(x)存在单调递增区间,所以C是正确的;由g(x)=ln x-,得g(x)=+(x0),所以g(x)0,函数g(x)单调递增,且g(1)=-10,所以函数f(x)在(1,2)上先减后增,没有最大值,所以D不正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知函数y=xf(x)的图像如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:函数f(x)在区间(1,+)上是增函数;函数f(x)在区间(-1,1)上无单调性;函数f(x)在x=-处取得极大值
11、;函数f(x)在x=1处取得极小值.其中正确的说法有_.【解析】由题图知,当x(1,+)时,xf(x)0,于是f(x)0,故f(x)在区间(1,+)上是增函数,故正确;当x(-1,1)时,f(x)0,所以函数f(x)在区间(-1,1)上是减函数,错误,也错误;f(x)在区间(0,1)上是减函数,而在区间(1,+)上是增函数,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,故正确.答案:14.设曲线y=xn+1(nN*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则log2 015x1+log2 015x2+log2 015x2 014的值为_.【解析】因为y|x=1=n+1,所以切线方程为y-1=(
12、n+1)(x-1),令y=0,得x=1-=,即xn=.所以log2 015x1+log2 015x2+log2 015x2 014=log2 015(x1x2x2 014)=log2 015=log2 015=-1.答案:-115.在数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列,那么位于表中的第n行第n+1列的数是_.第1列第2列第3列第1行123第2行246第3行369【解析】由题中数表,知第n行中的项分别为n,2n,3n,组成一等差数列,设为an,则a1=n,d=2n-n=n,所以an+1=n+nn=n2+n,即第n行第n+1列的数是n2+n.答案:n2+n16.函数y=x2(x0)的图像在点
13、(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中kN*.若a1=16,则a1+a3+a5的值是_.【解析】因为y=2x,所以过点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak),又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),所以ak+1=ak,即数列ak是等比数列,首项a1=16,其公比q=,所以a3=4,a5=1,所以a1+a3+a5=21.答案:21四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知an是公差为d的无穷等差数列,其前n项和为Sn.又_,且S5=40,是否存在大于1的正整数k,使得Sk=S1?若存在,求k的值;若不存在,
14、说明理由.从a1=4;d=-2这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.【解析】若选,a1=4,因为an是等差数列,所以S5=54+10d=40,故d=2,Sk=4k+k(k-1)2=k2+3k,S1=a1=4,由Sk=S1可得k2+3k=4,可得k=1或k=-4(舍),故不存在k1使得Sk=S1.若选,d=-2,因为an是等差数列,由S5=5a1+10(-2)=40,可得a1=12,Sk=12k+(-2)=13k-k2,因为Sk=S1,所以13k-k2=12,解可得k=1或k=12,因为k=121,存在k1使得Sk=S1.18.(12分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+
15、8,其中aR.已知f(x)在x=3处取得极值.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程.【解析】(1)f(x)=6x2-6(a+1)x+6a.因为f(x)在x=3处取得极值,所以f(3)=69-6(a+1)3+6a=0,解得a=3.所以f(x)=2x3-12x2+18x+8.(2)A点在f(x)上,由(1)可知f(x)=6x2-24x+18,f(1)=6-24+18=0,所以切线方程为y=16.19.(12分)已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足:a3a4=117,a2+a5=22.(1)求数列an的通项公式an;(2)若数列bn是等差数列,且b
16、n=,求非零常数c.【解析】(1)an为等差数列,因为a3+a4=a2+a5=22,又a3a4=117,所以a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根.又公差d0,所以a30时,讨论函数g(x)=的单调性.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)2x+cf(x)-2x-c02ln x+1-2x-c0(*),设h(x)=2ln x+1-2x-c(x0),则有h(x)=-2=,当x1时,h(x)0,h(x)单调递减,当0x0,h(x)单调递增,所以当x=1时,函数h(x)有最大值,即h(x)max=h(1)=2ln 1+1-21-c=-1-c,要想不等式(*)在(0,+)上恒
17、成立,只需h(x)max0-1-c0c-1.(2)g(x)=(x0且xa),因此g(x)=,设m(x)=2(x-a-xln x+xln a),则有m(x)=2(ln a-ln x),当xa时,ln xln a,所以m(x)0,m(x)单调递减,因此有m(x)m(a)=0,即g(x)0,所以g(x)单调递减;当0xa时,ln x0,m(x)单调递增,因此有m(x)m(a)=0,即g(x)0.(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.【解题指南】解答本题,应先正确求出函数f(x)的导数f(x),再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解,并注意在定义域范围内求解.【解析】(1)f(x)=-=,因为f(x)在x=1处取得极值,所以f(1)=0,即a12+a-2=0,解得a=1.(2)f(x)=,因为x0,a0,所以ax+10.当a2时,在区间0,+)上,f(x)0,所以f(x)的单调增区间为0,+).当0a0,解得x.由f(x)0,解得x.所以f(x)的单调减区间为,单调增区间为.(3)当a2时,由(2)知,f(x)的最小值为f(0)=1;当0a2,由(2)知,f(x)在x=处取得最小值,且ff(0)=1.综上可知,若f(x)的最小值为1,则a的取值范围是2,+).关闭Word文档返回原板块
