1、2020-2021学年湖南省岳阳市岳阳县一中高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，共40分）.1已知i为虚数单位，（1i）z2，则复平面上z对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知为单位向量，当向量，的夹角等于30时，向量在向量上的投影向量为（）ABCD3设0x，记asinx，besinx，clnsinx，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCacbDcab4从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（）ABCD5在ABC中，若BC8，cosBAC，则ABC外接圆的直径
2、为（）A3B6C12D246九章算术中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF，其中ABDCEF，“羡除”形似“楔体”“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a，b，c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n（如图）已知a3，b2，c1，m2，n1，则此“羡除”的体积为（）A2B3CD7已知函数f（x）sinxcosx+sin2xcos2x，则下列结论正确的是（）Af（x）的图象关于点（，0）对称Bf（x）在上的值域为，2C若f（x1）f（x2）2，则x1x22k，kZD将f（x）的图象向右平移个单位得g（x）2cos2x的图象8已知球O的
3、半径，三棱锥PABC内接于球O，PA平面ABC，且PAACBC3，则三棱锥PABC的体积为（）ABCD二、选择题（共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分。部分选对的得2分）9某集团公司经过五年的产业结构调整，优化产业结构使集团营业收入不断增长，公司今年的年收入比五年前翻了两番为了更好地分析各工厂的产值变化情况，统计前后产值占比情况，得到如图所示的饼图：则下列结论正确的是（）A产业结构调整后生物制药的收入增幅最快B产业结构调整后食品加工的收入是超过调整前金融产业的收入C产业结构调整后机械加工的收入是五年前的总收入D产业结构调整后金融产业收入相比调整前
4、金融产业收入略有降低10已知平面向量，都是单位向量，且0，则（）（）的值可能为（）A0B1C1D211已知函数f（x），下面说法正确的有（）Af（x）图象关于原点对称Bf（x）的图象关于y轴对称Cf（x）的值域为（1，1）Dx1，x2R，且x1x2，0恒成立12如图，直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，CD2，ABBC1E是边CD中点，将ADE沿AE翻折，得到四棱锥D1ABCE，在翻折的程中，下列说法正确的是（）ABC面AD1EBAECD1C三棱锥D1ABC体积的最大值是D点C到面ABD1距离的最大值是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好
5、三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n的值为 14甲乙两人进行乒乓球比赛，采取“5局3胜制”，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立，则恰好4局决出胜负的概率为 15若函数f（x）2lnx+x2+a2在上（1，e）有零点，则实数a的取值范围为 16已知四面体ABCD中，二面角ABCD的大小为60，且AB2，CD4，CBD120，则四面体ABCD体积的最大值是 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知|4，（1，）（1）若，求的坐标；（2）
6、若与的夹角为120，求|18设函数f（x）sin（x）+sin（x），其中03，已知f（）0（）求；（）将函数yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）的图象，求g（x）在，上的最小值19如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离20某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20，30），
7、30，40），80，90，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例21ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC1，a3，求ABC的周长22为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需
8、投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入可变成本C（x）万元，在年产量不足8万件时，C（x）x2+3x（万元），在年产量不小于8万件时，C（x）8x+37（万元）每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完（1）写出年利润f（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入一固定成本一可变成本）；（2）年产量x为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？参考答案一、选择题：（共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1已知i为虚数单位，（1i）z2，则复平面上z对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：首先
9、由（1i）z2求得z1+i，对应点为（1，1），在第一象限故选：A2已知为单位向量，当向量，的夹角等于30时，向量在向量上的投影向量为（）ABCD解：由定义可得向量在向量上的投影为2，所以向量在向量上的投影向量为2，故选：A3设0x，记asinx，besinx，clnsinx，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCacbDcab解：0x，0sinx1，则lnsinx0，1esinxe，即c0，0a1，1be，故cab，故选：D4从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（）ABCD解：抽得的两张
10、卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是故选：B5在ABC中，若BC8，cosBAC，则ABC外接圆的直径为（）A3B6C12D24解：因为cosBAC，BC8，所以sinBAC，则由正弦定理可得ABC外接圆的直径的值为6故选：B6九章算术中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF，其中ABDCEF，“羡除”形似“楔体”“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a，b，c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n（如图）已知a3，b2，c1，m2，n1，则此“羡除”的体积为（）A2B3CD解：如图，在AB上取点G，在CD上取点H，使BGCHEF
11、1，连接GH，GE，EH，则AG2，DH1，此“羡除”的体积为：VVEAGHD+VEHGFBC+2故选：A7已知函数f（x）sinxcosx+sin2xcos2x，则下列结论正确的是（）Af（x）的图象关于点（，0）对称Bf（x）在上的值域为，2C若f（x1）f（x2）2，则x1x22k，kZD将f（x）的图象向右平移个单位得g（x）2cos2x的图象解：，A选项，所以A选项错误B选项，当时，f（x）1，2，所以B选项错误C选项，因为f（x）的最小正周期为，所以x1x2k，kZ，所以C选项错误D选项，所以D选项正确故选：D8已知球O的半径，三棱锥PABC内接于球O，PA平面ABC，且PAACB
12、C3，则三棱锥PABC的体积为（）ABCD解：设底面三角形ABC的外接圆的圆心为G，三棱锥的外接球的球心为O，连接OG，OC，GC，则OGC为直角三角形，由题意可得，OC，OGPA，设底面三角形ABC外接圆的半径为r，则在ABC中，由正弦定理可得：sinABC，延长CG交AB于D，ACBC，CDAB，且D为AB的中点，可得CDBCsinABC2BD，则AB2BD，三棱锥PABC的体积为V故选：A二、选择题：（共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分。部分选对的得2分）9某集团公司经过五年的产业结构调整，优化产业结构使集团营业收入不断增长，公司今年的年
13、收入比五年前翻了两番为了更好地分析各工厂的产值变化情况，统计前后产值占比情况，得到如图所示的饼图：则下列结论正确的是（）A产业结构调整后生物制药的收入增幅最快B产业结构调整后食品加工的收入是超过调整前金融产业的收入C产业结构调整后机械加工的收入是五年前的总收入D产业结构调整后金融产业收入相比调整前金融产业收入略有降低解：公司今年的年收入比五年前翻了两番，设五年前年收入为a，则今年的年收入为22a4a，根据饼形图得五年前金融产业产值为0.45a，机械加工产业产值为0.15a，食品加工产业产值为0.18a，生物制药产业产值为0.22a，今年金融产业产值为0.6a，机械加工产业产值为a，食品加工产业
14、产值为0.6a，生物制药产业产值为1.8a，由以上数据计算得到产业结构调整后生物制约的收入增幅最快，故A正确；产业结构调整后食品加工产业收入的调整前金融产业收入的，故选项B正确；产业结构调整后机械加工的收入是五年前的总收入，故C正确；产业结构调整后金融产业收入相比调整前金融产业收入略有升高，故D错误故选：ABC10已知平面向量，都是单位向量，且0，则（）（）的值可能为（）A0B1C1D2解：由题意，可知：|+|+22，则|，所以（）（）+0+1（）1|cos，1cos，0，1cos，1，+11cos，+1，+1（）（）+1，0，1，2均在取值范围内，属于可能的值，故选：ABD11已知函数f（x
15、），下面说法正确的有（）Af（x）图象关于原点对称Bf（x）的图象关于y轴对称Cf（x）的值域为（1，1）Dx1，x2R，且x1x2，0恒成立解：A函数的定义域为R，f（x）f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，故A正确，B错误Cf（x）1，2x0，1+2x1，01，02，20，111，即1f（x）1，即函数f（x）的值域为（1，1），故C正确，Df（x）1，y1+2x为增函数，y为减函数，y为增函数，y1为增函数，则x1，x2R，且x1x2，0恒成立，故D错误，故正确的是AC，故选：AC12如图，直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，CD2，ABBC1E是边CD中点，将ADE沿
16、AE翻折，得到四棱锥D1ABCE，在翻折的程中，下列说法正确的是（）ABC面AD1EBAECD1C三棱锥D1ABC体积的最大值是D点C到面ABD1距离的最大值是解：由题意，CECDAB1，且ABCE，四边形ABCE是平行四边形，又ABC90，四边形ABCE是正方形，BCAE，且BC平面AD1E，AE平面AD1E，BC平面AD1E，即A正确；在梯形ABCD中，AECD，翻折过程中，AECE，AEED1，CEED1E，AE平面CED1，CD1平面CED1，AECD1，即B正确；在翻折过程中，当D1E平面ABCE时，三棱锥D1ABC的体积最大，该三棱锥体积的最大值V，即C错误，作D1MCE，垂足为M
17、，作MNAB，垂足为N，连接D1N，由AE平面CED1，可得AED1M，AEECE，且AE、EC平面ABCE，D1M平面ABCE，而AB平面ABCE，D1MAB，又ABMN，且MN、D1M平面MND1，AB平面MND1，AB平面ABCE，平面D1MN平面ABCE，在MND1中，作MHD1N于H，平面D1MN平面ABCED1N，MH平面D1AB由题意可知CE平面D1AB，可知MH为点C到到面ABD1距离，设D1Mx，则0xD1E，即0x1在D1MN中，D1MN90，MN1，MH，函数y在（0，1上单调递减，当x1时取得最大值点C到到面ABD1距离的最大值为，故D正确故选：ABD三、填空题：本题共
18、4小题，每小题5分，共20分。13某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n的值为 26解：因为书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，所以得到武术小组占总人数的比值为，因为武术小组中抽取了6名学生，根据分层抽样的特点可得，解得n26故答案为：2614甲乙两人进行乒乓球比赛，采取“5局3胜制”，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立，则恰好4局决出胜负的概率为 解：甲乙两人进行乒乓球比赛，采取“5局3胜制”，每场比赛
19、甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立，恰好4局决出胜负的情况是：前3局甲2胜1负，第4局甲胜或前3局乙2胜1负，第4局乙胜，则恰好4局决出胜负的概率为：P故答案为：15若函数f（x）2lnx+x2+a2在上（1，e）有零点，则实数a的取值范围为（e2，1）解：函数f（x）2lnx+x2+a2在（1，e）上是增函数，所以函数f（x）2lnx+x2+a2在（1，e）上有零点，可得（1+a2）（2+e2+a2）0，解得：e2a1，则实数a的取值范围为：（e2，1）故答案为：（e2，1）16已知四面体ABCD中，二面角ABCD的大小为60，且AB2，CD4，CBD120，则四面体A
20、BCD体积的最大值是 解：在BCD中，由余弦定理可得CD2BC2+BD22BCBDcos120，即42BC2+BD2+BCBD2BCBD+BCBD3BCBD，BCBD，当且仅当BCBD时取等号，SBCDBCBDsin120，又二面角ABCD的大小为60，点A到平面BCD的距离的最大值为h2sin60，故四面体ABCD体积的最大值为，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知|4，（1，）（1）若，求的坐标；（2）若与的夹角为120，求|解：（1）设（x，y），则，解得或，所以（2，2）或（2，2）；，|+|216+4+828，18设函数f（x
21、）sin（x）+sin（x），其中03，已知f（）0（）求；（）将函数yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）的图象，求g（x）在，上的最小值解：（）函数f（x）sin（x）+sin（x）sinxcoscosxsinsin（x）sinxcosxsin（x），又f（）sin（）0，k，kZ，解得6k+2，又03，2；（）由（）知，f（x）sin（2x），将函数yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数ysin（x）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到ysin（x+）的图象，函数yg（x）sin
22、（x）；当x，时，x，sin（x），1，当x时，g（x）取得最小值是19如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离【解答】解法一：证明：（1）连结B1C，ME，M，E分别是BB1，BC的中点，MEB1C，又N为A1D的中点，NDA1D，由题设知A1B1DC，B1CA1D，MEND，四边形MNDE是平行四边形，MNED，又MN平面C1DE，MN平面C1DE解：（2）过C作C1E的垂线，垂足为H，由已知可得DEBC，DEC1C，DE平面C1CE，故DECH
23、，CH平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，由已知可得CE1，CC14，C1E，故CH，点C到平面C1DE的距离为解法二：证明：（1）直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点DD1平面ABCD，DEAD，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，M（1，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0，0），C1（1，4），（0，0），（1，），（0，），设平面C1DE的法向量（x，y，z），则，取z1，得（4，0，1），0，MN平面C1DE，MN平面C1DE解：（2）C（1
24、，0），（1，0），平面C1DE的法向量（4，0，1），点C到平面C1DE的距离：d20某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20，30），30，40），80，90，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例解：（）由频率分布直方图知：分数小于70
25、的频率为：1（0.04+0.02）100.4故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间40，50）内的频率为：1（0.04+0.02+0.02+0.01）100.050.05，估计总体中分数在区间40，50）内的人数为4000.0520人，（）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为
26、：3：221ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC1，a3，求ABC的周长解：（1）由三角形的面积公式可得SABCacsinB，3csinBsinA2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA2sinA，sinA0，sinBsinC；（2）6cosBcosC1，cosBcosC，cosBcosCsinBsinC，cos（B+C），cosA，0A，A，2R2，sinBsinC，bc8，a2b2+c22bccosA，b2+c2bc9，（b+c）29+3cb9+2433，b+c周长a+b+c3+22为了响应国家提出的“大
27、众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入可变成本C（x）万元，在年产量不足8万件时，C（x）x2+3x（万元），在年产量不小于8万件时，C（x）8x+37（万元）每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完（1）写出年利润f（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入一固定成本一可变成本）；（2）年产量x为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）当0x8时，f（x），当x8时，（2）当0x8时，f（x），当x6时，f（x）取得最大值f（6）10，当x8时，当且仅当x时，即x10，等号成立，f（x），当且仅当x10时，f（x）15，故当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元
