1、专题9空间几何体表面积或体积的求解提炼1求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用提炼2球与几何体的外接与内切(1)正四面体与球：设正四面体的棱长为a ，由正四面体本身的对称性，可知其内切球和外接球的球心相同，则内切球的半径ra，外接球的半径Ra.(2)正方体与球：设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，O为其对称中心，E，F，H，G分别为AD，BC，B1C1，A1D1的中点
2、，J为HF的中点，如图91所示图91正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，故其内切球的半径为OJ；正方体的棱切球：截面图为正方形EFHG的外接圆，故其棱切球的半径为OG；正方体的外接球：截面图为矩形ACC1A1的外接圆，故其外接球的半径为OA1.回访1几何体的表面积或体积1(2016山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图92所示，则该几何体的体积为()A.B.C. D.1图92C由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为1213.故选C.2(2015山东高考)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜
3、边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.B. C.2D.4B绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V22.3(2014山东高考)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_12设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h.由题意，得62h2，h1，斜高h2，S侧62212.回访2球与几何体的外接与内切4(2015全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(
4、)A36 B.64C144 D.256C如图，设球的半径为R，AOB90，SAOBR2.VOABCVCAOB，而AOB面积为定值，当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大为R2R36，R6，球O的表面积为4R2462144.故选C.图935(2013全国卷)如图93，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3A如图，作出球的一个截面，则MC862(cm)
5、，BMAB84(cm)设球的半径为R cm，则R2OM2MB2(R2)242，R5，V球53(cm3)6(2012全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A. B.C. D.A由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的2倍，所以三棱锥SABC的体积也是三棱锥OABC体积的2倍在三棱锥OABC中，其棱长都是1，如图所示，SABCAB2，高OD，VSABC2VOABC2.热点题型1几何体的表面积或体积题型分析：解决此类题目，准确转化是前提，套用
6、公式是关键，求解时先根据条件确定几何体的形状，再套用公式求解(1)(2016全国乙卷)如图94，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是()图94A17B.18C20 D.28(2)(2016全国丙卷)如图95，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A1836B.5418C90 D.81图95(1)A(2)B(1)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图设球的半径为R，则R3R3，解得R2.因此它的表面积为4R2R217.故选A.(2)由三视图可知该几何体是底面为
7、正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633)25418.故选B.1求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解2根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解变式训练1(1)(2016
8、平顶山二模)某几何体的三视图如图96所示，则该几何体的体积为()A. B.5C5 D.图96(2)(2016胶东示范校二模)一个茶叶盒的三视图如图97所示(单位：分米)，盒盖与盒底为合金材料制成，其余部分为铁皮材料制成如果合金材料每平方分米造价10元，铁皮材料每平方分米造价5元，则该茶叶盒的造价为()A100元 B.120元C130元 D.200元图97(3)(名师押题)如图98，从棱长为6 cm的正方体铁皮箱ABCD A1B1C1D1中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛的水的体积为_cm3.图98(1)D(2)C(3)36(1)由三视图知该几何
9、体是由一个长方体，一个三棱锥和一个圆柱组成，故该几何体的体积为V212112122.(2)该茶叶盒是一个棱长为2的正方体截去了四个三棱锥，其直观图如图所示，以下底面正方形的边为底的四个等腰三角形的面积之和是4228，以上底面正方形的边为底的四个等腰三角形的面积之和是46.又下底面的面积为4，上底面的面积为2，所以该茶叶盒的造价为514106130(元)(3)最多能盛多少水，实际上是求三棱锥C1CD1B1的体积又V三棱锥C1CD1B1V三棱锥CB1C1D1636(cm3)，所以用图示中这样一个装置来盛水，最多能盛36 cm3体积的水热点题型2球与几何体的切、接问题题型分析：与球有关的表面积或体积
10、求解，其核心本质是半径的求解，这也是此类问题求解的主线，考生要时刻谨记先根据几何体的三视图确定其结构特征与数量特征，然后确定其外接球的球心，进而确定球的半径，最后代入公式求值即可；也可利用球的性质球面上任意一点对直径所张的角为直角，然后根据几何体的结构特征构造射影定理求解(1)(2016南昌二模)一个几何体的三视图如图99所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A.B.C.D.图99(2)(2016全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B.C6 D.(1)D(2)B(1)法一由三视图可知
11、，该几何体是如图所示的三棱锥S ABC，其中HS是三棱锥的高，由三视图可知HS2，HAHBHC2，故H为ABC外接圆的圆心，该圆的半径为2.由几何体的对称性可知三棱锥SABC外接球的球心O在直线HS上，连接OB.设球的半径为R，则球心O到ABC外接圆的距离为OH|SHOS|2R|，由球的截面性质可得ROB，解得R，所以所求外接球的表面积为4R24.故选D.法二由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥S ABC，其中HS是三棱锥的高，由侧视图可知HS2，由正视图和侧视图可得HAHBHC2.由几何体的对称性可知三棱锥外接球的球心O在HS上，延长SH交球面于点P，则SP就是球的直径，由点A在球面上可
12、得SAAP.又SH平面ABC，所以SHAH.在RtASH中，SA4.设球的半径为R，则SP2R，在RtSPA中，由射影定理可得SA2SHSP，即4222R，解得R，所以所求外接球的表面积为4R24.故选D.(2)由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切设球的半径为R.因为ABC的内切圆半径为2，所以R2.又2R3，所以R，所以Vmax3.故选B.解决球与几何体的切、接问题的关键在于确定球的半径与几何体的度量之间的关系，这就需要灵活利用球的截面性质以及组合体的截面特征来确定对于旋转体与球的组合体，主要利用它们的轴截面性质建立相关数据之间的关系；而对于多面体，应抓住多面体的结构特征灵活
13、选择过球心的截面，把多面体的相关数据和球的半径在截面图形中体现出来变式训练2(1)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB3，AC1，BAC60，AA12，则该三棱柱的外接球的体积为() 【导学号：73552037】A. B.C. D.20(2)(名师押题)一几何体的三视图如图910(网格中每个正方形的边长为1)，若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是_图910(1)B(2)20(1)设A1B1C1的外心为O1，ABC的外心为O2，连接O1O2，O2B，OB，如图所示由题意可得外接球的球心O为O1O2的中点在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22A
14、BACcosBAC3212231cos 607，所以BC.由正弦定理可得ABC外接圆的直径2r2O2B，所以r.而球心O到截面ABC的距离dOO2AA11，设直三棱柱ABCA1B1C1的外接球半径为R，由球的截面性质可得R2d2r2122，故R，所以该三棱柱的外接球的体积为VR3.故选B.(2)由三视图知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其底面ABCD是长、宽分别为4和2的矩形，高为2，且侧面SDC与底面ABCD垂直，且顶点S在底面上的射影为该侧面上的底面边的中点由该几何体的结构特征知球心在过底面中心O且与底面垂直的直线上，同时在过侧面SDC的外接圆圆心且与侧面SDC垂直的直线上因为SDC为直角三角形，所以球心就为底面ABCD的中心O，所以外接球的半径为RAC，故外接球的表面积为4R220.
