1、湖南省岳阳市湘阴一中、岳阳一中联考2015届高三上学期12月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|1x4，xZ，B=x|1x5，则AB=( )Ax|1x4B2，3，4C1，0，1，2，3，4Dx|1x5考点：交集及其运算 专题：集合分析：利用交集的性质求解解答：解：A=x|1x4，xZ=1，0，1，2，3，4，B=x|1x5，AB=2，3，4故选：B点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用2若sin0且tan0，则是( )A第一象限角B第二象限角C第三
2、象限角D第四象限角考点：三角函数值的符号 分析：由正弦和正切的符号确定角的象限，当正弦值小于零时，角在第三四象限，当正切值大于零，角在第一三象限，要同时满足这两个条件，角的位置是第三象限，实际上我们解的是不等式组解答：解：sin0，在三、四象限；tan0，在一、三象限故选：C点评：记住角在各象限的三角函数符号是解题的关键，可用口诀帮助记忆：一全部，二正弦，三切值，四余弦，它们在上面所述的象限为正3已知等差数列an的前n项和为Sn，a6=S3=12，则a4=( )A4B6C8D10考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得首项和公差的方程组，解方程组代入通项公式可得解答：
3、解：设等差数列an的公差为d，则a6=a1+5d=12，且S3=3a1+d=12，解得a1=2，d=2a4=a1+3d=8故选：C点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题4一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的体积为( )ABC2D3考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为2的正三角形可知此圆锥的半径与圆锥的高，故解三角形求出其高即可求得几何体的体积解答：解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，其底面半径为1，且其高为正三角形的高由于此三角
4、形的高为 ，故圆锥的高为 此圆锥的体积为 1=故选A点评：由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积5已知p，q是简单命题，则“pq为真命题”是“pq为假命题”的( )A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：复合命题的真假 专题：常规题型分析：由pq为真命题，知p和q或者同时是真命题，或者其中一个是真命题，一个是假命题；由pq为假命题，知p和q或者同时都是假命题，或者有一个是真命，另一个是假命题由此可知“pq为真命题”是“pq为假
5、命题”的既不充分也不必要条件解答：解：pq为真命题，p和q或者同时是真命题，或者其中一个是真命题，一个是假命题，“pq为真命题”推不出“pq为假命题”，pq为假命题，p和q或者同时都是假命题，或者有一个是真命，另一个是假命题，“pq为假命题”推不出“pq为真命题”“pq为真命题”是“pq为假命题”的既不充分也不必要命题故选D点评：本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解6已知f（x）是周期为4的奇函数，f（3）=2，则f（9）=( )A6B6C2D2考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由于f（x）是周期为4的奇函数，则f（9）=f（1），f（
6、1）=f（1）=f（3）=2，即可得到结论解答：解：由于f（x）是周期为4的奇函数，则f（9）=f（8+1）=f（1），又f（3）=2，则f（3）=f（41）=f（1）=f（1）=2，即有f（1）=2则f（9）=2故选D点评：本题考查函数的奇偶性和周期性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题7已知向量满足，且，则与的夹角为( )ABCD考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：运用向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，再由向量夹角的范围，即可求得解答：解：，且，则+=6，即为|cos+3=6，即有2cos=3，即cos=，由于0，则故选A点评：本题考查平面向
7、量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于基础题8已知数列an满足2an+1+an=3（nN*），且a1=7，其前n项和为Sn，则满足不等式|Snn4|的最小整数n是( )A11B12C13D14考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知得an1是首项为6，公比为的等比数列，从而Snn4=4（）n由|Snn4|，得2n22014，由此能求出满足条件的最小正整数n解答：解：2an+1+an=3，an+11=（an1），所以an1是首项为6，公比为的等比数列，故an1=6（）n1，则Sn=n+=n+44（）n，Snn4=4（）n|Snn4|，2n22014，又210=1024，211=
8、2048，所以满足条件的最小正整数n=13故选：C点评：本题考查满足不等式|Snn4|的最小整数n的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用9记曲线y=sinx，x3，1与y=1所围成的封闭区域为D，若直线y=ax+2与D有公共点，则实数a的取值范围是( )ABCD考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：作出区域D，易知直线y=ax+2过定点A（0，2），斜率为a，由斜率公式数形结合可得解答：解：由题意封闭区域为D如图所示（阴影），易知直线y=ax+2过定点A（0，2），斜率为a，又可得B（3，1），C（1，1），由斜率公式可得kAB=，kAC=1，易得
9、满足题意得直线介于AB和AC之间，故实数a的取值范围是故选：B点评：本题考查正弦函数的图象，涉及直线的斜率和斜率公式，数形结合是解决问题的关键，属中档题10用mina，b表示a，b两数中的最小值，函数f（x）=min|2x|，|2x+t|的图象关于直线x=1对称，若方程f（x）=m恰有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( )A（0，1B（0，1）C（0，2D（0，2）考点：根的存在性及根的个数判断 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用分析：由题意可求得f（2）=0；从而可得t=4；方程f（x）=m恰有4个不相等的实数根可化为函数f（x）=min|2x|，|2x+t|的图象与y=m有4个
10、不同的交点，作图求解解答：解：函数f（x）=min|2x|，|2x+t|的图象关于直线x=1对称，又当x=0时，f（x）=min|2x|，|2x+t|=0；f（2）=0；2（2）+t=0；故t=4；作函数f（x）=min|2x|，|2x+t|的图象如右图，故方程f（x）=m恰有4个不相等的实数根可化为函数f（x）=min|2x|，|2x+t|的图象与y=m有4个不同的交点，故0m2；故选D点评：本题考查了学生对新定义的接受能力与作图能力，同时考查了方程与函数的关系，属于中档题二、填空题：本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上.11在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y5=0与圆
11、x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题分析：求出圆心到直线3x+4y5=0的距离，利用勾股定理，可得结论解答：解：圆x2+y2=4的圆心坐标为（0，0），半径为2圆心到直线3x+4y5=0的距离为=1弦AB的长等于2=故答案为：点评：本题考查圆心到直线的距离，考查垂径定理，考查学生的计算能力，属于基础题12在ABC中，A=，AC=4，其面积S=3，则BC=考点：正弦定理 专题：解三角形分析：利用三角形面积公式列出关系式，把b，sinA，以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理求出a的值，即为BC的值解答：解：在ABC中，A=，AC=b=4，且S
12、=bcsinA=3，c=3，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=16+912=13，则BC=a=故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键13底面半径为3cm的圆柱体水槽中有半槽水，现放入两个直径等于水槽底面圆直径的球，若水槽中的水刚好满了，则水槽的高是16cm考点：球的体积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 专题：空间位置关系与距离分析：由已知可得水槽容积的一半，等于球的体积的2倍，设水槽的高为h，则=2，解得答案解答：解：设水槽的高为h，则=2，解得：h=16，故答案为：16点评：本题考查的知识点是球的体积，旋转体，圆柱的体积，其中根据等
13、积法，构造关于圆柱高h的方程，是解答的关键14若不等式sin2x+2acosxa2+3a2（a0）对一切xR恒成立，则实数a的最大值是考点：函数恒成立问题 专题：函数的性质及应用分析：化正弦为余弦，然后换元，对a分类求出a的范围即可解答：解不等式sin2x+2acosxa2+3a2（a0）对一切xR恒成立，1cos2x+2acosxa2+3a2，cos2x2acosx+a2+3a30对一切xR恒成立，令cosx=t，t1，1，则t22at+a2+3a30，对一切t1，1恒成立，设函数f（t）=t22at+a2+3a3，则对称轴x=a0，当1a0时，即解集为空集，当a1时，f（1）=a2+5a2
14、0，解得a，故a的最大值为，故答案为：，点评：本题考查了三角函数的值域，考查了利用换元法求二次函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题15已知函数f（x）=|12x|，x0，1，记f1（x）=f（x），且fn+1（x）=ffn（x），nN*（1）若函数y=f（x）ax仅有2个零点，则实数a的取值范围是（0，1（2）若函数y=fn（x）log2（x+1）的零点个数为an，则满足an2（1+2+n）的所有n的值为2，3，4考点：函数零点的判定定理 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用分析：（1）由f（x）ax=0且x=0不是零点，故a=，令g（x）=，作图确定；（2）函数y=fn（x）
15、log2（x+1）的零点个数an即为函数y=fn（x）与y=log2（x+1）的交点的个数，分别取n=1，2，3；从而得到an=2n，从而求解解答：解：（1）f（x）=|12x|，x0，1，f（x）ax=0，x=0，f（0）=1，x=0不是零点，当x0时，a=，令g（x）=，根据图象可得出：g（x）=，与y=a有2个交点时，a（0，1，故答案为；（0，1，（2）函数y=fn（x）log2（x+1）的零点个数an即为函数y=fn（x）与y=log2（x+1）的交点的个数，当n=1时，y=f1（x）=|12x|与y=log2（x+1）的图象如下，故a1=2；当n=2时，y=f2（x）=|12|12
16、x|与y=log2（x+1）的图象如下，故a2=4；当n=3时，y=f3（x）=|12|12|12x|与y=log2（x+1）的图象如下，故a3=8；故an=2n，故an2（1+2+n）可化为2n2（1+2+n）=n（n+1）；故n=2，3，4；故答案为：（0，1；2，3，4点评：本题考查了学生的作图能力及函数的零点与函数的图象的关系，属于中档题三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16已知向量，函数f（x）=，且其图象的两条相邻对称轴之间的距离是（）求的值；（）将函数f（x）图象上的每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，
17、求y=g（x）在区间上的最大值和最小值考点：平面向量数量积的运算；函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：（）运用向量的数量积的坐标公式及二倍角的正弦公式，再由周期公式，即可得到；（）由图象的伸缩变换，得到函数g（x）的解析式，再运用正弦函数的单调性和值域，即可得到最值解答：解：（）由已知可得，=sin2xcos2x=，又f（x）的周期，所以，即=2；（） 由（） 得，又由题意得，因为，所以，则当，即x=0时，g（x）min=1，当，即时，g（x）max=2点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的二倍角公式和两角差的正弦公式，
18、以及周期公式，考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题17如图，在各棱长都相等的直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为AB，CC1的中点（）求证：CE平面AB1F；（）求直线A1F与平面AB1F所成角的正弦值考点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离分析：（）利用三棱柱的性质连接A1B交AB1于D点，连接DE，DF得到四边形DECF为平行四边形，利用线面平行的判定定理可证；（）直三棱柱ABCA1B1C1各棱长都相等，E为AB的中点得到CEA1B，由（） CEDF得DFA1B，所以A1D平面AB1F，得到A1FD是A1F与平面A
19、B1F所成的角，然后解RtA1DF即可解答：证明：（）如图示，连接A1B交AB1于D点，连接DE，DF由题DE是ABB1的中位线DEBB1且即DECF且DE=CF四边形DECF为平行四边形CEDF又CE平面AB1F，DF平面AB1FCE平面AB1F6分解：（）直三棱柱ABCA1B1C1各棱长都相等，E为AB的中点CEAB，CEAA1CE平面ABB1A1，又A1B平面ABB1A1CEA1B由（） CEDF得DFA1B又A1DAB1，DF，AB1是平面AB1F内两条相交直线A1D平面AB1FDF是A1F在平面AB1F上的射影A1FD是A1F与平面AB1F所成的角 9分设直三棱柱ABCA1B1C1的
20、棱长为a在RtA1DF中，AD=a，AF=，直线A1F与平面AB1F所成角的正弦值是12分点评：本题考查了三棱柱性质的运用以及线面平行的判定、线面角的求法，属于中档题18山区一林场2013年底的木材存量为30万立方米，森林以每年20%的增长率生长从今年起每年年底要砍伐1万立方米的木材，设从今年起的第n年底的木材存量为an万立方米（）试写出an+1与an的关系式，并证明数列an5是等比数列；（）问大约经过多少年，林场的木材总存量达到125万立方米？（参考数据：lg2=0.30，lg3=0.48）考点：数列的应用 专题：等差数列与等比数列分析：（）由题得an+1=an（1+20%）1，由此能数列a
21、n5是公比为的等比数列，由此能写出an+1与an的关系式，并证明数列an5是等比数列（）由a15=30（1+20%）15=30，得，由此能求出大约经过9年，林场的木材总存量达到125万立方米解答：解：（）由题得an+1=an（1+20%）1即2分所以因此数列an5是公比为的等比数列 6分（）由题a15=30（1+20%）15=30所以，即8分所以，即所以所以，大约经过9年，林场的木材总存量达到125万立方米12分点评：本题考查数列知识在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要注意等比数列性质的合理运用19已知函数f（x）=（）解不等式f（x）4；（）当x1，2时，f（x）mx2（mR）恒成立，
22、求实数m的取值范围考点：函数恒成立问题；分段函数的应用；其他不等式的解法 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：（） 分类构造不等式，解得即可，（）先分类，（）当x=0时，mxx2+3x+2恒成立，所以mR，（） 当x1，0）时，原不等式变形为，分离参数，构造函数g（x），利用导数求出函数的最值即可，（） 当x（0，2时，原不等式变形为，利用基本不等式，求出m的范围解答：解：（）当x1时，由得x2，所以2x1，当x1时，由x2+3x4得4x1，所以1x1，综上，原不等式的解集是x|2x1；（） 由题意得x2+3xmx2即mxx2+3x+2在1，2上恒成立，（）当x=0
23、时，mxx2+3x+2恒成立，所以mR，（） 当x1，0）时，原不等式变形为，设，因为当x1，0）时，所以g（x）在1，0）上单调递减，当x=1时，g（x）max=g（1）=0，所以m0，（） 当x（0，2时，原不等式变形为，又，当时，所以，综上所述，实数m的取值范围是，点评：本题考查了参数的取值范围，采取的方法是分离参数，利用导数或基本不等式求出函数的最值，培养了学生的转化能力，解决问题的能力，属于难题20各项均为正数的数列an，其前n项和为Sn，且满足a11，6Sn=an2+3an+2（）求数列an的通项公式；（）若数列bn前n项和为Tn，且满足an+1Tn=anTn+19n23n+2问b
24、1为何值时，数列bn为等差数列；（） 求证：考点：数列与不等式的综合；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（）由题意，得，从而an+1an=3，由此能求出an=3n1（）由已知得，数列是以为首项，以1为公差的等差数列，由此能求出b1=2（）由=，能证明解答：（）解：由题意，得得即（an+1+an）（an+1an3）=02分因为an0，所以an+1an=3又n=1时，即（a11）（a12）=0又a11，a1=2所以an=3n14分（）解：由（）及题意，得：即，所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列，6分所以，即，若数列bn为等差数列，则，即T1=2，所以b1=2（此时bn=6n4）8分（
25、）证明：由（）及题意，得：=11分所以故13分点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的首项的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用21设函数f（x）=lnxmx（m0）（）求函数f（x）的单调性；（）判断函数f（x）在区间1，e上的零点个数考点：根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性 专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：（1）先研究函数的定义域，然后根据导数大于零求增区间，导数小于零求减区间，注意分类讨论；（2）结合（1）中函数的单调性，研究函数在该区间上的极值，最值以及端点值的符号，最终确定函数在该区间上零点的个数解答：解：（）
26、由题得，当时，f（x）0；当时，f（x）0，所以函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是，（）由（）知函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，所以函数f（x）在区间1，e上最多有2个零点，而且，f（1）=m0；（）若函数f（x）在区间1，e上有2个零点，则，此不等式组无解，所以不存在m0，使函数f（x）在区间1，e上有2个零点；（） 若函数f（x）在区间1，e上仅有1个零点，则，解得，所以当时，函数f（x）在区间1，e上仅有1个零点，（） 若函数f（x）在区间1，e上无零点，结合（）知，即，则，解得，所以当时，函数f（x）在区间1，e上无零点综上所述，当时，函数f（x）在区间1，e上有1个零点，当时，函数f（x）在区间1，e上无零点点评：本题考查了函数的单调区间的求法，以及利用导数研究函数的极值、最值和端点值，最终确定函数在区间上的零点个数的方法要注意结合图象解决问题
