1、模块检测一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1命题“若 a1，则 a2”及其逆命题、否命题、逆否命题 4 个命题中，真命题的个数是_答案 2解析 原命题为真命题，故逆否命题为真命题；逆命题为“若 a2，则 a1”为假命题，故否命题为假命题故 4 个命题中有 2 个真命题2已知命题 p：xR，sinx1，则命题綈 p 为_答案 xR，sinx1解析 存在性命题的否定为全称命题，同时注意否定结论：sinx1 的否定为 sinx1.3命题“a1 是 a a的充要条件”是_(填“真”或“假”)命题答案 真解析 因为 a1，所以 a1,所以 aa a，即 a a.所以 a1a
2、 a；因为 a a，所以 a(a1)0，所以 a1，即 a1.所以 a aa1.综上可知 a1a a，所以 a1 是 a a的充要条件4在空间中，若四点不共面，则这四点中任三个点都不共线；若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线以上两个命题中，逆命题为真命题的是_答案 解析 命题：“若四点不共面，则这四点中任三个点都不共线”的逆命题是“若四点中任三个点都不共线，则这四点不共面”，是假命题命题：“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题是“若两直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”，是真命题5已知|a|b|5，a，b 的夹角为3，则|ab|与|ab|的值分别等于_答案 5 3
3、，5解析|ab|2|a|22ab|b|252255125275，|ab|5 3，|ab|2|a|22ab|b|252255125225，|ab|5.6若直线 l 的方向向量为 a(1,1,2)，平面 的法向量为 u(2，2，4)，则直线与平面的位置关系是_答案 l解析 由已知得 a12u，即向量 a 和 u 共线，直线 l 与平面 垂直7以双曲线x23y21 的一条准线为准线，顶点在原点的抛物线方程是_答案 y26x 或 y26x解析 因为 a 3，b1，所以 c2，所以双曲线的准线方程为 x32，所以p232，得 p3，所以抛物线方程是 y26x 或 y26x.8焦点在 y 轴上，虚半轴长为
4、 4，焦距的一半为 6 的双曲线的标准方程为_答案 y220 x2161解析 双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)已知 b4，c6，则 a2c2b2624220.故所求双曲线的标准方程为y220 x2161.9对于实数 x，y，命题 p：xy8 是命题 q：x2 或 y6 的_条件答案 充分不必要解析 利用命题的等价性，因为命题“若 x2 且 y6，则 xy8”是真命题，故綈 q綈 p，即 pq；命题“若 xy8，则 x2 且 y6”是假命题，故綈 p綈 q，即 qp，所以 p 是q 的充分不必要条件10已知 tR，a(1t,1t，t)，b(2，t，t
5、)，则|ba|的最小值是_答案 3 55解析 因为 ab(1t,12t,0)，所以|ab|1t212t202 5t22t25t15295，当 t15时，|ba|取到最小值3 55.11已知双曲线 x2y231 上存在两点 M，N 关于直线 yxm 对称，且 MN 的中点在抛物线y218x 上，则实数 m 的值为_答案 0 或8解析 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 中点 P(x0，y0)，则x21y2131，x22y2231，x1x22x0，y1y22y0，则得(x2x1)(x2x1)13(y2y1)(y2y1)，显然 x1x2.y2y1x2x1y2y1x2x13，即 kMNy0
6、x03，M，N 关于直线 yxm 对称，kMN1，y03x0，又y0 x0m，Pm4，34m，代入抛物线方程得916m218m4.解得 m0 或8，经检验都符合12动圆的圆心在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线 x20 相切，则动圆必过定点_答案(2,0)解析 抛物线 y28x，p4，其准线方程为 x2，焦点为 F(2,0)，设动圆圆心为 P，由已知点 P 到准线 x20 的距离为其半径 r，且点 P 在抛物线上，点 P 到焦点 F 的距离也为 r，动圆必过定点 F(2,0)13已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中 AA12AB，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于_答案 2
7、3解析 设 AB1，则 AA12，分别以D1A1、D1C1、D1D 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则 D(0,0,2)，C1(0,1,0)，B(1,1,2)，C(0,1,2)，DB(1,1,0)，DC1(0,1，2)，DC(0,1,0)，设 n(x，y，z)为平面 BDC1 的一个法向量，则nDB 0，nDC1 0，即xy0，y2z0，取 n(2,2,1)，设 CD 与平面 BDC1 所成角为，则 sin|nDC|n|DC|23.14设 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，过点 P(1,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，点 Q为线段 AB
8、的中点，若 FQ2，则直线的斜率等于_答案 1解析 设直线 l 的方程为 yk(x1)，联立ykx1，y24x，消去 y 得 k2x2(2k24)xk20，由根与系数的关系，xAxB2k24k2，于是 xQxAxB22k21，把 xQ 带入 yk(x1)，得到yQ2k，根据 FQ2k2222k22，解出 k1.二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分)15(14 分)已知命题 p：对数 loga(2t27t5)(a0 且 a1)有意义；q：关于实数 t 的不等式 t2(a3)t(a2)0.(1)若命题 p 为真命题，求实数 t 的取值范围；(2)若命题 p 是命题 q 的充分不必要条件，求
9、实数 a 的取值范围解(1)因为命题 p 为真命题，所以对数式有意义，即2t27t50，解得 1t52.(2)因为命题 p 是命题 q 的充分不必要条件，所以 1t52是不等式 t2(a3)t(a2)0 解集的真子集解法一：因为方程 t2(a3)t(a2)0 的两根为 1，a2，故只需 a252，解得 a12.解法二：令 f(t)t2(a3)t(a2)，因为 f(1)0，故只需 f(52)0，解得 a12.16(14 分)已知命题 p：不等式|x1|m1 的解集为 R，命题 q：f(x)(52m)x 是减函数，若 pq 为真命题，pq 为假命题，求实数 m 的取值范围解 由于不等式|x1|m1
10、 的解集为 R，所以 m10，m1，m2.即命题 p：m1，命题 q：m2.又由于 pq 为真，pq 为假，所以 p 和 q 中一真一假当 p 真 q 假时应有m1，m2，m 无解当 p 假 q 真时应有m1，m2，1mb0)的离心率为 22，且 a22b.(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l：xym0 与椭圆交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在圆 x2y25 上，求 m的值解(1)由题意得ca 22，a22b，b2a2c2，解得a 2，c1，b1，故椭圆的方程为 x2y221.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中点为 M(x0，y0)联立直线与椭圆的方程得x2
11、y221，xym0，即 3x22mxm220，所以 x0 x1x22m3，y0 x0m2m3，即 Mm3，2m3，又因为 M 点在圆 x2y25 上，所以m322m325，解得 m3.18(16 分)直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABAC，D、E 分别为 AA1、B1C 的中点，DE平面 BCC1B1.(1)证明：ABAC；(2)设二面角 ABDC 为 60，求 B1C 与平面 BCD 所成角的大小(1)证明 以 A 为坐标原点，射线 AB、AC、AA1 分别为 x、y、z 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 Axyz.设 B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，则 B1(
12、1,0,2c)，E(12，b2，c)于是DE(12，b2，0)，BC(1，b,0)由 DE平面 BCC1B1 知 DEBC，DE BC0，求得 b1，所以 ABAC.(2)设平面 BCD 的法向量AN(x，y，z)，则ANBC0，ANBD 0.又BC(1,1,0)，BD(1,0，c)，故xy0，xcz0.令 x1，则 y1，z1c，AN(1,1，1c)又平面 ABD 的法向量AC(0,1,0)由二面角 ABDC 为 60知，AN，AC60，故ANAC|AN|AC|cos60，求得 c 12.于是AN(1,1，2)，CB1(1，1，2)，cosAN，CB1 ANCB1|AN|CB1|12，AN，
13、CB1 60.所以 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30.19(16 分)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1C1C 是边长为 4 的正方形，平面 ABC平面 AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面 ABC；(2)求二面角 A1BC1B1 的余弦值；(3)证明：在线段 BC1 存在点 D，使得 ADA1B，并求BDBC1的值(1)证明 因为 AA1C1C 为正方形，所以 AA1AC.因为平面 ABC平面 AA1C1C，且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC，所以 AA1平面 ABC.(2)解 由(1)知 AA1AC，AA1AB.由题意知 AB3，BC5，AC4，所
14、以 ABAC.如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz，则 B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4，0,4),设 平 面 A1BC1 的 法 向 量 为 n (x，y，z)，则nA1B 0，nA1C1 0，即3y4z0，4x0，令 z3，则 x0，y4，所以 n(0,4,3).同理可得，平面 BB1C1 的法向量为 m(3,4,0)，所以 cosn，m nm|n|m|1625.由题意知二面角 A1BC1B1 为锐角，所以二面角 A1BC1B1 的余弦值为1625.(3)解 设 D(x，y，z)是线段 BC1 上一点，且BD BC1.所以(x，y3，z)(4，
15、3,4)解得 x4，y33，z4.所以AD(4，33，4)由AD A1B 0，即 9250.解得 925.因为 9250,1，所以在线段 BC1 上存在点 D,使得 ADA1B.此时，BDBC1 925.20(16 分)已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P 与 M 外切并且与圆 N内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求 AB.解 由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11，圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r23.设动圆P 的
16、圆心为 P(x，y)，半径为 R.(1)圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切，PMPN(Rr1)(r2R)r1r24，由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24y231(x2)(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于 PMPN2R22，R2，当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时，R2.当圆 P 的半径最长时，其方程为(x2)2y24，当 l 的倾斜角为 90时，则 l 与 y 轴重合，可得 AB2 3.当 l 的倾斜角不为 90时，由 r1R 知 l 不平行 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则QPQMRr1，可求得 Q(4,0)，设 l：yk(x4)，由 l 与圆 M 相切得|3k|1k21，解得 k 24.当 k 24 时，将 y 24 x 2代入x24 y23 1(x2)并整理得 7x28x80，解得 x1,246 27，AB 1k2|x1x2|187.当 k 24 时，由图形的对称性可知 AB187，综上，AB187 或 AB2 3.
