1、提能拔高限时训练43 空间角一、选择题1.已知三棱锥的三个侧面和底面全等，且AB=AC=，BC=2.则以BC为棱，以平面BDC与平面BDA为面的二面角的大小为( )A. B. C. D.解析:由已知DA=BC，DB=DC=AB=AC.取BC中点E，连结DE、AE，则DEBC,AEBC,AED就是所求二面角的平面角.CE=1,DC=,DE=.同理AE=.又DA=2，AE2+DE2=DA2.AED=90.故选C.答案:C2.一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是,则( )A.P3P2P1 B.P3P
2、2P1C.P3P2P1 D.P3P2P1解析:该题是二面角知识在实际生活中的应用，首先应明确三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都相等，又三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积均相等，由面积射影公式S影=Scos，知屋顶面积P1、P2、P3均相等.答案:D3.ABCDA1B1C1D1为正方体,点P在线段A1C1上运动,异面直线BP与AD1所成的角为,则的范围为( )A.(0,) B.(0, C.(0,) D.(0,解析:取点P的极限位置,即线段A1C1的端点.答案:D4.直线AB与直二面角l的两个半平面分别交于A、B两点,且A、Bl,如果直线AB与、所成的角分别是1、2,则1+2的取值范围是 (
3、)A.01+2 B.1+2=C.1+2 D.01+2解析:过点A在平面内作ACl交l于点C,连结BC,则AC,ABC=2.过点B在内作BDl交l于点D,连结AD,则BD,BAD=1.sin1=sin(90-2)(当且仅当C、D重合时,等号成立),又1,90-2均为锐角,190-2,即1+2.又1+20,故D正确.答案:D5.在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为( )A.- B.- C. D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,2),=(-2,2,0),=(
4、0,1,2).cos, =.答案:D6.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.解析:如图，连结A1B和AB1交于点O，取OB的中点E，连结OE,则OEA1O,OE平面ABC.连结AE,OAE即为AB1与平面ABC所成的角.AO=BO,又A1A=AB,设A1A=a,则AO=a.又AO=,A1O=.OE=.sinOAE=.答案:B7.(理)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )A. B. C. D.解
5、析:连结A1C1交B1D1于O，则A1C1B1D1，从而OC1平面BD1，所以OBC1为BC1与平面BD1所成的角，易得OC1=A1C1=2，BC1=5，所以sinOBC1=.答案:D(文)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( )A. B. C. D.解析：显然，AA1平面A1B1C1D1，故C1AC为AC1与平面A1B1C1D1所成的角.易得AC=22,AC1=3,所以sinC1AC=.答案:D8.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大
6、小为( )A.90 B.60 C.45 D.30解析:当平面DAC平面ABC时,VDABC最大,取AC的中点O,连结DO、OB.DO平面ABC.DBO为BD与平面ABC所成的角.DBO=45.答案:C9.已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为( )A. B. C. D.解析:连结A1C1交B1D1于点O，则C1O平面DBB1D1.连结OB,则C1BO即为所求.BC1=20,C1O=,sinC1BO=.故选C.答案:C10.正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱AB的中点，则二面角CA1EB的正切值为( )A. B. C
7、. D.2解析:如图所示，过点B作A1E的延长线的垂线，垂足为M，连结CM，由CB平面ABB1A1,得CMA1E，所以CMB就是二面角CA1EB的平面角，设CB=2a,则BM=EBsinBEM=aa,在RtCMB中，tanCMB=，故应选B.答案:B二、填空题11.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是_.解析:如图，取AC的中点D，连结BD、C1D，由已知，得BDAC.在正三棱柱ABCA1B1C1中，BD平面AC1,DC1为BC1在平面AC1上的射影.BC1D即为所求角.易知BD=,C1B=,sinBC1D=.BC1D=.答
8、案:12.若ACB=90在平面内,PC与CA、CB所成的角PCA=PCB=60,则PC与平面所成的角为_.解析:作PO于点O,则CO平分ACB,BCO=45,作ODBC于点D,则PDBC.于是CD=PCcos60=PC,CO=PC,cosPCO= =,即PCO=45.或由cos60=coscos45=45(为PC与平面所成的角).答案:4513.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,过顶点B、D、C1作截面,则二面角BDC1C的大小是_.(用反三角函数值表示)解析:如图所示,过点C作C1D的垂线交C1D于点E,连结EB,则BC是平面C1D的垂线,CE是BE在平面CC1D1D内的射影.由三
9、垂线定理BEC1D,则CEB为二面角BC1DC的平面角,设正方体棱长为1,在BEC中,设BEC=,BCE=90,CE=,BE=,cos=.=arccos.答案:arccos14.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为_.解析:如图,作AECD,正三棱柱ABCA1B1C1中，B1D平面A1ACC1，则B1DAE，又因为CDDB1=D，AE平面B1DC，则ADC就是直线AD与平面B1DC所成的角，设正三棱柱棱长为2，则DC=，AD=，AC=2.在ACD中,由余弦定理,得cosADC=,即直线AD与平面B1DC所成的角的正弦
10、值为.答案:三、解答题15.如图，在体积为1的直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=BC=1.求直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.解法一:由题意,可得体积V=CC1SABC=CC1ACBC=CC1=1,AA1=CC1=2.连结BC1.A1C1B1C1,A1C1CC1,A1C1平面BB1C1C.A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角.又BC1=,tanA1BC1=.则A1BC1=arctan.故直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan.解法二:由题意,可得体积V=CC1SABC=CC1ACBC=CC1=1,CC1=2.如图,建
11、立空间直角坐标系,得点B(0,1,0),C1(0,0,2),A1(1,0,2),则=(-1,1,-2),平面BB1C1C的法向量为n=(1,0,0).设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为,与n的夹角为,则cos=,sin=|cos|=,=arcsin.故直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arcsin.16.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2,PAB=60.(1)证明AD平面PAB;(2)求异面直线PC与AD所成的角的大小;(3)求二面角PBDA的大小.解:(1)证明:如图,在PAD中,由题设PA=2,AD=2,PD=,可得PA
12、2+AD2=PD2,所以ADPA.在矩形ABCD中,ADAB,又PAAB=A,所以AD平面PAB.(2)由题设BCAD,所以PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角.在PAB中,由余弦定理,得PB=.由(1)知AD平面PAB,PB平面PAB,所以ADPB.因而BCPB,于是PBC是直角三角形,故tanPCB=.所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan.(3)过点P作PHAB于点H,过点H作HEBD于点E,连结PE.因为AD平面PAB,PH平面PAB,所以ADPH.又ADAB=A,因而PH平面ABCD,故HE为PE在平面ABCD内的射影,由三垂线定理可知BDPE,从而PEH是二面
13、角PBDA的平面角.由题设可得PH=PAsin60=,AH=PAcos60=1,BH=AB-AH=2,BD=,HE=BH=,于是在RtPHE中，tanPEH=,所以二面角PBDA的大小为arctan.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】如图,PA平面ABC,ACB=90且PA=AC=BC=a,则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_.解:方法一:构造正方体如下图,PBD即为所求.在RtPBD中,tanPBD=.方法二:过B作BDAC,连结PD,PBD即为所求,易证BDPD,在RtBDP中,tanPBD=(或用余弦定理).答案：【例2】矩形ABCD中,AB=6,BC=,沿对角线BD将三角形AB
14、D向上折起,使点A移动到点P,且点P在平面BCD上的射影在DC上(如图).(1)求证:PDPC;(2)求二面角PDBC的大小;(3)求直线CD与平面PBD所成角的大小.(1)证明:四边形ABCD为矩形,BCCD,DAAB.A点移动到了P点,PDPB.又P点在平面BCD上的射影在CD上,过P点作PFCD,则PF平面BCD.于是BC平面PCD,BCPD.PD平面PBC,得PDPC.(2)解:由PF平面BCD,过点F作EFBD,连结PE,故PEF为二面角PBDC的平面角.PDPC,则CPD为直角三角形,由PD=,CD=6,得PC=.PF=.又在RtDPB中,PD=,PB=6,BD=,PE=3.于是sinPEF=,故PEF=arcsin.(3)解:过F点作FGPE;由(2)可知,FG平面PDB,连结GD,GDF为直线CD与平面PDB所成的角.在RtPDF中,PD=,PF=,DF=2.在RtPFE中,PF=,PE=3,EF=1.FG=.sinGDF=.GDF=arcsin.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
