1、第一节数列的概念与简单表示法基础达标一、选择题(每小题5分,共30分)1.数列,的一个通项公式为()A.an=B.an=C.an=D.an=1.C【解析】观察知an=.2.已知数列an满足a0=1,an=a0+a1+an-1(n1),则当n1时,an等于()A.2nB. n(n+1)C.2n-1D.2n-12.C【解析】由题设可知a1=a0=1,a2=a0+a1=2,代入四个选项检验可知an=2n-1.3.(2016江西白鹭洲中学期中考试)已知点An(n,an)(nN)都在函数y=ax(a0,a1)的图象上,则a4+a6与2a5的大小关系是()A.a4+a62a5D.a4+a6与2a5的大小与
2、a有关3.C【解析】点An(n,an)(nN)都在函数y=ax(a0,a1)的图象上,an=an,则a4+a6=a4+a62=2a5,当且仅当a4=a6时取等号,a0,a1,a4a6,则a4+a6=a4+a62a5.4.(2016广东汕头金山中学期中考试)已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=-9,a2+a3=-12,则使Sn取得最小值时n的值为()A.2B.4C.5D.74.C【解析】由a2+a3=2a1+3d,所以由题可知-18+3d=-12d=2,从而有Sn=-9n+2=n2-10n=(n-5)2-25,所以当n=5时,Sn最小.5.(2015衡水调研)已知数列an的前n项和Sn=2a
3、n-1,则满足2的正整数n的集合为()A.1,2B.1,2,3,4C.1,2,3D.1,2,45.B【解析】因为Sn=2an-1,所以当n2时,Sn-1=2an-1-1,两式相减,得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,所以an是公比为2的等比数列,又因为a1=2a1-1,解得a1=1,故an的通项公式为an=2n-1.而2,即2n-12n,所以有n=1,2,3,4.6.(2016哈尔滨六中期中考试)已知数列an满足1+log3an=log3an+1(nN*),a2+a4+a6=9,则lo (a5+a7+a9)=()A.-B.C.-5D.56.C【解析】由1+log3an=log3
4、an+1(nN*)得an+1=3an(nN*),所以数列an为等比数列,且公比为3,因此由a2+a4+a6=9得a5+a7+a9=(a2+a4+a6)q3=933=35,所以lo (a5+a7+a9)=lo35=-5.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知数列an的通项公式为an=sin+ncos,其前n项的和为Sn,则S3n=.7.【解析】an=sin+ncos,又f(n)=sin+ncos是以T=3的周期函数,a1+a2+a3=+2+0+31=,S3n=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+(a3n-2+a3n-1+a3n)=n(a1+a2+a3)=.8.数列an的项是由1或2构
5、成,且首项为1,在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2,即数列an 为:1,2,1, 2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,记数列an的前n项和为Sn,则S2015=.8.3985【解析】将数列整理成:(1,2),(1,2,2,2),(1,2,2,2,2,2),每组括号内的项数分别为2,4,6,8,10,第k组的项数为2k,且此时数列的总项数为=k2+k.令b1=a1+a2=3,b2=a3+a4+a5+a6=7,以此类推b3=11,有bn-bn-1=4,故bn=4n-1.记新数列bn的前n项和为Tn,则Tn=n(2n+1),当k=44时,数列的总项数为442+44=1980,而当k=45
6、时,数列的总项数为2070,故数列第2015项在第45组第2015-1980=35项,S2015=T44+1+234=3985.高考冲关1.(5分)(2015广东三校期末联考)已知数列an满足:a1=,对于任意的nN*,an+1=an(1-an),则a1413-a1314=()A.-B.C.-D.1.D【解析】a1=,a2=,a3=,a4=,.归纳可知当n为大于1的奇数时,an=;当n为正偶数时,an=.故a1413-a1314=.2.(5分)已知数列2n-1an的前n项和Sn=9-6n,则数列an的通项公式是.2.an=【解析】当n=1时,20a1=S1=3,a1=3.当n2时,2n-1an
7、=Sn-Sn-1=-6,an=-.通项公式an=3.(5分)(2014辽宁高考)设等差数列an的公差为d,若数列为递减数列,则()A.d0C.a1d03.C【解析】由于数列是递减数列,则有,即a1ana1an+1,那么有a1a1+(n-1)d a1(a1+nd),整理可得a1d0.4.(5分)(2016桂林十八中月考)已知数列an的前n项和Sn=2an-2n+1,若不等式2n2-n-30,所以不等式2n2-n-3.记bn=,当n2时, ,所以当n3时, ,5-,所以整数的最大值为4.5.(10分)(2016江苏淮阴中学月考)已知数列an中,a1=1,在a1,a2之间插入1个数,在a2,a3之间
8、插入2个数,在a3,a4之间插入3个数,在an,an+1之间插入n个数,使得所有插入的数和原数列an中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列bn.(1)若a4=19,求bn的通项公式;(2)设数列bn的前n项和为Sn,且满足=bn+(,为常数),求an的通项公式.5.【解析】(1)设bn的公差为d,由题意:数列bn的前几项为:b1=a1=1,b2,b3=a2,b4,b5,b6=a3,b7,b8,b9,b10=a4=19,a4为bn的第10项,则b10=b1+9d,d=2,而b1=1,故数列bn的通项公式为bn=1+2(n-1)=2n-1.(2)由=bn+(,为常数),得2Sn+=(bn+)2=+2bn+2,当n=1时,2+=1+2+2,当n2时,2Sn-1+=+2bn-1+2,-得2bn=+2(bn-bn-1),则2bn=d(bn+bn-1)+2d=d(2bn-d)+2d,若d=0,则bn=b1=1,代入式,得2=0,不成立;当n2时,(2-2d)bn=2d-d2=常数,恒成立,又bn为正项等差数列,当d0时,bn不为常数,则得d=1,=,代入式,得=.所以等差数列bn的首项为b1=1,公差为d=1,则bn=n.设an中的第n项为数列bn中的第k项,则an前面共有an的n-1项,又插入了1+2+3+(n-1)=项,则k=(n-1)+ +1=,故an=bk=k=.
