1、试卷第 1 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司机密启用前 2023 年新高一入学分班测试 数学试卷 姓名：_ 准考证号：_ 考生须知：1.全卷分试题卷、试题卷和答题卷。试题卷共 6 页，有四个大题，22 个小题。满分为 150 分，考试时长为 120 分钟。2.请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上。3.答题时，把试题卷的答案在答题卷上对应的选项位置用 2B 铅笔涂黑、涂满。将试题卷的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效。4.不允许使用计算器，没有近似计算要
2、求的试题，结果都不能用近似数表示。试 题 卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点()11,P x y，()22,Q xy两点，规定其坐标“积和”运集为：1122PQx yx y=+若 A，B，C，D 四个点的“积和”运算满足：ABBCCDDB=，则以 A，B，C，D 为顶点的四边形不可能是 A等腰梯形 B平行四边形 C矩形 D菱形 2已知二次函数 y2x2+bx+1，当 b 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是 b 取三个不同的值时二次函数的图象
3、，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是Ayx2+1 By2x2+1 Cy 12 x2+1 Dy4x2+1 3如图，点 O 是边长为 23 的等边ABC 的内心，将OBC 绕点 O 逆时针旋转 30得到OB1C1，B1C1交 BC 于点 D，B1C1 交 AC 于点 E，则 DE 的长为 A2 B2 32 C 3 1 D334如图，ABC中，10ABAC=，BEAC于点 E，2 5AE=，D 是线段 BE 上的一个动点，则试卷第 2 页，共 6 页 55CDBD+的最小值是 A2 5 B5 3 C10 D4 5（第 2 题图）（第 3 题图）（第 4 题图）
4、5已知，在ABC 中，ABAC=，如图，（1）分别以 B，C 为圆心，BC 长为半径作弧，两弧交于点 D；（2）作射线 AD，连接 BD，CD根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 ABADCAD=BBCD 是等边三角形 CAD 垂直平分 BC DABDCSAD BC=6如图，是抛物线21yaxbxc=+（0a）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是 A（1，3），与 x 轴的一个交点 B（4，0），直线2ymxn=+（0m）与抛物线交于 A，B 两点，下列结论：20ab+=；抛物线与 x 轴的另一个交点是（2，0）；方程23axbxc+=有两个相等的实数根；当时14x，有21yy 10如图
5、，正六边形 ABCDEF，P 点在线段 BF 上运动，记图中的面积为1S，2S，3S，4S，5S，6S，已知正六边形边长为 2，下列式子的值不随 P 点变化而变化的是 A26SS+B45SS+C56SS+D135SSS+11若一个平行四边形的四个顶点分别在矩形的四条边上，且一边和矩形的对角线平行，则称这样的平行四边形为该矩形的“反射平行四边形”已知EFGH为矩形 ABCD 的“反射平行四边”，点 E、F、G、H 分别在边 AB、BC、CD、AD 上，EFAC，设EFGH的周长为l，EFGH和矩形 ABCD 的面积分别为1S，2S，则下列结论正确的有 AAEHCFG=B FGBD C2lAC=D
6、1212SS12如图，正方形 ABCD 的边长为 8，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，将正方形沿 EF 折叠，使点 A 落在边CD上的 A处，点 B 落在 B处，A B 交 BC 于G 下列结论正确的是 A当 A为CD中点时，3tan4DA E=B当:3:4:5AAD DEE=时，163A C=C当 A（点 A不与C、D 重合）在CD上移动时，A CG周长随着 A位置变化而变化 D连接 AA，则 AEAF=试卷第 4 页，共 6 页（第 10 题图）（第 12 题图）试 题 卷 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知：点 P 是 ABC内一点，PBAPCB=，
7、BP 与CP 的中垂线交于点 M，（1）ABM=_（2）若2AB=，60ABC=，3BC=，则 AP 的最小值是_ 14如图，在正方形 ABCD 中，6AB=，点 E 在边CD上，且3CDDE=，将ADE沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接,AG CF，则下列结论：ABGAFG；BGCG=；/AG CF；EGCAFESS=；135AGBAED+=其中正确的是_（填序号）15如图，在菱形 ABCD 中，8AB=，60D=，点 F 是CD的中点，点 E 是 BC 上一动点，连接 AE，BF点GH，分别是 AEBF，的中点，连接GH，则GH 的最小值是_ 16如图，等边AB
8、C 中，AB=2，点 D 是以 A 为圆心，半径为 1 的圆上一动点，连接 CD，取 CD 的中点E，连接 BE，则线段 BE 的最大值与最小值之和为_（第 14 题图）（第 15 题图）（第 16 题图）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17阅读短文，解决问题 如果一个三角形和一个菱形满足条件：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图 1，菱形 AEFD 为ABC 的“亲密菱形”.如图 2，在ABC 中，以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧，交 AB、AC 于点
9、 M、N，再分别以 M、N为圆心，以大于 12 MN 的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线 AP，交 BC 于点 F，过点 F 作 FD/AC，FE/AB 试卷第 5 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司(1)求证：四边形 AEFD 是ABC 的“亲密菱形”；(2)当 AB=6，AC=12，BAC=45时，求菱形 AEFD 的面积.（第 17 题图）18如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，且 AE 13 AB，将矩形沿直线 EF 折叠，点 B恰好落在 AD 边上的点 P 处，连接 BP 交 EF 于点 Q（1）求ABP 的度数；（
10、2）求PBFPEBSS的值；（3）若 CD 边上有且只有 2 个点 G，使GPD 与GFC 相似，请直接写出 BCAB 的值 19心理学家通过实验发现：初中学生听讲的注意力随时间变化，讲课开始时，学生注意力逐渐增强，中间有一段平稳状态，随后开始分散学生注意力指标数 y 随时间表 t（分钟）变化的函数图象如下当 0t10时，图像是抛物线的一部分，当 10t20 时和 20t40 时，图像是线段（1）当 0t10 时，求注意力指标数 y 与时间 t 的函数关系式；（2）一道数学探究题需要讲解 24 分钟，问老师能否经过恰当安排，使学生在探究这道题时，注意力指标数不低于 45？请通过计算说明 20刘
11、老师在“矩形的折叠”活动课上引导学生对矩形纸片进行折叠 如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，点 A 与点 D 重合，点C 与点 B 重合，将纸片展开，折痕为 EF，在 AD 边上找一点 P，沿CP 将 PCD折叠，得到PCQ，点 D 的对应点为点Q 试卷第 6 页，共 6 页(1)问题提出：若点Q 落在 EF 上，1CD=，连接 BQ CQB是_三角形；若CQB是等边三角形，则 AD 的长为_(2)深入探究：在（1）的条件下，当 AD=2 时，判断CQB的形状并证明；(3)拓展延伸：若5AB=，6AD=，其他条件不变，当点Q 落在矩形 ABFE 内部(包括边)时，连接 AQ，直接写出 AQ 的取
12、值范围 21如图，ABC和 DEF均为直角三角形，90ABCDEF=，30ACBEDF=，1BCEF=，点 C 在边 EF 的延长线上，30BEM=，射线 EM 与 AD 交于点 M，ECm=（1m）（第 21 题图）(1)如图，当点 B 落在射线 EF 上时，EM 与 BA 的延长线相交于点 G，则=AMDM_(2)如图，把 ABC绕点 C 逆时针旋转 度（0360），AMDM 的值是否保持不变？请仅就图给出你的证明(3)若2 3m=，在 ABC绕点 C 旋转过程中，直接写出线段 AD 的最大值和最小值 22如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 是 BC 延长线一点，连接 DE，BF 垂直
13、平分 DE，垂足为 F，点G在 BE 上，点 H 在 AB 上，且GHDE(1)若3BC=，2CE=，求 DF；(2)若GEADBG=+，求证：GHEF=（第 22 题图）答案第 1 页，共 33 页 2023 年新高一入学分班测试 数学参考答案及解析 1D【分析】根据坐标“积和”运集的计算规则可知 A、B、C、D 四个点均在反比例函数图象上，据此即可判断结果【详解】设11(,)A x y、22(,)B xy、33(,)C xy、44(,)D xy，则有：1122ABx yx y=+，2233BCx yx y=+，3344CDx yx y=+，2244DBx yx y=+，依据 ABBCCDD
14、B=，得11223344x yx yx yx y=+，令11223344x yx yx yx yk=+=，则可知11(,)A x y、22(,)B xy、33(,)C xy、44(,)D xy均在反比例函数kyx=上，根据题意可设构成的四边形为 ABCD，则该四边形的对角线为 AC 和 BD，根据反比例函数图象的特征可知，四个顶点均在双曲线上的四边形的对角线 AC 与 BD 无法使得 ACBD，故构成的四边形不可能是菱形，故选：D【点睛】本题虽是选择题但构思巧妙，难度较大，主要考查了反比例函数图象特征以及平行四边形、菱形的判定等知识根据11223344x yx yx yx y=+判断11(,)
15、A x y、22(,)B xy、33(,)C xy、44(,)D xy均在反比例函数kyx=上是解答本题的关键 2B【分析】用含b的式子表示出抛物线的顶点坐标，然后消去b即可得到所求抛物线的解析式【详解】解：y2x2+bx+1 的顶点坐标是228(,)48bb，设 x24b，y288b，b4x，y288b28(4)8x 12x2 所求抛物线的解析式为：y12x2 答案第 2 页，共 33 页 故选：B【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，用含 b 的式子表示出抛物线的顶点坐标，然后再消去参数 b 是解题的关键 3D【分析】令1OB 与 BC 的交点为 F，11B C 与 AC 的交点为 M，过
16、点 F 作 FNOB于点 N，根据等边三角形的性质及三角形内心的性质，证明 BFO 为等腰三角形，继而证明 BFO 1B FD，根据相似三角形对应边成比例的性质，解得12 32B D=，再结合 BFO ()CMO ASA 及解直角三角形求得131C E=，由此可解得 DE 的长【详解】令1OB 与 BC 的交点为 F，11B C 与 AC 的交点为 M，过点 F 作 FNOB于点 N，如图，将OBC 绕点 O 逆时针旋转 30得到OB1C1，30BOF=点 O 是边长为 23 的等边ABC 的内心，33023OBFOBAB=，FOB 为等腰三角形，112BNOB=2 3cos3BNBFOFOB
17、F=11OBFOB DBFOB FD=，BFO 1B FD11B DB FOBBF=112 323B FOBOF=答案第 3 页，共 33 页 12 32B D=在 BFO 和CMO 中=OBFOCMOBOCBOFCOM=BFO ()CMO ASA12 32 3233OMBFC M=，在1C ME 中，160C MEMOCMCO=+=，130C=160C EM=1112 33sin(2)3132C EC MC EM=11112 3(2 32)(31)33DEB CB DC E=故选：D【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、旋转的性质、等边三角形的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是
18、解题关键4D【分析】过点 D 作 DFAB 于点 F，过点 C 作 CGAB 于点 G，由勾股定理可求 BE=4 5，根据 AAS 可证AEBAGC，得 CG=BE=4 5，易证BDFBAE，得出 BDAB=DFAE，得出 DF=55 BD，求55CDBD+最小值，即求 DF+CD 的最小值，由垂线段最短求解即可.【详解】解：过点 D 作 DFAB 于点 F，过点 C 作 CGAB 于点 G 又 BEAC于点 EAEB=90，DFB=90，AGC=90 又ABE 为公共角 BDFBAE BDAB=DFAE 答案第 4 页，共 33 页 又10AB=，2 5AE=DF=55 BD55CDBD+=
19、DF+CD DF+CDCG 55CDBD+CG 即55CDBD+的最小值为 CG 的长 在 RtABE 中 BE=22ABAE=()22102 5=4 510ABAC=，AEB=90，AGC=90 又A 为公共角 AEBAGC（AAS）CG=BE=4 555CDBD+的最小值为 4 5故选：D【点睛】本题主要考查最短路径中的垂线段最短问题，解决本题借助了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形以及勾股定理求边长，综合性较强，难度较大.5D【分析】根据作图过程及所作图形可知 BDBCCD=，得出BCD 是等边三角形；又因为ABAC=，,BDCD ADAD=，推出ABDACD，继而得出
20、BADCAD=；根据，BADCAD=，可知 AD 为BAC的角平分线，根据三线合一得出 AD 垂直平分 BC；答案第 5 页，共 33 页 四边形 ABCD 的面积等于ABD的面积与 ACD的面积之和，为 12 AD BC【详解】解：BDBCCD=BCD 是等边三角形 故选项 B 正确；ABAC=，,BDCD ADAD=ABDACDBADCAD=故选项 A 正确；BADCAD=，ABAC=据三线合一得出 AD 垂直平分 BC 故选项 C 正确；四边形 ABCD 的面积等于ABD的面积与 ACD的面积之和 12ABCDSAD BC=故选项 D 错误 故选：D【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的
21、判定、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的判定以及四边形的面积，考查的范围较广，但难度不大6B【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，和一次函数解析式，根据抛物线对称轴可判断，利用抛物线的对称轴与 x 轴的一个交点可求另一交点可判断，利用抛物线平移和顶点的位置可判断，利用二次函数图像与一次函数的图象的位置比较大小，可判断，根据221122axbxaxbx+=+可得出 y1=y2，利用对称性与对称轴关系可判断即可【详解】解：抛物线的顶点坐标是 A（1，3），与 x 轴的一个交点 B（4，0），()21-13ya x=+，把 B 点坐标代入得()24-13=0a+，解得13a=，抛物线()2
22、21128-1333331yxxx=+=，答案第 6 页，共 33 页 直线2ymxn=+（0m）与抛物线交于 A，B 两点，340mnmn+=+=，解得14mn=，直线24yx=+，对称轴为2311223bxa=，则20ab+=故正确；对称轴为直线1x=，与 x 轴的一个交点是(4,0)，设另一交点为（m，0），1-m=4-1，m=-2，与 x 轴的另一个交点是(2,0)，故正确；把抛物线2yaxbxc=+向下平移 3 个单位，得到23yaxbxc=+，顶点坐标(1,3)A变为(1,0)，即抛物线与 x 只有一个交点，方程23axbxc+=有两个相等的实数根，故正确；当14x时，二次函数图像
23、在一次函数图像的上方 21yy,解得94t ,从而得到 C 选项正确,根据抛物线图象的性质由0n ,推出346m+,得到 D 选项正确【详解】当抛物线图象经过点 A 和点 B 时,将 A（1,-2）和 B（2,-2）分别代入22yaxbx=+,得224222abab+=+=,解得00ab=,不符合题意,当抛物线图象经过点 B 和点 C 时,将 B（2,-2）和 C（2,0）分别代入22yaxbx=+,得 42224220abab+=+=,此时无解,当抛物线图象经过点 A 和点 C 时,将 A（1,-2）和 C（2,0）分别代入22yaxbx=+得224220abab+=+=,解得11ab=,因
24、此,抛物线经过点 A 和点 C,其解析式为2yxx2=,抛物线的对称轴为直线112 12x=,故 A 选项正确,因为()()2221yxxxx=+,所以12x=21x=,抛物线与 x 轴的交点坐标是（-1,0）和（2,0）,故 B 选项不正确,由22axbxt+=得220axbxt+=,方程根的判别式()242bat=当1a=,1b 时,94t=+,当0 时,即940t+,解得94t ,此时关于 x的一元二次方程22axbxt+=有两个不相等的实数根,故 C 选项正确,因为抛物线2yxx2=与 x 轴交于点（-1,0）和（2,0）,且其图象开口向上,若 P（m,n）和 Q（m+4,h）都是抛物
25、线上2yxx2=的点,且 n0,得 12m ,又得346m+故选 ACD 答案第 10 页，共 33 页【点睛】本题考查抛物线与 x 轴的交点根的判别式二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想，充分掌握求二次函数的对称轴及交点坐标的解答方法10BD【分析】连接 BD，AD，FD，CE，AD 交 BF 于 M，在正六边形 ABCDEF 中求得120FABAFE=，推得30AFBABF=，90BFE=易得4ADa=，3=MDa，2 3BFa=，23ABFBCDDEFSSSa=设 BPx=，则2 3FPBFBPax=，分别求得123456,S SS SS S 计算即可
26、【详解】解：连接 BD，AD，FD，CE，AD 交 BF 于 M，六边形 ABCDEF 为正六边形，120ABCBCDCDEDEFEFAFAB=，2ABBCCDDEEFFA=，30ABFAFBDECDCE=，90BFE=，90FBC，90BCE=，四边形 BCEF 是矩形，在 Rt AMF中，30=AFM，112AMAB=，故2222213MFAFAM3BM=，23 3BFMF=，120CDEFAB=，ABCDDEFA=，FABEDC则2 13MD=+=，4=AD,答案第 11 页，共 33 页 12 3 132ABFCDBDECEFDSSSS=，设 BPx=，则2 3FPFBBPx=，()1
27、1112 313222SFPAMxx=，21122SBPAMx=，311222SBPBCxx=，431133322BCDPBDSSSSxxx=+=+=+，()6112 322 322SFPEFxx=，()()5611332 32 32 322DEFDPFSSSSxxx=+=+=，故26112 32 322SSxxx+=+=；451132 33 322SSxx=+=；56132 32 34 322SSxxx=+；1351132 33 322SSSxxx+=+=；故选：BD【点睛】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，矩形的判定和性质，30角所对的直角边等于斜边的一
28、半等，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键11BCD【分析】延长 AB，GF 交于点 M，根据平行四边形的性质，矩形的性质，以及平行线分线段成比例，逐一进行判断即可【详解】如图，延长 AB，GF 交于点 M，答案第 12 页，共 33 页 在平行四边形 EFGH 中，EHFG，12=，34=，2 与3 不一定相等，14=不一定成立，即AEHCFG=不一定相等，故 A 选项不符合题意；在矩形 ABCD 中 ABCD，52=，90BADBCD=，51=，在平行四边形 EFGH 中 EHFG=，()AASAEHCGF，AECG=，EFAC，BEBFABBC=，AECFABBC=，CGAE=，CDAB=
29、，CGCFCDBC=，FGBD，故 B 选项正确；EFAC，FGBD，EFBFACBC=，FGCFBDBC=，在矩形 ABCD 中 ACBD=，1EFFGEFFGBFCFACACBDBCBC+=+=+=，()22lEFFGAC=+=，故 C 选项正确；点O 为 BD中点，FGBD，点Q 为 FG 中点，同理可得点 P 为 EF 中点，11144EPFGOHQFSSS=四边形，21144BOCABCDSSS=矩形，设 BFxBC=，则1CFxBC=，PFOC，FQOB，答案第 13 页，共 33 页()22211112222BPFCQFCQFBPFBOCBOCBOCSSSSxxxSSS+=+=+
30、=+，12OPFQBOCSS四边形，1212OPFQBOCSSSS=四边形，故 D 选项正确 故选 BCD【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，配方法的应用熟练掌握相关性质，并灵活运用，根据题意正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键12ABD【分析】当 A为 CD 中点时，设 A EAEx=则8DEx=，由勾股定理列方程求解，进一步求得 tanDA E的值，进而可判断 A 的正误；当 A DE三边之比为 3：4：5 时，设3A Da=，4DEa=，5A Ea=，由8ADAEDE=+=可求 a 的值，进一步求得 A D的值，进而可判断B 的正误；过点
31、 A 作 AHA G，垂足为 H，连接 A A，AG，先证 AA DAA H，可得ADAH=，A DA H=，再证 Rt ABGRt AHG，可得 HGBG=，由此证得 A CG周长16，进而可判断 C 的正误；过点 E 作 EMBC，垂足为 M，连接 A A交 EM，EF 于点 N，Q，证明()AA DEFM ASA，进而可判断 D 的正误【详解】：A为 CD 中点，正方形 ABCD 的边长为 8，184902ADA DCDD=，由折叠的性质，设 A EAEx=则8DEx=，在 Rt A DE中，由勾股定理得222A DDEA E+=，即 42+（8x）2x2，解得 x5，AE5，DE3，3
32、tan4DEDA EDA=，故 A 正确；当 A DE三边之比为 3：4：5 时，设3A Da=，4DEa=，5A Ea=，则5AEA Ea=，8ADAEDE=+=，548aa+=，答案第 14 页，共 33 页 解得：89a=，833A Da=，163A CCDA D=，故 B 正确；过点 A 作 AHA G，垂足为 H，连接 A A，AG，则90AHAAHG=，由折叠的性质可知90EA GEABA EAE=，EAAEA A=，90D，90EAADA A+=，90EAADA A+=，90EA ADA AEA AHA A+=+，DA AHA A=，在 AA D和 AA H中 90DA AHA
33、ADAHAAAAA=，()AA DAA H AAS，ADAHA DA H=，ADAB=，AHAB=，在 RtABG与 Rt AHG中，AGAGABAH=，()Rt ABGRt AHG HL，答案第 15 页，共 33 页 HGBG=，A CG周长A CA GCG=+A CA HHGCG=+A CA DBGCG=+CDBC=+16=，当 A在 CD 上移动时，A CG周长不变，故 C 错误；如图，过点 E 作 EMBC，垂足为 M，连接 A A交 EM，EF 于点 N，Q，/EMCD，EMCDAD=，90AEND=，由翻折可知：EF 垂直平分 A A，90AQE=，90EANANEQENANE+
34、=+=，EANQEN=，答案第 16 页，共 33 页 在 AA D和 EFM中，90DAAMEFADEMDENF=，()AA DEFM ASA，AEAF=，故 D 正确 故选：ABD【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用13 90 73【分析】（1）设,PBAPBCCBM=，画出图形，由 MBMP=得MBPMPB=+，由 MBMC=得BCMCBM=，由 MPMC=得MPCPCM=+，再利用三角形内角和定理得到答案；（2）求出120BPC=是定值，点 P 在以 M 为圆心，MB 长为半径的圆上，连接 AM，交圆
35、 M 于点 P，得到30MBCMCB=，过点 M 作 MDBC，根据三角函数求出32MD=，3BM=，由勾股定理求出 AM 连接 AP，则 APAMMP，当 P 与 P 重合时，AP 有最小值，求出AP 即可【详解】解：（1）设,PBAPBCCBM=，如图，则ABM=+，由题意可得，M 是 BP 和CP 中垂线上的点，,MBMP MPMC=即 MBMPMC=，MBMP=，MBPMPB=+，答案第 17 页，共 33 页 MBMC=，BCMCBM=，又PBAPCB=，PCMPCBBCM=+=+，MPMC=，MPCPCM=+，2BPCMPBMPC=+=+=+，又PBC=，PCB=，在BPC中，有1
36、80BPCPBCPCB+=，2180+=，即90+=，即90ABM=+=；故答案为：90（2）如图，60,ABCPBAPBCPBAPCB=+=，60PCBPBC+=，即180120BPCPCBPBC=，在BPC中，3,120BCBPC=，3BC=是定值，120BPC=是定值，即点 P 在以 M 为圆心，MB 长为半径的圆上，连接 AM，交圆 M 于点 P，由(1)中结论可知90ABM=，又60ABC=，30MBC=，又 MBMC=，答案第 18 页，共 33 页 30MBCMCB=，过点 M 作 MDBC，3MBMCMDBCBC=，1322BDCDBC=，30MBC=，3tan332MDMDM
37、BCBD=，即32MD=，312sin2MDMBCBMBM=，即3BM=，又2,90ABABM=，227AMABBM=+=，连接 AP，则 APAMMP，当 P 与 P 重合时，AP 有最小值，3BM=，即3BMPMMC=，即3MP=73APAMMP=，即 AP 最小值为73综上，AP 最小值为73，故答案为：73【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数，动点问题，勾股定理，正确作出辅助线及掌握各知识点是解题的关键14【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证 RtABGRtAFG；在直角ECG 中，根据勾股定理可证 BG=GC；通过证明AGB=AGF=GFC=
38、GCF，由平行线的判定可得 AG/CF；分别求出 SEGC 与 SAFE 的面积比较即可；求得GAF=45，AGB+AED=180GAF=135，即可得到答案【详解】解：AB=AD=AF，AG=AG，B=AFG=90，()ABGAFG HL，故正确；答案第 19 页，共 33 页 6CDAB=，123EFDECD=，4ECCDDE=，设 BGFGx=，则6CGx=，在 Rt ECG中，由勾股定理得：222EGCGEC=+，即：()()222264xx+=+，解得：3x=，3BG=，363BGCG=，故正确；,CGBG BGGF=，CGGF=，FGC是等腰三角形，GFCGCF=，RtABGRtA
39、FG，AGBAGF=，218022+=+=AGBAGFAGBFGCGFCGCFGFCGCF，=AGBAGFGFCGCF，/AG CF，故正确；113 4622=GCESGC CE，116 2622AFESAF EF=，EGCAFESS=，故正确；,BAGFAGDAEFAE=，又90DAB=，45GAE=，180135AGBAEDGAE+=，故正确；故答案为：答案第 20 页，共 33 页【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用153【分析】连接 B
40、G 交 AD 于点 M，连接 FM 易证得 BGEMGA，得到点 G 为 BM 的中点，所以GH 是 BFM中位线，可得到12GHFM=，求GH 最小值即为求 FM 最小值的一半，随着点 E 的变化，点 M 在 AD 上动，即当 FMAD时，FM 有最小值，然后在DMF 中，借助三角函数计算即可【详解】解：如图，连接 BG 交 AD 于点 M，连接 FM，过点 F 作 FNAD于点 N，点G 为 AE 中点，AGEG=，四边形 ABCD 是菱形，ADBC，8ABCD=，AMGEBG=，BGEMGA=，BGEMGA，BGMG=，点 G 为 BM 的中点，点 H 为 BF 的中点，GH 是 BFM
41、中位线，12GHFM=，求GH 最小值即为求 FM 最小值的一半，随着点E的变化，点M在 AD 上动，即当 FMAD时，FM 有最小值，即 FM 最小值=FN，F 是CD的中点，答案第 21 页，共 33 页 4FD=，60?D=3sin 60?=42 32FNFD=，3GH=故答案为：3【点睛】本题主要考查动点最值，根据条件做出辅助线，利用中位线转化所求线段，然后借助点到线距离垂线段最短计算即可162 3【分析】取点 D 的特殊位置：当点 D 与点 F 重合时，当点 D 在 CA 延长线与圆 A 的交点时，当 CD 与圆 A 相切时，确定 FE 的长度都是 0.5，从而得到点 E 的运动轨迹
42、是以点 F 为圆心，0.5 为半径的圆上运动，故而得到线段 BE 的最大值与最小值，由此得到答案【详解】ABC 为等边三角形，AB=2，AC=AB=2，设 AC 交圆 A 于点 F，点 D 是以 A 为圆心，半径为 1 的圆上一动点，当点 D 与点 F 重合时，如图 1，FE=0.5，当点 D 在 CA 延长线与圆 A 的交点时,如图 2，FE=0.5，当 CD 与圆 A 相切时，FE=0.5，故点 E 在以点 F 为圆心，0.5 为半径的圆上运动，当点 B、F、E 三点共线时，线段 BE 有最大值和最小值，如图 4：AF=1，AC=2，FC=1，点 F 是 AC 的中点，ABC 是等边三角形
43、，BFAC，BF=2222213ABAF=，线段 BE 的最大值=30.5+，最小值=30.5，线段 BE 的最大值与最小值之和为2 3，答案第 22 页，共 33 页 故答案为：2 3 【点睛】此题考查圆与动点问题，圆的性质，圆的切线的性质定理，等边三角形的性质，勾股定理，根据题意理解点 D 运动的路线得到点 E 的运动轨迹是解题的关键 17(1)证明见解析；(2)四边形 ACDB 的面积为8 2.【详解】【分析】（1）根据尺规作图可知 AF 平分BAC，再根据 DF/AC，可得 AD=DF，再由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形 AEFD 是平行四边形，继而可得平行四边形 AE
44、FD 是菱形，根据“亲密菱形”的定义即可得证；（2）设菱形的边长为 a，即 DF=AD=a，则 BD=6-a，可证得BDFBAC，根据相似三角形的性质可求得 a=4，过 D 作 DGAC，垂足为 G，在 RtADG 中，DG=22，继而可求得面积.【详解】（1）由尺规作图可知 AF 平分BAC，DAF=EAF，DF/AC，DFA=EAF，DAF=DFA，AD=DF，FD/AC，FE/AB，四边形 AEFD 是平行四边形，平行四边形 AEFD 是菱形，答案第 23 页，共 33 页 BAC 与DAE 重合，点 F 点 BC 上，菱形 AEFD 为ABC 的“亲密菱形”；（2）设菱形的边长为 a，
45、即 DF=AD=a，则 BD=6-a，DF/AC，BDFBAC，BD：BA=BF：AC，即（6-a）:6=a：12，a=4，过 D 作 DGAC，垂足为 G，在 RtADG 中，DAG=45，DG=22AD=22，S 菱形 AEFD=AEDG=82，即四边形 AEFD 的面积为 82.【点睛】本题考查了尺规作图，新概念题，菱形的判定与性质等，正确理解新概念是解题的关键.18（1）ABP=30；（2）3；（3）5 36【分析】（1）证明2PEAE=，推出30APE=即可解决问题（2）由翻折可知：EF 垂直平分 PB，设 EQa=，求出 FQ即可解决问题（3）如图 31 中，作点 P 关于 CD
46、的对称点 N，连接 FN 交 CD 于 G，此时 FCGPDG，以 PF 为直径作圆交 CD 于12GG，此时11PDGFCG，22PDGFCG当点 G与 G2重合时，满足条件，易证 FCCGDGDP=，设CFCGaPDDGb=，构建方程求出 a 与 b 的关系即可解决问题当 G1，与 G2重合时，满足条件，此时以 PF 为直径的圆与 CD 相切，设CFmPDn=，构建方程求出 m 与 n 的关系即可解决问题【详解】解：（1）13AEAB=，2BEAE=，由翻折可知：BEPE=，答案第 24 页，共 33 页 2PEAEEBPEPB=，四边形 ABCD 是矩形，90A=，30APE=，60AE
47、P=，AEPEBPEPB=+，30EBPEPB，30ABP（2）由翻折可知：EF 垂直平分 PB，设 EQa=，在 Rt BEQ中，30EBQ=，22BEEQa=，在 Rt EFB中，9060EBFBEF，30EFB，24EFBEa=，3QFa，132312PBFPBEPB EQSFQaSEQaPB FQ=（3）如图 31 中，作点 P 关于 CD 的对称点 N，连接 FN 交 CD 于 G，此时 FCGPDG，以 PF 为直径作圆交 CD 于 G1，G2，此时11PDGFCG，22PDGFCG 当点 G 与 G2重合时，满足条件，易证 FCCGDGDP，设CFCGaPDDGb，则：2()2B
48、FbaABabBCba=+=，答案第 25 页，共 33 页 32ABPB=，32()2abba+=，(23)ab=，22-(23)132(23)+=+BCbabbABabbb 当 G1，与 G2重合时，满足条件，此时以 PF 为直径的圆与 CD 相切，设CFmPDn=，则：2()BFnm=,22mnPFmn+=+，BFPF，2()nmmn=+，3nm=，25BCnmm=，32 32ABPBm=，55 362 3BCmABm=【点睛】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.19（1）2162
49、54yxx=+；（2）能，理由见解析【详解】试题分析：（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案；（2）首先利用待定系数法求出一次函数解析式，进而令 y=45，有 45=-74 x+95，求出 x 的值，进而得出讲课后注意力不低于 45 的时间（1）当 0t10 时，设抛物线的函数关系式为 y=ax2+bx+c由于它的图象经过点（0，25），（4，45），（10，60），所以25164451001060cabcabc=+=+=，解得：25146cab=，答案第 26 页，共 33 页 所以216254yxx=+；（2）当 20 x40 时，设函数解析式为：y=kx+d，将（20，60
50、），（40，25）代入得：20604025kdkd+=+=，解得：7495kd=7954yx=+，令 y=45，有 45=-74 x+95，解得：x=428 7，即讲课后第428 7 分钟时注意力不低于 45，当 0 x10 时，令 y=45，有 45=-14 x2+6x+25，解得：x1=4，x2=20（舍去），即讲课后第 4 分钟时，注意力不低于 45，所以讲课后注意力不低于 45 的时间有442842477=（分钟）24（分钟），所以老师可以经过适当的安排，使学生在探究这道数学题时，注意力指数不低于 45 考点：二次函数的应用20(1)等腰；1(2)CQB是等腰直角三角形，证明见解析(3
51、)AQ 的取值范围是61526AQ【分析】（1）根据折叠的性质得出 EF 垂直平分 BC，根据垂直平分线的性质即可得出CQB是等腰三角形；由折叠得1CQCD=，若CQB是等边三角形，则1BCCQ=，根据矩形的性质得出1ADBC=，（2）由()1 得1CQBQCD=，根据勾股定理的逆定理得出222CQBQBC+=，证明CQB是直角三角形，进而即可得出结论；（3）连接 AC，以点C 为圆心，CD长为半径作圆交 EF 于点G，交 BC 于点 H，得出 答案第 27 页，共 33 页 5CQCD=，即点Q 在C上运动，连接 AG、CG、CH，则5CGCH=，当点Q 落在矩形 ABFE 内部(包括边)时
52、，则5ACAQAH【详解】（1）如图 1，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，点C 与点 B 重合，EF垂直平分 BC，CQBQ=，CQB是等腰三角形，故答案为：等腰由折叠得1CQCD=，若CQB是等边三角形，则1BCCQ=，四边形 ABCD 是矩形，1ADBC=，故答案为：1（2）CQB是等腰直角三角形，证明：如图1，由()1 得1CQBQCD=，2222112CQBQ+=+=，ADBC=2，22(2)2BC=222CQBQBC+=，CQB是直角三角形，CQBQ=，CQB是等腰直角三角形（3）如图2，连接 AC，以点C 为圆心，CD长为半径作圆交 EF 于点G，交 BC 于点 H，5ABC
53、D=，6ADBC=，90B，答案第 28 页，共 33 页 22225661ACABBC=+=+=，5CQCD=，点Q 在C上运动，连接 AG、CG、CH，则5CGCH=，651BHBCCH=，22225126AHABBH=+=+=四边形 ABFE 是矩形，90CFGAEG=，5EFAB=，116322AEBFCFBC=，2222534FGCGCF=541EGEFFG=，22223110AGAEEG=+=+=当点Q 落在矩形 ABFE 内部(包括边)时，则5ACAQAH，即61526AQ，AQ 的取值范围是61526AQ【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质
54、与判定，勾股定理，圆外一点到圆的最值问题，轴对称的性质，综合运用以上知识是解题的关键21(1)3m 答案第 29 页，共 33 页(2)3AMmDM=保持不变，见解析(3)线段 AD 的最大值为21533+，最小值为21533【分析】（1）在 RtDEF 中，根据30EDF=，1EF=，求出3DE=，在 RtABC 中，根据30ACB=，1BC=，求出33AB=，在 RtGEB 中，根据30BEG=，+1EBm=，求出3333BGm=+，算出 AG，证明/DE GB，得出3AMAGmDMDE=即可；（2）过 B 点作 BGBE，交射线 EM 于点 G，连接 AG，根据 BGBABEBC=，GB
55、AEBC=，证明GBAEBC，得出3333AGCEm=，15=，证明/DE AG，得AMGDME，进而得出3AMAGmDMDE=即可；（3）由题意得，点 A 在以 C 为圆心，以 CA 为半径的圆上移动，当点 D、A、C 三点共线时，1A D 是最小值，2A D是最大值，然后求出 DC、AC 即可得出答案（1）解：在 RtDEF 中，30EDF=，1EF=，13tan3033EFDE=，在 RtABC 中，30ACB=，1BC=，33tan30133ABBC=，ECm=，+1EBm=，在 RtGEB 中30BEG=，tan30BGEB=()313m=+3333m=+AGBGAB=333333m
56、=+33 m=，9090180ABCDEF+=+=，/DE GB，答案第 30 页，共 33 页 3333mAMAGmDMDE=故答案为：3m （2）3AMmDM=保持不变理由如下：过 B 点作 BGBE，交射线 EM 于点 G，连接 AG，430=，33BGBE=，90GBAABE+=，在RtABC中，30ACB=，33BABC=，90EBCABE+=，BGBABEBC=，GBAEBC=，GBAEBC，3333AGCEm=，15=，430=，3560+=，2160+=，32=，/DE AG，AMGDME，AMAGDMDE=，答案第 31 页，共 33 页 33AGm=，33DEEF=，333
57、3mAMmDM=；（3）由题意得，点 A 在以 C 为圆心，以 CA 为半径的圆上移动，如图所示：当点 D、A、C 三点共线时，1A D 是最小值，2A D是最大值，在 DEC中，3DE=，2 3ECm=，2222(3)(2 3)15DCDEEC=+=+=，在 RtABC 中，30ACB=，1BC=，123cos303AC=，线段 AD 的最大值为21533+，最小值为21533【点睛】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，勾股定理，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，根据题意得出点 A 在以 C 为圆心，以 CA 为半径的圆上移动，当点 D、A、C 三点共线时，1A D 是
58、最小值，2A D是最大值，是解决问题的关键 22(1)5(2)见解析【分析】（1）由垂直平分线的性质可得5BDBE=，由勾股定理可求 DC，DE 的长，即可求解；（2）在 DC 上截取CNBH=，在CE 上截取CMBG=，连接 MN 由“SAS”可得BHGCNM，可得 MNHG=，HGBNMC=，可证CMME=，通过证明 CMNCED，答案第 32 页，共 33 页 可得 CMMNCEDE=，结合题意即可得出 BMGE=，进而得出 BGME=，最后由三角形中位线的性质即可得出结论【详解】（1）解：如图，连接 BD，3BC=，2CE=，5BE=BF垂直平分 DE，5BEBD=，12DFEFDE=
59、，222594CDBDBC=，221642 5DEDCCE=+=+=，5DFEF=；（2）证明：如图，在 DC 上截取CNBH=，在CE 上截取CMBG=，连接 MN 在BGH和 CMN中，90BHCNHBGNCMBGCM=，()SASBHGCNM，MNHG=，BGCM=，HGBNMC=，HGMN 又GHDE，DEMN，答案第 33 页，共 33 页 CMNCED，CMMNCEDE=GEADBG=+，BMBCCM=+，BMGE=，BGME=，12CMMECE=，12MNDE=，MNEF=，HGEF=【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键
