1、1纪博士数数 12345于特讲题主讲：纪东旭于新华整理：郑梦前【研修团队】郑梦前、顾永清、焦建林、黄萍学悟有别，你我自取，教学践行，适切至上！（林福凯）数学解题五境界第一个境界：正确解题很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界第二个境界：一题多解我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释第三个境界：多题一解完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目第四个境界
2、：发现定理到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。这些结论、定理规律都是解题的有用工具。解题高手都有自己的定理库第五个境界：自己编题解题的最高境界是能够编题。不是所有的老师都具备编题的能力。解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏刘俊勇：如果没有真正消化吸收为自己的东西，过一段时间就忘却了，真正弄清楚更重要，远胜于蜻蜓点水式浏览一遍2一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我觉得更加重要和
3、有意义。因为专家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的传递，在本地方的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面的教师一直把自己当成听众、容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单的怀疑主义倾向，这个也特别可怕数学是思维的体操，没有绝技想拿冠军是不可能的。以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材的知识点，中考想考满分概率为零。学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数学大格局，适合自己的就是最好的！版块一 引入问题1 如图 1-1，在 33 的网格中标出了 1 和 2，则 1 2图 1-1图 1-22 如图 1-2，在ABC 中，BAC45，
4、AD 是 BC 边上的高，BD3，DC2，则 AD 的长为_版块二“1 2 3”+“4 5”的来源一般化结论：若45 则有1tan1aa，1tana（1a ），当32a 时，则得到21tantan=35（了解）当 a=2 时，则得到11tantan=23（重要）当52a 时，则得到23tantan=57（了解）;当4a 时，则得到13tantan=45（次重要）3【例 1】（济南市中考题）如图 2-1，AOB是放置在正方形网络中的一个角，则 cosAOB的值是图 2-1【例 2】（2015 湖北十堰）如图 2-2，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E，F 分别在 AB，AD 上，若 CE=5
5、3，且ECF=45，则 CF 的长为（）A102B53C 5 103D1053图 2-2倍角与半角构造当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，解决策略“顶角底角顶角”解题依据“1902顶角底角”如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC若 tan2BCA，则 tanBAC若4tan3BAC，则 tanABC4【例 3】如图 2-3，已知正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点将正方形折叠起来，使点 A 和点 E 重合，折痕为 MN若31tanAEN，DCCE10求ANE 的面积；求ENBsin的值图 2-3【例 4】如图 2-4，已知正方形 ABCD 的边长为 10，对角线 AC、BD 交于点
6、O，点 E 在 BC 上，且 CE=2BE，过 B 点作 BF AE 于点 F，连接 OF，则线段 OF 的长度为。图 2-4【例 5】（2011武汉）如图 2-5，PA 为O 的切线，A 为切点，过 A 作 OP 的垂线 AB，垂足为点 C，交O 于点 B，延长 BO 与O 交于点 D，与 PA 的延长线交于点 E求证：PB 为O 的切线；若 tanABE=，求 sinE图 2-5【例 6】如图 2-6，正方形 ABCD 中，点 P 是 BC 的中点，把PAB 沿着 PA 翻折得到PAE,过 C 作CFDE 交 DE 延长线于点 F，若 CF=2，则 DF=图 2-65（2002盐城）已知：
7、如图 2-7，在直角三角形 ABC 中，BAC90，ABAC，D 为 BC 的中点，E 为 AC上一点，点 G 在 BE 上，连接 DG 并延长交 AE 于 F，若FGE45求证：BDBCBGBE；求证：AGBE；若 E 为 AC 的中点，求 EF：FD 的值【例 7】（江苏省竞赛题）如图 2-8，等腰 RtABC中，90C，D 为 BC 中点，将ABC折叠，使A 点与 D 点重合，若 EF 为折痕，则sinBED的值为图 2-8【例 8】（全国初中数学联赛试题）如图 2-9，在正方形 ABCD 中，N 是 DC 的中点，M 是 AD 上异于 D 的点，且MBCNMB，则有ABMtan图 2-
8、9【例 9】（天津市竞赛试题）如图 2-10，在梯形 ABCD 中，AD/BC，ADCD，BCCD2AD，E 是 CD上一点，ABE450，则AEBtan的值等于（）A 23B2C 25D3图 2-106【例 10】如图 2-11，在四边形 ABCD 中，ABC=90，BC=2AD，点 E 在对角线 AC 上，且 AE=AB,连接BE，tanABE=2 若DAC=60，CD=19，则线段 BE 的长为图 2-11【例 11】（2010上海）如图 2-12，在 RtABC 中，ACB=90半径为 1 的圆 A 与边 AB 相交于点 D，与边 AC 相交于点 E，连接 DE 并延长，与线段 BC
9、的延长线交于点 P若 CE=2，BD=BC，求BPD 的正切值；若 tanBPD=，设 CE=x，ABC 的周长为 y，求 y 关于 x 的函数关系式图 2-12【例 12】如图 2-13，在平面坐标系中，点 A(3，0),B(0，4),点 C 在 x 轴的负半轴上，且OAB=2BCO，求点 C 的坐标图 2-13【例 13】如图 2-14，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线交直线 BC 于点 E，交直线 AB 与点 F，若 AB=4，BE=3，则 BF 的长为图 2-147【例 14】如图 2-15，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=20，若在 BC、BD 上分别取一点
10、M、N，使得 MN+NC的值最小，则这个最小值为图 2-15【例 15】如图 12-16，将矩形 ABCD 沿 BE 折叠，使得点 C 落在点 G 处，若 DE=1，CE=2，BC=6，则 AF的长为图 2-16版块三12345 拓展若定义符号“2”表示正切值为 2 的锐角，其余类似，则11290,39023；1145,2 313523；112=+45,34532；8 114113,223334；【例 16】（202 年泰州市中考题）如图 3-7，在边长相同的小正方形组成的 网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD 相交于点 P，则 tanAPD的值是图 3-7【例 1
11、7】如图 3-8，二次函数223yxx，D（,0），在第四象限的抛物线上存在点 P，使线段 AP 与直线 CD 的夹角为 45，求点 P 的坐标图 2-8【例 18】如图 3-20，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，边 CD 上有一个动点，将ADE 沿 AE 翻折得AEF，连接 BD，分别交 AE、AF 于点 M，O，作BAF 的角平分线 AN 交 BD 于点 N，若3 2BN,则 OE=图 3-20【例 19】(盘锦 2015)如图 3-9-，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+3 交 x 轴于 A（，0）和B（5，0）两点，交 y 轴于点 C，点 D 是线段 OB 上一动点，
12、连接 CD，将线段 CD 绕点 D顺时针旋转 90得到线段 DE，过点 E 作直线 lx 轴于 H，过点 C 作 CFl 于 F求抛物线解析式；3155yxx 9如图 3-9，当点 F 恰好在抛物线上时，求线段 OD 的长；在的条件下：连接 DF，求 tanFDE 的值；试探究在直线 l 上，是否存在点 G，使EDG=45？若存在，请直接写出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由版块四于特讲（解）题20如图，在正方形 ABCD 中，AB=6，点 E 在边 CD 上,13DEDC，连接 AE，将ADE 沿 AE 翻折，点D 落在点 F 处，点 O 是对角线 BD 的中点，连接 OF 并延长 OF
13、交 CD 于点 G，连接 BF，BG，则BFG的周长是2 10DKBG,DFFGDGDCCKDK,4622 10DFFG,6 102 10,55DFFG,12 5225BFFHDF,10125105BFGC2,3CGHG,2 10BG,3 5BH,3 55FH,65FJ,2 105FG 125105BFGC我打算从四个方面讲解临时拉了一个提纲：一、角的拓展“12345”主要是研究特殊角的大小大家可以思考，你在这个图形，能够获得哪些角的大小？图（1）图（1）显然1 与2 两个角的正切值为 1/3,由 113334,因此可得12 正切值为 3/4从而可得BAF 正切值为 4/3（这是基于两个角互余
14、，正切值互为倒数）；不要以为这是高中知识实际上就是同一个直角三角形中两个互余锐角的事情图（2）图（2）由 114223，因此可得BAF（即顶角）一半的正切值为 1/2从而可得ABF 的正切值为 2,由(12902)，因此FBC 的正切值为 1/211要知道，这些知识，写得慢，对于会的人，在头脑中盘算极快本身，你要学会口算，自然得掌握一些基本功没有这样的基本功，你第一次听这样的讲座是非常累人的二、适度几何既然是几何问题，就尽可能挖掘其中的几何性质就这个图形中，有哪些几何性质可值得挖掘呢？图（3）图（4）图（5）图（3）：由于ABMEDM，因此 MB2MD由此可得 MB2MD，进一步可得 MOMD
15、，即 M 是 OD 的中点MB=3MD图（4）由于翻折，因此 DNNF，且 DFAE因此 AEOG图（5）考虑 AE 与 DF 垂直关系，且DAE 的正切值为 1/3这样又可以得到一大片角的信息FDG 的正切值为 1/3，DGF 的正切值为 3最最关健的还得到一个重要的几何信息：E、G 是边 CD 的三等分点！图（6）如此一来，大家注意了没有：OG 与 BG 相当于光反射这是由于OGD 与BGC 的正切值均为 312图（6）镜面为 CD,满足光反射，通常反向延长，得到在一条直线上由上立马得到 GBGP，这一点非常关键因此要求BFG 的周长，就只要求 BFFP 的长由此简化了原问题三、“2316
16、 模型”其实，“12345”这些问题，在哈尔滨地区研究得最多他们甚至研究到“2316 模型”我也是刚刚不久，在与刘俊勇老师共同揣摩下，才自认为有点熟悉了所谓“2316 模型”所谓的“2316”模型，是指两个基本图形：模型 1231；模型 2236大家有没有注意，BC45，就是纪博士今天讲解的内容对于“231 模型”，仅仅了解这一点还是不够的还要了解外围大三角形三边长之间的关系而这并不是一件困难的事情即三边之比为 5:5:10，当然可以进一步约分所谓的“236 模型”是指这个图形这里就不展开了四、发起总攻！图（7）请大家看这个图形，FBP 就是标准的“231 模型”图（7）13这是由于FBP 的
17、正切值为 1/2，FPB 的正切值为 1/3下面发起总攻！BP12，占 5 份，一份是多少？当然是 12/5在这种情况下，BFFP 是多少份？当然是“根 10根 5”份了，那么 BFFP 是多少呢？当然也就是BFG 周长BFFP 12(105)5！21已知一次函数的图像经过 A(-2，-1)、B(1，3)两点，并且交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D,求一次函数解析式，求 tanOCD 的值,求AOB 的度数22已知ABC 是等腰直角三角形，A=90，点 D 是腰 CA 上一动点，过点 C 作 CE 垂直 BD 的延长线，垂足为 E，(1)如图（1），若 BD 是 AC 的中线，求的值 BD
18、CE；(2)如图（2）若1ADACn,求 BDCE 的值23（2016常州一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线7ykx与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 B，抛物线214yaxbxa经过 B、C 两点，与 x 轴的正半轴交于另一点 A，且 OA：OC2：7（1）求抛物线的解析式；219722yxx（2）点 D 为线段 CB 上一点，点 P 在对称轴的右侧抛物线上，PDPB，当 tan2PDB，求 P 点的坐标；（3）在（2）的条件下，点 Q（7，m）在第四象限内，点 R 在对称轴的右侧抛物线上，若以点 P、D、Q、R 为顶点的四边形为平行四边形，求点 Q、R 的坐标1424（20
19、15南通）已知抛物线2221yxmxmmm 是常数）的顶点为 P，直线 l：yx1求证：点 P 在直线 l 上；当 m3 时，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，与直线 l 的另一个交点为 Q，M 是 x轴下方抛物线上的一点，ACMPAQ（如图），求点 M 的坐标；若以抛物线和直线 l 的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 m 的值25(2016 新疆建设兵团第 23 题)如图，抛物线23(0)yaxbxa的顶点为 E，该抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 BO=OC=3AO，直线113yx 与 y 轴交于点
20、D求抛物线解析式；证明DBOEBC；在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的 P 点坐标，若不存在，请说明理由15刷子（吴小平）分享：如图所示，作边长为 3、4、5 的直角三角形的内心 O，过点 O 作三边的垂线，则有:1tan3OAD,1tan2OBD,而45OADOBD ；tan3,tan2AODBOD,而135AODBOD ；1tantan3OADOAE,而3tan4BAC1tantan2OBDOBF,而4tan3ABC1如图，在ABC 中，ABC=90，BC=BA，D 是 AC 上一点，CE 垂直 BD，AFBD当 CE=2BE，则 DE:
21、CE 的值为；如图，过 CD 的中点作 MNAC 分别交 BC、CE 于点 N、O，若 MO=NO=2，则ABC 的面积为2如图，AB=AC,M 为 BC 的中点，AM=BC，ABD=45，DCB=90，若 AD=2015，那么 BC 的长为163如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（-1,0）、（0,2），点 C 在第一象限，ABC=135，AC 交 y 轴于点 D，CD=3AD,反比例函数kyx的图像经过点 C，则 k 的值为4如图，正方形 ABCD 的边长为，对角线 AC、BD 交于点 O，Q 是 BC 延长线上一点,AQ 交 BD 于点 E，交 CD 点 P，OQ 交 C
22、D 点 E，若 EFAC，则 OF 的长为5如图，在平面直角坐标系中，点 M 的坐标为（5,3），M的半径为5，一束光线从点 A（0,2）出发，经过 x 轴上点 P 反射后，恰好与M相切，则点 P 的坐标为6如图，抛物线2722yxx 与直线122yx交于 C、D 两点，其中点 C 在 y 轴上，点 P 是 y 轴右侧抛物线上一动点，过点 P 作 PEx 轴于点 E，交 CD 于点 F,若存在点 P，使得PCF=45，则点 P 的坐标为177如图，直线122yx与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线2yxbxc过 A、B 两点，点 C 是抛物线上一点，满足ABC=45，则点 C 的
23、坐标为8如图，在ABC 中，BC=30，CA=40，AB=50，D、E 是ABC 内两点，满足 AD 平分CAB，BE 平分CBA，DEAB，且 DE=10，则CDE 的面积为9如图，在ABC 中，C=90，点 D 在 BC 上，连接 AD，若CAD=B，3tan4DAB，2 5BD,则线段 AC 的长为10如图，抛物线245yxx 与 x 轴交于 A、B 两点，直线334yx 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D，点 P 是第一象限的抛物线上一动点，过点 P 作 PFx 轴于点 F，交直线 CD 与点 E,设点 P 的横坐标为 m，若点 E 是点 E 关于直线 PC 的对称点，是否存在点 P 使点 E 落点落在 y 轴上？若存在，请求出相应的点 P 坐标；若不存在，请说明理由18上海彭亚(81228570)22:08:04我的学习浅见:12345 法，来源于 45 度角的思考，于是，矩形大法出现了，构造出 Rt 三角形，运用正切值，归纳出许多有趣且美的结论。如果 tan=n/m，那么 tan(45 度一)=ln-m/(m+n)，tan(45 度+)=(m+n)/ln-m。所以在图形中找到、或构造出两角和或差为 45 度的 Rt，那么可以秒了。希望对初学者有帮助。另外，发现，垂直处理、矩形大法、增量巧设都是好兄弟，45 度与正切值是他们宠儿。
