1、1数学第七次周测参考答案一选择题（共 8 小题）1设 aR，则“a2”是“a23a+20”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【分析】求解一元二次不等式，再结合充分必要条件的判定得答案【解答】解：由 a23a+20，得 a1 或 a2即由 a2 可得 a23a+20，反之不一定成立故“a2”是“a23a+20”的充分非必要条件故选：A【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查一元二次不等式的解法，是基础题2在极坐标系中，已知点 P（1，）和 Q（2，），则|PQ|（）A1BC2D【分析】在直角坐标系中，求出点 P（，），Q（0，2），由此能求出|PQ|【解答】解
2、：在极坐标系中，点 P（1，）和 Q（2，），在直角坐标系中，点 P（，），Q（0，2），|PQ|故选：B【点评】本题考查线段长的求法，考查极坐标与直角坐标的互化、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3下列结论中正确的是（）A若 ab则（ab）c20B若0，则 abC若 ab，cd，则 acbdD若 a2b2，则 ab【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论【解答】解：Ac0 时不成立；B由0，两边同乘以 ab，则 ab，正确；Cab，cd，则 ac 与 bd 大小关系不确定，不正确；Da2b2，则|a|b|，因此不正确故选：B【点评】本题考查了不等式的性质，考查了推理能力与
3、计算能力，属于基础题4极坐标方程2cos和参数方程（t 为参数）所表示的图形分别是（）A直线、直线B直线、圆C圆、直线D圆、圆【分析】极坐标方程2cos化为普通方程得到它表示的圆形是圆，参数方程（t 为参数）恒过（0，1）的一条直线【解答】解：极坐标方程2cos化为普通方程得：2x2+y22x0，表示的圆形是圆，参数方程（t 为参数）恒过（0，1）的一条直线故选：C【点评】本题考查极坐标方程和参数方程表示的图形的判断，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题5在同一平面直角坐标系中，将直线 x2y2 按：变换后得到的直线 l，若以坐标原点为极点，以x
4、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线 l 的极坐标方程为（）A4cossin4Bcos16sin4Ccos4sin4Dcos8sin4【分析】先由变换公式得直线 l 的直角坐标，再用公式化成极坐标方程【解答】解：由：得并代入 x2y2 得 2x2y2，即 2xy20，其极坐标方程为 2cossin2，即 4cossin4故选：A【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题6已知关于 x 的不等式|xa|+|x+2|1 解集为 R，则实数 a 的取值范围为（）A（，13，+）B1，3C（，31，+）D3，1【分析】f（x）|xa|+|x+2|，由题意可得 f（x）的最小值不小于 1，由绝对值
5、不等式的性质可得 f（x）的最小值，由绝对值不等式的解法，可得所求范围【解答】解：关于 x 的不等式|xa|+|x+2|1 解集为 R，可设 f（x）|xa|+|x+2|，可得 f（x）的最小值不小于 1，由 f（x）|xa|+|x+2|（xa）（x+2）|a+2|，当且仅当（xa）（x+1）0 上式取得等号，则|a+2|1，解得 a1 或 a3故选：C【点评】本题考查绝对值不等式的性质，以及不等式恒成立思想，考查运算能力，属于中档题7已知双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线 l 与双曲线 C 的左支交于 A、B 两点若|AB|AF2|，BAF2120，则双曲线 C 的渐近线
6、方程为（）Ay（1）xByxCy（）xDy【分析】设|AB|AF2|m，|AF1|n，则 mn2a，结合|BF2|BF1|2a 求得|BF1|2a，|BF2|4a，进一步3求得|AF2|a，|AF1|，在三角形 AF1F2 中由余弦定理列式求解双曲线 C 的渐近线方程【解答】解：如图，设|AB|AF2|m，|AF1|n，mn2a，|BF2|BF1|2a，|BF2|BF1|+2a2a+|AB|AF1|2a+mn4a，|BF1|2a，则|BF2|4a，BAF2120，解得 ma，即|AF2|a，则|AF1|由 cosF1AF2，整理可得 c2（52）a2，即双曲线 C 的渐近线方程为 y（1）x故
7、选：A【点评】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题8已知函数 f（x）x（lnxax）有且仅有一个极值点，则实数 a 的取值范围是（）ABa0Ca0 或Da0【分析】由题意可得 2a，可得 y2a 与 yg（x）只有一个交点，根据导数求出函数最值即可【解答】解：函数 f（x）x（lnxax）有且仅有一个极值点，f（x）lnxax+x（a）lnx2ax+10 只有一个解，即 2a，即 y2a 与 yg（x）只有一个交点，g（x），当 x（0，1）时，g（x）0，函数 g（x）单调递增，当 x（1，+）时，g（x）0，函数 g（x）单调递减，g（x）maxg（1）1，当 x0
8、 时，g（x），当 x+时，g（x）0，结合图象可得 2a1 或 2a0，解得 a或 a0，故选：C4【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题二填空题（共 2 小题）9某学校开展一次“五四”知识竞赛活动，共有三个问题，其中第 1、2 题满分都是 15 分，第 3 题满分是 20分每个问题或者得满分，或者得 0 分活动结果显示，每个参赛选手至少答对一道题，有 6 名选手只答对其中一道题，有 12 名选手只答对其中两道题答对第 1 题的人数与答对第 2 题的人数之和为 26，答对第 1的人数与答对第 3 题的人数之和为 24，答对第
9、2 题的人数与答对第 3 题的人数之和为 22则参赛选手中三道题全答对的人数是2；所有参赛选手的平均分是29.5【分析】列方程组求出答对 1 题，2 题，3 题的人数，再求出全班人数，即可求得三道题全答对的人数与平均分【解答】解：设 x1、x2、x3 分别表示答对 1 题，2 题，3 题的人数，则有，解得 x114，x212，x310；又只答对一题的人数为 6，只答对两题的人数为 12，设答对三题的人数为 x，则全班人数为 6+12+x；61+122+3x36，解得 x2，三道题全答对的人数是 2；所有参赛选手的平均分是（1415+1215+1020）29.5故答案为：2，29.5【点评】本题
10、考查了求平均数以及应用问题，也考查了方程思想，是综合题10关于 x 的不等式|x+3|x1|a25a 的解集不是，则实数 a 的取值范围为（，14，+）【分析】不等式|x+3|x1|a25a 的解集不是，只需 a25a（|x+3|x1|）min，求出|x+3|x1|的最小值，然后解关于 a 的不等式即可得到 a 的取值范围【解答】解：|x+3|x1|（x+3）（x1）|4，（|x+3|x1|）min4不等式|x+3|x1|a25a 的解集不是，只需 a25a（|x+3|x1|）min4，5a25a+40，a4 或 a1，a 的取值范围为（，14，+）故答案为：（，14，+）【点评】本题考查了绝
11、对值不等式有解问题和绝对值三角不等，考查了转化思想和计算能力，属中档题三解答题（共 5 小题）11已知函数 f（x）16|2x1|（1）解不等式 f（x）|x+2|；（2）若函数 yf（x）a 存在零点，求 a 的求值范围【分析】（1）分类讨论法判断，最后求并集；（2）因为 f（x），所以若函数 yf（x）a，存在零点则可转化为函数 yf（x）与 ya的图象存在交点，数形结合得出结论【解答】解：（1）不等式可化为|x+2|+|2x1|16，当 x2 时，原不等式可化为x22x+116，解得 x；当2x时，原不等式可化为 x+22x+116，解得 x13，不满足，舍去；当 x时，原不等式可化为
12、x+2+2x116，解得 x5，所以不等式的解集为（，5，+）；（2）因为 f（x），所以若函数 yf（x）a，存在零点则可转化为函数 yf（x）与 ya 的图象存在交点，数形结合可知 a16【点评】考查绝对值不等式的解法，函数与方程的关系，考查分类讨论法，中档题612在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A，B，C 的极坐标分别为（4，），（4，），（4，），且ABC 的顶点都在圆 C2 上，将圆 C2 向右平移 3 个单位长度后，得到曲线 C3（）求曲线 C3 的直角坐标方程（）设 M（1，1），曲线
13、 C1 与 C3 相交于 P，Q 两点，求|MP|MQ|的值【分析】（）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果【解答】解：（）已知点 A，B，C 的极坐标分别为（4，），（4，），（4，），转换为直角坐标为 A（2，2），B（2），C（0，4）设经过的圆的方程为 x2+（ym）2r2，将直角坐标 A（2，2），B（2），C（0，4），代入圆的方程得到：解得 m0，r4，所以圆 C2 的直角坐标方程为 x2+y216将圆 C2 向右平移 3 个单位长度后，得到曲线 C3，得到（x3）2+y216（）由（）得：把曲线 C1
14、的参数方程为（t 为参数），代入（x3）2+y216得到：，整理得：，所以|MP|MQ|t1t2|11【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型13如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ABAC，ABAC2，AA14，点 D 是 BC 的中点（1）求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；（2）求平面 ADC1 与平面 A1BA 所成的二面角（是指不超过 90的角）的余弦值7【分析】（1）以，为单位正交基底建立空间直角坐标系 Axyz，求出（2，0，4），（1，1，
15、4），利用数量积求解即可（2）是平面 ABA1 的一个法向量，求出平面 ADC1 的法向量，设平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角为，利用空间向量的数量积求解即可【解答】解：（1）以，为单位正交基底建立空间直角坐标系 Axyz，则由题意知 A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），（2，0，4），（1，1，4），cos，异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为（2）是平面 ABA1 的一个法向量，设平面 ADC1 的法向量为，取 z1，得 y2，x2，平面 ADC1 的法向量为（2，2，1），设平面 ADC1 与
16、ABA1 所成二面角为，cos|cos，|，平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的余弦值为：8【点评】利用空间向量的数量积求解异面直线所成角以及二面角，考查空间想象能力以及计算能力14已知圆，P 为 E 上任意一点，PF 的垂直平分线交 PE 于点 G，记点 G的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 的方程；（2）已知点 S（2，0），过 Q（2，4）的直线 l 交 C 于 M，N 两点，证明：直线 SM 的斜率与直线 SN 的斜率之和为定值【分析】（1）由 PF 的中垂线可得 GPGF，而 GP+GEPE4，进而可得 G 的轨迹为椭圆；且可得 F，E为椭圆的焦点，PE 的长为长轴长，进而求出椭
17、圆的方程；（2）设直线 MN 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线 SM，SN 的斜率之和，将之和及之积代入，由于 Q 在直线上，可得参数的关系，进而可得斜率之和为定值【解答】解：因为 G 在 PF 的中垂线上，所以 GPGF，而 GP+GEPE，所以 GF+GEPE4，由椭圆的定义可得 G 的轨迹为焦点在 x 轴上，长轴长为 4，焦点坐标为：（，0）的椭圆，即 c，a2，所以 b2a2c22，所以曲线 C 的方程：+1；（2）由题意可知直线 l 的斜率存在，设 l 的方程为：ykx+m，设 M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆的方程：，整理可得：（1+2k2）
18、x2+4kmx+2m240，16k2m24（1+2k2）（2m24）0，整理可得：m22+4k2，x1+x2，x1x2，kSM+kSN，9代入可得 kSM+kSN，因为直线过 Q 点，所以42k+m，所以 kSM+kSN，即证了直线 SM 的斜率与直线 SN 的斜率之和为定值【点评】考查求轨迹方程的方法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题15设函数 f（x）（x+1）lnxa（x1）（aR）（1）当 a1 时，求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）0 对任意 x1，+）恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）当时，试比较与的大小，并说明理由【分析】（1）把 a1 代入，然后对函数求导，结合导数
19、可求函数单调区间；（2）由不等式的恒成立，结合导数与单调性及函数的性质对 a 进行分类讨论，进行求解即可；（3）令 a2，当 x1 时，f（x）（x+1）lnx2（x1）0，即，当 0 x1 时，然后结合差角正切公式即可求解【解答】解：（1）当 a1 时，f（x）（x+1）lnx（x1），g（x）lnx+，则，当 x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递减，当 x（1，+）时，g（x）0，g（x）单调递增，g（x）ming（1）10，f（x）0故 f（x）在区间（0，+）上单调递增，无单调递减区间（2）g（x）+1a，由（1）可知 g（x）区间1，+）上单调递增，则 g（x）g（1）1，即
20、f（x）在区间1，+）上单调递增，且 f（1）2a，当 a2 时，f（x）0，f（x）在区间1，+）上单调递增，f（x）f（1）0 满足条件；当 a2 时，设 h（x）lnx+，x1，则，h（x）在区间1，+）上单调递增，且 h（1）2a0，h（ea）1+ea0，x01，ea，使得 h（x0）0，当 x1，x0）时，h（x）0，f（x）单调递减，即当 x01，x0）时，f（x）f（1）0，不满足题意综上所述，实数 a 的取值范围为（，210（3）由（2）可知，取 a2，当 x1 时，f（x）（x+1）lnx2（x1）0，即，当 0 x1 时，即，又 tan（），当 0时，0tan1，；当时，tan1，；当时，tan1，【点评】本题主要考查了利用导数求解函数单调性及由不等式的恒成立求解参数范围问题，利用单调性比较大小，属于导数与函数的综合应用声明：试 题解析著作权 属菁优网所有，未经书面同 意，不得复制 发布日期：2020/4/4 20:29:57；用户：shuxuefuda；邮箱：；学号：7859281
