1、 2020 年高考天津卷数学真题试卷（含答案）第卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分参考公式：如果事件 A 与事件 B 互斥，那么()()()P ABP AP B如果事件 A 与事件 B 相互独立，那么()()()P ABP A P B球的表面积公式24SR，其中 R 表示球的半径一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 3,2,1,0,1,2,3U ，集合 1,0,1,2,3,0,2,3AB ，则UAB A 3,3B0,2C 1,1D
2、 3,2,1,1,3 2设aR，则“1a ”是“2aa”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3函数241xyx的图象大致为ABCD4从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为 9 组：5.31,5.33),5.33,5.35),5.45,5.47),5.47,5.49，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间5.43,5.47)内的个数为A10B18C20D365若棱长为2 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A12B24C36D1446设0.70.80.713,(),log0.83abc，则,a b
3、c 的大小关系为AabcBbacCbcaDcab7设双曲线C 的方程为22221(0,0)xyabab，过抛物线24yx的焦点和点(0,)b 的直线为l 若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A22144xyB2214yx C2214xyD221xy8已知函数()sin()3f xx给出下列结论：()f x 的最小正周期为2；()2f是()f x 的最大值；把函数sinyx的图象上所有点向左平移 3个单位长度，可得到函数()yf x的图象其中所有正确结论的序号是AB C D 9已知函数3,0,(),0.xxf xx x 若函数2()()2()g xf xkx
4、x kR 恰有 4 个零点，则k 的取值范围是A1(,)(2 2,)2 B1(,)(0,2 2)2 C(,0)(0,2 2)D(,0)(2 2,)第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2本卷共 11 小题，共 105 分二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分 10i 是虚数单位，复数 8i2i _11在522()xx的展开式中，2x 的系数是_12已知直线380 xy和圆222(0)xyr r相交于,A B 两点若|6AB，则r 的值为_13已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 12和 13
5、假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_14已知0,0ab，且1ab，则 11822abab的最小值为_15如图，在四边形 ABCD中，60,3BAB，6BC，且3,2ADBCAD AB，则实数的值为_，若,M N 是线段 BC 上的动点，且|1MN ，则 DM DN的最小值为_ 三解答题：本大题共 5 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16（本小题满分 14 分）在ABC中，角,A B C 所对的边分别为,a b c 已知2 2,5,13abc（）求角C 的大小；（）求sin A 的值；（）求sin(2)4
6、A的值17（本小题满分 15 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，1CC 平面,2ABC ACBC ACBC，13CC，点,DE分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,ADCEM为棱11AB 的中点（）求证：11C MB D；（）求二面角1BB ED的正弦值；（）求直线 AB 与平面1DB E 所成角的正弦值18（本小题满分 15 分）已知椭圆22221(0)xyabab的一个顶点为(0,3)A，右焦点为 F，且|OAOF，其中O 为原 点（）求椭圆的方程；（）已知点C 满足3OCOF，点 B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线 AB 与以C 为圆心的圆相切于点 P，且 P 为线段 A
7、B 的中点求直线 AB 的方程19（本小题满分 15 分）已知 na为等差数列，nb为等比数列，115435431,5,4abaaabbb（）求 na和 nb的通项公式；（）记 na的前n 项和为nS，求证：2*21nnnS SSnN；（）对任意的正整数n，设21132,.nnnnnnnabna acanb 为奇数为偶数求数列 nc的前2n 项和20（本小题满分 16 分）已知函数3()ln()f xxkx kR，()fx为()f x 的导函数（）当6k 时，（i）求曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程；（ii）求函数9()()()g xf xfxx的单调区间和极值；（）当3k 时，
8、求证：对任意的12,1,)x x ，且12xx，有1212122fxfxf xf xxx 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学参考解答一选择题：每小题 5 分，满分 45 分 1C2A3A4B5C6D7D8B9D二填空题：每小题 5 分，满分 30 分试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分 103 2i111012513 16；2314415 16；132三解答题 16满分 14 分（）解：在ABC中，由余弦定理及2 2,5,13abc，有2222cos22abcCab又因为(0,)C，所以4C（）解：在ABC中，由正弦定理及,2 2,134Cac
9、，可得sin2 13sin13aCAc（）解：由ac及2 13sin13A，可得23 13cos1 sin13AA，进而2125sin 22sincos,cos22cos11313AAAAA 所以，1225217 2sin(2)sin 2 coscos2 sin44413213226AAA17满分 15 分依题意，以C 为原点，分别以1,CA CB CC 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)CABC，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)ABDE，(1,1,3)M（）
10、证明：依题意，1(1,1,0)C M，1(2,2,2)B D，从而112200C M B D，所以11C MB D（）解：依题意，(2,0,0)CA 是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB，(2,0,1)ED 设(,)x y zn为平面1DB E 的法向量，则10,0,EBED nn即 20,20.yzxz不妨设1x，可得(1,1,2)n因此有|6cos,6|ACACCA nnn，于是30sin,6CA n所以，二面角1BB ED的正弦值为306（）解：依题意，(2,2,0)AB 由（）知(1,1,2)n为平面1DB E 的一个法向量，于是3cos,3|ABABAB nnn所以，
11、直线 AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为3318满分 15 分（）解：由已知可得3b 记半焦距为c，由|OFOA可得3cb又由222abc，可得218a 所以，椭圆的方程为221189xy（）解：因为直线 AB 与以C 为圆心的圆相切于点 P，所以 ABCP依题意，直线 AB 和直线CP的斜率均存在设直线 AB 的方程为3ykx由方程组223,1,189ykxxy消去 y，可得2221120kxkx，解得0 x，或21221kxk.依题意，可得点 B 的坐标为2221263,21 21kkkk因为 P 为线段 AB 的中点，点 A 的坐标为(0,3)，所以点 P 的坐标为2263,21
12、21kkk由3OCOF，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121kkk，即23261kk又因为 ABCP，所以231261kkk，整理得22310kk，解得12k，或1k 所以，直线 AB 的方程为132yx，或3yx19满分 15 分（）解：设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为 q 由11a ，5435aaa，可得1d ，从而 na的通项公式为nan由15431,4bbbb，又0q，可得2440qq，解得2q，从而 nb的通项公式为12nnb（）证明：由（）可得(1)2nn nS，故21(1)(2)(3)4nnS Sn nnn，22211(1)24n
13、Snn，从而2211(1)(2)02nnnS SSnn，所以221nnnS SS（）解：当n 为奇数时，111232(32)222(2)2nnnnnnnnabnca an nnn；当n 为偶数时，1112nnnnancb对任意的正整数n，有222221112221212121kknnnkkkckkn，和22311211352144444nnkknkkknc由得22311113232144444nknnknnc由得22111211312221121441444444414nnknnnknnc，从而得2156599 4nknknc因此，22121114654219 49nnnnkkknkkkncc
14、cn 所以，数列 nc的前2n 项和为4654219 49nnnn20满分 16 分（）（i）解：当6k 时，3()6lnf xxx，故26()3fxxx可得(1)1f，(1)9f，所以曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为19(1)yx，即98yx（ii）解：依题意，323()36ln,(0,)g xxxxxx 从而可得2263()36g xxxxx，整理可得323(1)(1)()xxg xx令()0g x，解得1x 当 x 变化时，(),()g x g x的变化情况如下表：x(0,1)1(1,)()g x-0+()g x极小值所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调
15、递增区间为(1,)；()g x 的极小值为(1)1g，无极大值（）证明：由3()lnf xxkx，得2()3kfxxx对任意的12,1,)x x ，且12xx，令12(1)xt tx，则1212122xxfxfxf xf x22331121212122332ln xkkxxxxxxkxxx3322121121212212332 lnxxxxxx xx xkkxxx332213312lnxtttk ttt 令1()2ln,1,)h xxx xx 当1x 时，22121()110h xxxx，由此可得()h x 在 1,)单调递增，所以当1t 时，()(1)h th，即12ln0ttt 因为21x ，323331(1)0,3ttttk ，所以，332322113312ln(331)32lnxtttk ttttttttt 2336ln31tttt 由（）（ii）可知，当1t 时，()(1)g tg，即 32336ln1tttt，故23336ln10tttt 由可得12121220 xxfxfxf xf x所以，当3k 时，对任意的12,1,)x x ，且12xx，有1212122fxfxf xf xxx
