1、四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用诱导公式,将所求角的余弦值转化为之间的角的余弦值,根据特殊角的三角函数值得出正确选项.【详解】依题意,故选C.【点睛】本小题主要考查诱导公式,考查特殊角的三角函数值,属于基础题.2.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据余弦的和角公式,逆用得到三角函数值,应用诱导公式即可求解【详解】由余弦的和角公式可得 所以选C【点睛】本题考查了余弦函数的和角
2、公式逆应用,应用诱导公式求三角函数值,属于基础题3.若,则下列不等式成立的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合不等式的性质,利用特殊值法确定.【详解】当排除A,B当排除C故选:D【点睛】本题主要考查了不等式的性质,特殊值法,还考查了特殊与一般的思想,属于基础题.4.已知点A(1,2),B(3,7),向量,则A. ,且与方向相同B. ,且与方向相同C. ,且与方向相反D. ,且与方向相反【答案】D【解析】分析:求出向量,利用向量共线的性质列方程求出,然后判断两个向量的方向即可得结果.详解:因为,所以,可得,解得,与方向相反,故选D.点睛:本题考查斜率共线,向量的坐标运算
3、,是基础题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点,主要命题方式有两个:(1)两向量平行,利用解答;(2)两向量垂直,利用解答.5.在等比数列中,则=( )A. 8B. 10C. 14D. 16【答案】D【解析】【分析】设出等比数列的公比后,利用等比数列的通项公式运算可得.【详解】设等比数列的公比为,由,可得,可得,可得,所以,所以.故选.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及运算求解能力.属于基础题.6.已知cos,且为第二象限角,则sin2的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得的值,再利用二倍角公式求得的值【详解】解:,且为第二象限角
4、,则,故选B【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用,属于基础题7.己知函数的最小值为,最大值为,若,则数列是( )A. 公差不为0的等差数列B. 公比不为1的等比数列C. 常数数列D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】先根据判别式法求出的取值范围,进而求得和的关系,再展开算出分析即可.【详解】设,则,因为,故,故二次函数,整理得,故与为方程的两根,所以为常数.故选C.【点睛】本题主要考查判别式法求分式函数范围的问题,再根据二次函数的韦达定理进行求解分析即可.8.函数具有性质( )A. 最大值为,图象关于直线对称B. 最大值为,图象关于直线对称C. 最大值为,图象关于对
5、称D. 最大值为,图象关于对称【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式和辅助角公式对函数解析式化简整理后,可得函数的最小值,利用三角函数的对称性求得函数的对称点.【详解】所以函数的最大值为,排除B,D令求得,函数关于对称.所以C选项是正确的【点睛】本题主要考查了三角函数的基本性质,对称性和最值性.解题的关键是对函数解析式的化简整理.进而利用好三角函数的基本性质.9.将函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象关于点对称,则等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用辅助角公式将函数的解析式化简,并求出平移变换后的函数解析式,由变换后的函数图象关于点对称,可得出的表达式,结合
6、的范围可求出的值.【详解】,将函数的图象向左平移个单位后,所得图象函数解析式为,由于函数的图象关于点对称,则,得,.故选:B.【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数值,同时也考查了三角函数图象的平移变换,根据对称性得出参数的表达式是解题的关键,考查推理能力与计算能力,属于中等题.10.已知中,则的形状为( )A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 无法确定.【答案】C【解析】【分析】首先根据两角和差的正弦公式和二倍角公式可得,然后再分和两种情况讨论,即可得到结果.【详解】因为,由两角和差的正弦公式可得,所以,若,即时,此时是直角三角形;若,即,所以,所以是等腰
7、三角形;综上,是等腰三角形或直角三角形;故选:C.【点睛】本题主要考查了两角和差的正弦公式和二倍角公式的应用,以及三角形形状的判断,属于基础题.11.如图:D, C,B三点在地面同一直线上,DC,从C,D两点测得A点仰角分别是,(),则A点离地面的高度AB等于( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析:在中,由正弦定理得,在中,选A.考点: 正弦定理的应用.12.已知函数是定义在上的偶函数,当时,则函数的零点个数为( )A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】D【解析】求函数的零点个数只需考查方程的实根个数,当时, ,在上递减,在上递增,值域为.当时, 当时,函数的值域为,当
8、时,函数的值域为,当时,函数的值域为, 在上有个实根,又函数为偶函数, 在上有10个实根,函数的零点个数为10个,选D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量,且,的夹角为,则在方向上的投影为_.【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义,进行计算即可【详解】解:向量与的夹角为,且,向量在方向上的投影为故答案为:【点睛】本题考查了平面向量数量积定义与投影的计算问题,属于基础题14.三角形中,边的长为,则边的长为_.【答案】4【解析】【分析】利用三角形内角和定理先求的值,再根据正弦定理求得【详解】,又,由正弦定理:,可得:故答案为4【点睛】本题考查三角形
9、内角和定理,正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题15.已知各项都为正数的数列,对任意的,恒成立,且,则_【答案】21【解析】因为,所以,数列为等比数列,由,得 ,. 点睛:1在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若mnpq,则amanapaq”,可以减少运算量,提高解题速度2等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口16.关于函数,有以下四个命题:函数在区间上是单调增函数;函数的图象关于直线对称;函数的定义域为;函数的值域为.其中所有正确命题的序号
10、是_.【答案】【解析】【分析】利用函数的单调性判断的正误;利用函数的对称性判断的正误;求出函数的定义域判断的正误;由函数的值域判断的正误.【详解】函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以正确;函数,函数的图象关于直线对称,所以正确;函数的定义域是,所以不正确;函数,函数的值域是实数集,所以正确.故答案为:.【点睛】本题考查对数型函数的定义域、值域与最值和单调区间,考查对基础知识、基本技能的理解和掌握,属于常考题.三.解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设,. (1)若且,求x、y的值;(2)若成立,是否存在唯一的x、y满足上述条件?若存在,写出x、y的值;若不存
11、在,请说明理由.【答案】(1),;(2)不存在,与k有关【解析】【分析】(1)当时,写出,结合,利用待定系数法即可求解;(2)将表示为坐标形式,建立方程组,得到,根据的取值,即可判断.【详解】(1)当时,因为,所以 则,解得:,(2)因为 所以则 ,得到当时,等式不成立所以因为,所以的值不唯一,即,的值不唯一即不存在唯一的x、y,使成立.【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算,考查学生的计算能力以及分析和解决问题的能力,运算时,要细心,属于中档题.18.记为等差数列的前n项和,已知(1)求通项公式;(2)求,并求的最小值.【答案】(1);(2),最小值.【解析】【分析】(1)利用等差数列求和公式
12、可得d,再利用通项公式即可得出(2)利用求和公式、二次函数的性质即可得出【详解】(1)设等差数列an的公差为d,a1=9,S5=2595+d=25,解得d=2an=-9+2(n-1)=2n-11(2)由(1)可得:Sn=n210n=(n5)2-25,可得n=5时,Sn取得最小值25【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式、二次函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题19.已知函数,将函数的图象纵坐标不变,横坐标缩短原来的一半,再向左平移个单位,再向上平移2个单位,得到函数的图象.(1)求函数的解析式;(2)求函数在上的最大值和最小值.【答案】(1);(2)1,.【解析】【分析】(1
13、)根据函数图像平移伸缩变换,即可求得函数的解析式;(2)根据自变量的范围,结合正弦函数的图像与性质,即可求得函数在上的的最大值和最小值.【详解】(1)函数,将函数的图象纵坐标不变,横坐标缩短原来的一半,再向左平移个单位,再向上平移2个单位,可得,化简得 (2),可得,.当时,函数有最大值1;当时,函数有最小值【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换及应用,正弦函数图像与性质的应用,属于基础题.20.已知数列的前项和,数列是正项等比数列,且,.(1)求数列和的通项公式;(2)记,是否存在正整数,使得对一切,都有成立?若存在,求出M的最小值;若不存在,请说明理由.【答案】(1),;M的最小值为2.【
14、解析】【分析】(1)当时,当时,利用得到的通项公式,把代入也满足,得到即可;因为数列是各项为正的等比数列,根据题意即可利用等比数列的通项公式得到的通项;(2)把和的通项公式代入到中,可确定最大,即可得到结论【详解】(1)数列的前项和,时,当时,满足上式,数列的通项公式为,数列正项等比数列,.数列的通项公式为(2),由,可得,当时, ,最大,最大值为,故存在正整数M,使得对一切,都有成立,M的最小值为2【点睛】本题考查数列的通项公式,考查数列的单调性,考查存在性问题,属于中档题21.已知是公差为2的等差数列.数列满足,且(I)求数列和的通项公式;()设,数列的前项和为,证明:【答案】(),;()
15、见解析【解析】试题分析:()由题意可知,时,求得,即可得到数列的通项公式,又由,得,即数列是公比为的等比数列,即可求解数列的通项公式;()由()知,利用裂项相消,即可求解数列的前项和,进而证得结论试题解析:()由题意可知,时,又公差为2,故.从而有,故数列是公比为的等比数列又,所以;()由()知.故.22.已知函数,且函数是偶函数,设(1)求的解析式;(2)若不等式0在区间(1,e2上恒成立,求实数的取值范围;(3)若方程有三个不同的实数根,求实数的取值范围【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】【分析】(1)对称轴为,对称轴为,再根据图像平移关系求解;(2)分离参数,转化为求函数的最值;(3)令为整体,转化为二次函数根的分布问题求解.【详解】(1) 函数的对称轴为,因为向左平移1个单位得到,且是偶函数,所以 ,所以.(2) 即又 ,所以,则因为,所以实数的取值范围是.(3) 方程即 化简得令,则若方程有三个不同的实数根,则方程必须有两个不相等的实数根 ,且或,令当时,则,即 ,当时, ,舍去,综上,实数的取值范围是.【点睛】本题考查求函数解析式,函数不等式恒成立及函数零点问题. 函数不等式恒成立通常采用参数分离法;函数零点问题要结合函数与方程的关系求解.