1、提升考能、阶段验收专练卷(三)数列、不等式、推理与证明(时间：80 分钟 满分：120 分).小题提速练(限时 35 分钟)填空题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1(2016南京师大附中月考)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a2a46，则 S5_.解析：由等差中项可得 a2a4a1a5，所以 S55a1a5215.答案：152一个由正数组成的等比数列，它的前 4 项和是前 2 项和的 5 倍，则此数列的公比为_解析：由题意知 an0，S45S2，显然公比 q1，且 q0，所以a11q41q5a11q21q，即 q45q240，解得 q24 或 q21(舍去)，又 q
2、0，所以 q2.答案：23观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第 n 个等式为_解析：观察这些等式，第一个等式左边 1 个数，从 1 开始；第二个等式左边 3 个数相加，从 2 开始；第三个等式左边 5 个数相加，从 3 开始；第 n 个等式左边是 2n1 个数相加，从 n 开始等式的右边为左边 2n1 个数的中间数的平方，故第 n 个等式为 n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)24(2016苏州测试)若等差数列an前 n 项和 Sn 有最大值，且a11a121，则当 Sn 取最大值时，n 的值为_解析：由等差数
3、列的前 n 项和有最大值，可知 d0，再由a11a121，知 a110，a120，从而使 Sn 取最大值的 n11.答案：115若关于 x 的不等式 x2ax6a0 有解且解的区间长度不超过 5 个单位长度，则 a的取值范围是_解析：由 x2ax6a0 有解得 a224a0，由解的区间长度不超过 5 个单位长度，得 a224a5，由得25a24 或0a1.答案：25，24)(0,16已知等差数列an中，有a11a12a2010a1a2a3030，则在等比数列bn中，会有类似的结论：_.解析：由等比数列的性质可知 b1b30b2b29b11b20，10 b11b12b2030 b1b2b30.答
4、案：10 b11b12b2030 b1b2b307若正数 x，y 满足 4x29y23xy30，则 xy 的最大值是_解析：由 x0，y0，得 4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当 2x3y 时等号成立)，12xy3xy30，即 xy2，xy 的最大值为 2.答案：28(2016南京调研)已知不等式组xy1，xy1，y0所表示的平面区域为 D，若直线 ykx3 与平面区域 D 有公共点，则 k 的取值范围为_解析：满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示因为直线ykx3 过定点(0，3)，所以当 ykx3 过点 C(1,0)时，k3；当 ykx3 过点 B(1,0)时，k3，所
5、以 k3 或 k3 时，直线 ykx3 与平面区域 D 有公共点答案：(，33，)9(2016苏州调研)已知数列an满足 an1an2 an为偶数，an2nan为奇数.若 a31，则 a1 的所有可能取值为_解析：当 a2 为奇数时，a3a241，a25；当 a2 为偶数时，a312a21，a22；当 a1 为奇数时，a2a125，a17，或 a2a122，a14(舍去)；当 a1 为偶数时，a212a15，a110，或 a212a12，a14.综上，a1 的可能取值为 4,7,10.答案：4,7,1010观察下列各式：322723 27，33 32633326，34 4634 3463，若3
6、99m93 9m，则 m_.解析：由于322723 27可改写为322231232231；33 32633326可改写为333331333331；34 46343463可改写为344431434431，由此可归纳出：399m93 9m中，m9317291728.答案：72811已知函数 f(x)(ax1)(xb)，如果不等式 f(x)0 的解集是(1,3)，则不等式 f(2x)0 的解集是_解析：由 f(x)0，得 ax2(ab1)xb0，又其解集是(1,3)，a0，且1aba2，ba3，解得 a1 或 a13(舍去)，a1，b3，f(x)x22x3，f(2x)4x24x3，由4x24x30，
7、得 4x24x30，解得 x12或 x32.答案：，32 12，12(2016洛阳一测)若关于 x 的不等式 ax2|x|2a0 的解集为空集，则实数 a 的取值范围为_解析：当 a0 时，不等式为|x|0，令 t|x|，则原不等式等价于 at2t2a0(t0)，所以 a0 的解集为(1,3)时，求实数 a，b 的值；(2)若对任意实数 a，f(2)0，即3x2a(5a)xb0，3x2a(5a)xb0，3a5ab0，273a5ab0，解得a2，b9或a3，b9.(2)f(2)0，即122a(5a)b0 对任意实数 a 恒成立，1008(12b)0，b12.实数 b 的取值范围为，12.15(本
8、小题满分 16 分)已知数列an的前 n 项和 Sn2n2，bn为等比数列，且 a1b1，b2(a2a1)b1.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn.解：(1)Sn2n2，a12，n2 时，anSnSn12n22(n1)24n2，当 n1 时，上式也成立，an4n2，nN*.b1a1，b2(a2a1)b1，b12，b212，又 bn 为等比数列，公比 q14，bnb1qn12 14n1 24n1.(2)由(1)得 cn4n224n1(2n1)4n1，则 Tn140341542(2n3)4n2(2n1)4n1，4Tn141342543(2n3)
9、4n1(2n1)4n.所以3Tn124142434n1(2n1)4n12414n114(2n1)4n6n54n353.所以 Tn6n54n959.16(本小题满分 16 分)在数列 an 中，a11，a12a23a3nann12 an1(nN*)(1)求数列 an 的通项 an；(2)若存在 nN*，使得 an(n1)成立，求实数 的最小值解：(1)令 bnnan，bn 的前 n 项和为 Sn，则 Sn12bn1，Sn112bn(n2)，两式相减得bn1bn 3.又 b1a11，在条件式中令 n1,2，得 a21，a32，b22a22，bnb23n223n2.an1，n1，2n3n2，n2.(2)an(n1)ann1，由(1)可知当 n2 时，ann1 23n2nn1，设 f(n)nn123n2(n2，nN*)，则 f(n1)f(n)n11n3n1 1fn(n2)，又 1f213及a12 12，所以所求实数 的最小值为13.
