1、第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质课前预习巧设计名师课堂一点通创新演练大冲关读教材填要点小问题大思维考点一考点二课堂强化课下检测2.3.1直线与平面垂直的判定1直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面内的直线都，就说直线l与平面互相垂直，记作.直线l叫做平面的，平面叫做直线l的直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做任意一条垂直l垂线垂面垂足 (2)图形语言：如图画直线l与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直(3)符号语言：任意a，都有la.l2直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的都垂直，则该直线与此
2、平面垂直(2)图形语言：如图所示(3)符号语言：l.两条相交直线a，b，abP，la，lb 3直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角如图，就是斜线AP与平面所成的角(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是.(4)线面角的范围：.射影锐角PAO9000901直线与平面垂直的判定定理中若去掉abP，结论还成立吗？提示：不一定，如图正方体中，a，b，la，lb，但l，故定理中的“两条相交直线”是不可缺少的条件2如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么该直线与该平面一定垂直吗？提示：不一
3、定当直线垂直于平面内的一组平行线时，该直线与该平面就不一定垂直3两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？反之成立吗？提示：不一定平行，因为可相交，也可异面，但反之成立 例1 如图，已知ABC中，ACB90，SA平面ABC，ADSC于D，求证：AD平面SBC.自主解答SA平面ABC，BC平面ABC.SABC.又ACB90，即ACBC.SAACA.BC平面SAC.又AD平面SAC.ADBC.又ADSC，SCBCC.AD平面SBC.解：SBAE.由例2知AD平面SBC，又SB平面SBC，SBAD，又由条件知DESB，而ADDED.SB平面ADE.AE平面ADE，SBAE.本例中，若增加
4、条件“过D作DESB交SB于点E，连接AE，”试判断SB与AE是否垂直 1判定直线与平面垂直常用判定定理，其步骤是:(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论2要证明两直线垂直，常根据线面垂直的定义，只要证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，即：la.1如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)求证：CDAE；(2)求证：PD平面ABE.证明：(1)PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，CDAC，ACPAA，CD平面PAC，又AE平面P
5、ACCDAE.(2)ABBC，ABC60，ACABPA，E是PC中点，AEPC，由(1)知CD平面PAC，CDAE.AE平面PCD，AEPD，又PA平面ABCD，PAAB.又ABAD，PAADA，AB平面PAD，ABPD，又AEPD，ABAEA，故PD平面ABE.例2 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且PA平面ABCD，PA5，AB4，AD3.求直线PC与平面ABCD所成的角 自主解答 如图，连接AC，因为PA平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影，所以PCA是PC与平面ABCD所成的角求斜线与平面所成的角的步骤:(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间
6、角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算2在正方体AC1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：(1)D1B与平面AC所成角的余弦值；(2)EF与平面A1C1所成的角解：(1)如图所示，连接DB，D1D平面AC，DB是D1B在平面AC内的射影D1BD即为D1B与平面AC所成的角(2)E是A1A的中点，A1A平面A1C1，E
7、FA1是EF与平面A1C1所成的角在RtA1EF中F是A1D1的中点，EFA145.如图，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA平面ABCD，PAADCD2AB2，M为PC的中点 (1)求证：BM平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由 巧思 对于第(2)问的存在型问题，先假定“存在”并使结论成立，若经推理无矛盾，则“存在”成立，若推出矛盾，则结论为“不存在”妙解(1)证明：取PD的中点E，连接EM，AE，BMAE.AE平面PAD，BM平面PAD，BM平面PAD.(2)存在点N，且N是AE中点证明如下：PA平面ABCD，PAAB.而ABAD，PAADA.AB平面PAD.ABPD.PAAD，E是PD中点，PDAE.PD平面ABME.
