1、四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用诱导公式，将所求角的余弦值转化为之间的角的余弦值，根据特殊角的三角函数值得出正确选项.【详解】依题意，故选C.【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.2.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据余弦的和角公式，逆用得到三角函数值，应用诱导公式即可求解【详解】由余弦的和角公式可得 所以选C【点睛】本题考查了余弦函数的和角
2、公式逆应用，应用诱导公式求三角函数值，属于基础题3.若，则下列不等式成立的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合不等式的性质，利用特殊值法确定.【详解】当排除A，B当排除C故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，特殊值法，还考查了特殊与一般的思想，属于基础题.4.已知点A（1，2），B（3，7），向量，则A. ，且与方向相同B. ，且与方向相同C. ，且与方向相反D. ，且与方向相反【答案】D【解析】分析：求出向量，利用向量共线的性质列方程求出，然后判断两个向量的方向即可得结果.详解：因为，所以，可得，解得，与方向相反，故选D.点睛：本题考查斜率共线，向量的坐标运算
3、，是基础题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.5.在等比数列中，则=（ ）A. 8B. 10C. 14D. 16【答案】D【解析】【分析】设出等比数列的公比后,利用等比数列的通项公式运算可得.【详解】设等比数列的公比为,由,可得,可得,可得,所以,所以.故选.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及运算求解能力.属于基础题.6.已知cos，且为第二象限角，则sin2的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用二倍角公式求得的值【详解】解：，且为第二象限角
4、，则，故选B【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题7.己知函数的最小值为，最大值为，若，则数列是（ ）A. 公差不为0的等差数列B. 公比不为1的等比数列C. 常数数列D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】先根据判别式法求出的取值范围,进而求得和的关系,再展开算出分析即可.【详解】设,则,因为,故,故二次函数,整理得,故与为方程的两根,所以为常数.故选C.【点睛】本题主要考查判别式法求分式函数范围的问题,再根据二次函数的韦达定理进行求解分析即可.8.函数具有性质（ ）A. 最大值为，图象关于直线对称B. 最大值为，图象关于直线对称C. 最大值为，图象关于对
5、称D. 最大值为，图象关于对称【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式和辅助角公式对函数解析式化简整理后,可得函数的最小值，利用三角函数的对称性求得函数的对称点.【详解】所以函数的最大值为,排除B,D令求得,函数关于对称.所以C选项是正确的【点睛】本题主要考查了三角函数的基本性质,对称性和最值性.解题的关键是对函数解析式的化简整理.进而利用好三角函数的基本性质.9.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点对称，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用辅助角公式将函数的解析式化简，并求出平移变换后的函数解析式，由变换后的函数图象关于点对称，可得出的表达式，结合
6、的范围可求出的值.【详解】,将函数的图象向左平移个单位后，所得图象函数解析式为，由于函数的图象关于点对称，则，得，.故选：B.【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数值，同时也考查了三角函数图象的平移变换，根据对称性得出参数的表达式是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10.已知中，则的形状为（ ）A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 无法确定.【答案】C【解析】【分析】首先根据两角和差的正弦公式和二倍角公式可得，然后再分和两种情况讨论，即可得到结果.【详解】因为，由两角和差的正弦公式可得，所以，若，即时，此时是直角三角形；若，即，所以，所以是等腰
7、三角形；综上，是等腰三角形或直角三角形；故选：C.【点睛】本题主要考查了两角和差的正弦公式和二倍角公式的应用，以及三角形形状的判断，属于基础题.11.如图：D， C，B三点在地面同一直线上，DC，从C，D两点测得A点仰角分别是，()，则A点离地面的高度AB等于( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：在中，由正弦定理得，在中，选A.考点： 正弦定理的应用.12.已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】D【解析】求函数的零点个数只需考查方程的实根个数，当时， ，在上递减，在上递增，值域为.当时， 当时，函数的值域为，当
8、时，函数的值域为，当时，函数的值域为， 在上有个实根，又函数为偶函数， 在上有10个实根，函数的零点个数为10个，选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，且，的夹角为，则在方向上的投影为_.【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可【详解】解：向量与的夹角为，且，向量在方向上的投影为故答案为：【点睛】本题考查了平面向量数量积定义与投影的计算问题，属于基础题14.三角形中，边的长为，则边的长为_.【答案】4【解析】【分析】利用三角形内角和定理先求的值，再根据正弦定理求得【详解】，又，由正弦定理：，可得：故答案为4【点睛】本题考查三角形
9、内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题15.已知各项都为正数的数列，对任意的，恒成立，且，则_【答案】21【解析】因为，所以，数列为等比数列，由，得 ，. 点睛：1在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度2等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口16.关于函数，有以下四个命题：函数在区间上是单调增函数；函数的图象关于直线对称；函数的定义域为；函数的值域为.其中所有正确命题的序号
10、是_.【答案】【解析】【分析】利用函数的单调性判断的正误；利用函数的对称性判断的正误；求出函数的定义域判断的正误；由函数的值域判断的正误.【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以正确；函数，函数的图象关于直线对称，所以正确；函数的定义域是，所以不正确；函数，函数的值域是实数集，所以正确.故答案为：.【点睛】本题考查对数型函数的定义域、值域与最值和单调区间，考查对基础知识、基本技能的理解和掌握，属于常考题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设，. （1）若且，求x、y的值；（2）若成立，是否存在唯一的x、y满足上述条件？若存在，写出x、y的值；若不存
11、在，请说明理由.【答案】（1），；（2）不存在，与k有关【解析】【分析】(1)当时，写出，结合，利用待定系数法即可求解；(2)将表示为坐标形式，建立方程组，得到，根据的取值，即可判断.【详解】(1)当时，因为，所以 则，解得：，(2)因为 所以则 ，得到当时，等式不成立所以因为，所以的值不唯一，即，的值不唯一即不存在唯一的x、y，使成立.【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，考查学生的计算能力以及分析和解决问题的能力，运算时，要细心，属于中档题.18.记为等差数列的前n项和，已知（1）求通项公式；（2）求，并求的最小值.【答案】（1）；（2），最小值.【解析】【分析】（1）利用等差数列求和公式
12、可得d，再利用通项公式即可得出（2）利用求和公式、二次函数的性质即可得出【详解】（1）设等差数列an的公差为d，a1=9，S5=2595+d=25，解得d=2an=-9+2（n-1）=2n-11（2）由（1）可得：Sn=n210n=（n5）2-25，可得n=5时，Sn取得最小值25【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.已知函数，将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）1，.【解析】【分析】（1
13、）根据函数图像平移伸缩变换，即可求得函数的解析式；（2）根据自变量的范围，结合正弦函数的图像与性质，即可求得函数在上的的最大值和最小值.【详解】（1）函数，将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移个单位，再向上平移2个单位，可得，化简得 （2），可得，.当时，函数有最大值1；当时，函数有最小值【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换及应用，正弦函数图像与性质的应用，属于基础题.20.已知数列的前项和，数列是正项等比数列，且，.（1）求数列和的通项公式；（2）记，是否存在正整数，使得对一切，都有成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），；M的最小值为2.【
14、解析】【分析】（1）当时，当时，利用得到的通项公式，把代入也满足，得到即可；因为数列是各项为正的等比数列，根据题意即可利用等比数列的通项公式得到的通项；（2）把和的通项公式代入到中，可确定最大，即可得到结论【详解】（1）数列的前项和，时，当时，满足上式，数列的通项公式为，数列正项等比数列，.数列的通项公式为（2），由，可得，当时， ，最大，最大值为，故存在正整数M，使得对一切，都有成立，M的最小值为2【点睛】本题考查数列的通项公式，考查数列的单调性，考查存在性问题，属于中档题21.已知是公差为2的等差数列.数列满足，且(I)求数列和的通项公式；()设,数列的前项和为,证明:【答案】（）,；（）
15、见解析【解析】试题分析：（）由题意可知，时，求得，即可得到数列的通项公式，又由，得，即数列是公比为的等比数列，即可求解数列的通项公式；（）由（）知，利用裂项相消，即可求解数列的前项和，进而证得结论试题解析：（）由题意可知，时，又公差为2，故.从而有，故数列是公比为的等比数列又，所以；（）由（）知.故.22.已知函数，且函数是偶函数，设(1)求的解析式；(2)若不等式0在区间(1，e2上恒成立，求实数的取值范围；(3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围【答案】(1) ；(2) ；(3) .【解析】【分析】（1）对称轴为，对称轴为，再根据图像平移关系求解；（2）分离参数，转化为求函数的最值；（3）令为整体，转化为二次函数根的分布问题求解.【详解】(1) 函数的对称轴为，因为向左平移1个单位得到，且是偶函数，所以 ，所以.(2) 即又 ，所以，则因为，所以实数的取值范围是.(3) 方程即 化简得令，则若方程有三个不同的实数根，则方程必须有两个不相等的实数根 ，且或，令当时，则，即 ，当时， ，舍去，综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查求函数解析式，函数不等式恒成立及函数零点问题. 函数不等式恒成立通常采用参数分离法；函数零点问题要结合函数与方程的关系求解.